课例《方程的根与函数的零点》

1、课题：3.1.1方程的根与函数的零点 南宁市第四中学 曾英格【教学目标】知识目标：（1）理解函数零点的定义，以及方程的根与函数的零点之间的联系。（2）掌握“函数零点存在” 的判断方法，并能对新知识加以应用。能力目标：（1）渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。（2）领会数形结合、特殊到一般、化归、函数与方程等数学思想.情感、态度与价值观: （1） 认识函数零点的价值所在。 （2） 培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。 （3） 让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦。【教学重点】 理解函数的零点与方程的根关系，初步形成用函数观点处理问题的意识.【教学难点】 函数零点存在性定

2、理的理解及初步应用【教学方法】启发式教学、探究式学习【教学过程】（一）设置问题情境，探究一次函数图像与相应方程的关系.广西资源县某天凌晨零点的温度是2，中午十二点的温度是10 在这段时间内，假设温度是均匀变化的，问：（1）是否存在某时刻的温度为0？（2）若温度与时间的关系式是y=x-2,能求出具体的时刻吗？解：根据函数解析式，解对应方程x-2=0得出答案x=2.（又函数y=x-2图像与x轴交点横坐标为2，故可以发现，一次方程x-2=0的根和对应一次函数y=x-2图像与x轴交点横坐标相等。）（二）类比学习，探究二次函数图像与相应方程的关系.观察下列具体的一元二次方程和对应二次函数图像：一般的一元

3、二次方程与对相函数的关系.观察得出结论：一元二次方程有几个根，相应二次函数的图象与轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标（三）从特殊到一般，引出零点定义后确认等价关系.1函数零点概念：对于函数，把使的实数叫做函数的零点（说明：函数零点不是一个点，而是一个实数，是具体的自变量的值）2方程的根与函数零点的关系方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，从而有些方程问题可以转化为对应函数问题来求解，同样，函数问题有时也可转化为对应方程问题这正是函数与方程思想的基础练习1：函数y=f( x)的图象如下，则其零点为 -2，1，3 .（四）归纳概括定理，深入理解定

4、理实质.引例变式：广西资源县某天凌晨零点的温度是2，十二点的温度是10 在这段时间内，假设温度不均匀变化，问：（1）是否存在某时刻的温度为0？（2）能计算出具体的时刻吗？能找到0出现的时间范围吗?（说明：问题（1）从函数的角度看，即求函数的零点.）学生在事先准备好的图纸上画出温度随时间的变化图，教师选取几个具有代表性的图用实物投影仪加以展示，并让学生解释为什么温度为0的时刻仍存在，使学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.（设计说明：通过类比得出零点存在性定理）3.零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个c也就是方程的根

5、. 问题1： 如果函数图象不是连续不断的，结论还成立吗？ 问题2：若，函数在区间在上有没有零点？问题3：若，函数在区间在上只有一个零点吗？可能有几个？问题4：在满足定理的条件下，能否增加条件,使函数在区间在上只有一个零点？问题5：大家注意到了么，定理中，开始时是在闭区间a,b上连续，结果推出时却是在开区间（a,b）上存在零点。你怎样理解这种差异？(设计说明：函数零点存在的判定，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件，但零点的个数需结合函数的单调性等性质进行判断结论的逆命题不成立，通过五个问题使学生准确理解零点存在性定理)（五）把握定理实质，解决零点问题.设计说明：熟悉定理，先做两个练习1、在

6、下列哪个区间内,函数一定有零点（ ）A、(1,0）B、(0,1） C、(1,2）D、(2,3）2、已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的x ,f(x)对应值表：x1234567f(x)239-711-5-12-26那么该函数在区间1，6上有（ ）零点. A、只有3个 B、至少有3个 C、至多有3个 D、无法确定(备用例题)例1：求函数的零点的个数？解：作出x、f(x) 对应值表.x123456789f(x)-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972由表可知：。这说明f(x)在（2，3）内有零点。通过函数图像知道f(x)在内是增函数，故它仅有一个零点.开拓思维：还有其他方法判断函数的单调性吗？（六）总结归纳，提炼数学思想方法.1.数学知识：函数零点的概念；函数零点与方程根的关系；判定某区间上是否存在零点.2.数学思想方法：数形结合的思想;函数与方程的思想;由