模式识别课件(第六章-NO1)(最近邻法)

1、第六章 近邻法6.1 最近邻法一. 最近邻法的基本思想此法是一种根据全部样本提供的信息，绕开概率的估计而直接决策的方法，所以它是非参数决策方法的一种。其基本思想是：设有一组N个样本 = X1,X2,XN其中每个样本都已标以类别标志。如果在这N个样本中与待分样本X相距最近的一个样本为Xi，则把X分到Xi所在的类别中去。 二. 最近邻法的决策规则设有c类模式样本， 1, 2, c每类有Ni个样本(i=1,2,c)，则最近邻法的(i类)判别函数为:式中 表示i类中的第k个样本。 对应的决策规则为： 如果 则决策 即只要将待分样本X与全部N( )个已知类别的样本进行欧氏距离之间的比较，然后将X归到离它

2、最近的类别中。 由于这种方法只根据离待分样本X最近的一个样本的类别而决定其类别，所以通常称为1-最近邻法(亦称1-NN方法)三. 最近邻法的错误率问题最近邻法是一种次优方法，它的错误率比最小错误概率的Bayes决策规则下的错误率要大，但是，当样本数目无限时，它的错误率不会超过Bayes错误率的一倍。定性分析： 若将X的最近邻Xj的类别看成是一个随机变量 ，于是 的概率就是后验概率 .当样本数目很多时，可以认为X的最近邻Xj 离它很近，从而近似的认为这时最近邻法可看成是如下的随机化决策：按照概率 来决定X的类别。故最近邻法可看成是用后验概率来对X进行分类的。再进一步说，就是如果有下式成立：则依B

3、ayes决策，应取 作为X的类别。而在最近邻法中，最近邻的类别为 的概率为 ，所以X分到 类去的概率为 ，而不分到 类去的概率为：这也就是说： 按Bayes决策的话：以概率为1，而得决策 按最近邻法决策的话：以概率为，而得决策 显然，当接近于1时，最近邻法与最小错误率下的Bayes法的结果就几乎相同了。也就是说，当最小错误概率较小时，最近邻法的错误概率也是较小的，这两种方法同样“好”。而当各类的都接近于 时(即所有类别是等可能的)，最近邻法与Bayes法的结果就不一样了。这时两者的错误率都接近于 定量描述：式中：p为最近邻法的渐近平均错误率 为 Bayes错误率 c 为类别数 一般较小 6.2

4、 k-近邻法(k-NN法)为了克服单个样本类别的偶然性以增加分类的可靠性，可将最近邻法则进行改进，一个简单的方法就是k-近邻法。此法就是考察待分样本X的k个最近邻样本，这k个最近邻元素中哪一类的样本最多，就将X判属哪一类。或者说，就是在N个已知类别的样本中，找出X的k个近邻，这k个近邻中多数属于的那一类 ，就是 。具体就是：设k1,k2,.,kc分别为X的k个最近邻样本中属于 类的样本数，则定义 类的判别函数为： 决策规则为： 如果 则判最近邻法和k-近邻法的共同优点是简单，而且结果是比较好的，但是它们也存在下述问题： 需要将全部样本存入机器中，每次决策都要计算X与全部样本间的距离并进行比较。

5、所以要求的存储容量和计算量都很大。 没有考虑到决策的风险，所以如果决策的错误代价很大时，会产生很大的风险。上述分析是建立在样本数 的假定上的，这在实际应用中是无法实现的。6.3 近邻法的改进算法共同特点是如何尽快地找出最近邻可能存在的小的空间，减少搜索的范围，从而达到减少近邻法中的计算量和存储量的问题。一. 快速近邻算法该算法对最近邻法和k-近邻法都适用。下面以最近邻法为例来讨论。1. 基本思想将全部已知样本按级分成一些不相交的子集，并在子集的基础上进行搜索。也就是说，该算法由两个阶段组成：第一阶段：将样本集按级分解，形成树状结构。第二阶段：用搜索算法找出待识样本的最近邻。2. 涉及的规则设=

6、X1,X2,XN表示全部样本集；P表示节点P对应的样本子集，即P；NP表示P中的样本数；MP表示P中的样本均值(即“类心”)；rP ：表示从MP到Xip 的最大距离；B表示除p中的样本之外的样本到待分样本X的最近距离。B的初值设为，以后再不断修正。规则1如果存在 则Xip不可能是X的最近邻。证明：对任意 ，据三角不等式有 而据 rp定义有 由上两式可得 即得则 不可能是X的最近邻。的近邻iMp rP规则2.如果存在则 不可能是X的最近邻。证明：比较规则1与规则2，并参图，可知 故得证。3. 快速近邻算法第一阶段：将样本集按级分解。首先将分为l个子集，每个子集再分成l个子子集，依次分下去，图6.

7、3为l=3的情况。这时每个节点上对应一群样本。第二阶段：搜索树搜索算法：step1：设置B=，L=0，P=0.(L是当前水平，P是当前节点)。step2：将当前节点P的所有直接后继节点(即子节点)放入一个目录表中，并对这些节点X计算二. 剪辑近邻法此类方法的基本思想是：剪掉(清理)两类间的边界，取掉类别混杂的样本，使两类边界更清晰。1. 两分剪辑近邻法(亦称剪辑最近邻法)基本过程为：设N个样本分成c类 = , , (N1+N2+,+Nc= N)step1：剪辑。利用已知样本集 中的样本进行预分 类，并剪辑掉被错分类的样本，留下的样本构成 剪辑样本集step2：分类。利用 和近邻规则对未知样本X进行 分类。下面以两类情况进行具体介绍：设将已知类别的样本集N分成测试集NT和参照集NR两个独立的部分(即这两部分没有公共元素)，它们的样本数各为NR和NT，且NR+NT=N。剪辑步：利用参照集NR中的样本 对测试集NT 中的每