重庆重庆一中2012014学年高二数学上学期期末考试试题理湘教版

1、秘密启用前2014年重庆一中高2015级高二上期期末考试数学试题卷（理科）2014.1数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。 注意事项：.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。.答选择题时，必须使用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。.答非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。第I卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题10个小题，每小题 5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必

2、须填涂在答题卡上相应位置。 TOC o 1-5 h z .直线ax+y 1 =0与直线2x+3y 2 = 0垂直，则实数 a的值为（）A. - B . -1C . -2D .-322.抛掷一枚均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4 5、6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件A为掷出向上为偶数点，事件B为掷出向上为3点，则P（A|jB） = （）A.13B.C.D.3.已知圆的半径为2,圆心在2x轴的正半轴上，且与6y轴相切，则圆的方程是（ TOC o 1-5 h z -2222A. x +y 4x=0 B .x+y+4x = 022_22_C. x2 y2 -2x -3=0 D .

3、 x2 y2 2x-3 = 032 二.棱长为2的正方体 ABCD - ABC1D1的内切球 的表面积为()A. B , 16 二 C . 4二D3.已知函数f (x )的导函数为f(x),且满足关系式f (x)=x2+3xf(2)+ex,则f(2)的值等于()222A. -2 B. -2 C.-eD.-2222.已知口、P是不重合的平面，a、b、c是不重合的直线，给出下列命题:r a 一一 a _ b a工ID 口占a _L P ;=ac;,=b_L口。a _c _ bb _ a其中正确命题的个数是（）D. 0A. 3B. 2C 1A2,3A.二 B.c 2.32二33c:3C.二-D.32

4、二337. 一空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（俯视图 TOC o 1-5 h z 22.已知双曲线 与A=1（a 0,b 0）的右焦点为F ,若过点F且倾斜角为600的直线与 a b双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A. （1,2 B. （1,2） C. 2,二） D. （2,二）1一 一一一.9.（原创）右函数y1=sin（2x1）十一（为=0,n）,函数y2= x2+3,则（x2）+（y1 y2）2的最小值为（）C,52-、6、2C. ()4八 25.2、6A.124D (n 3向+ 15)272.（原创）若对定义在 R上的可导函数f （x）,

5、恒有（4 x）f （2x）+2xf（2x） A0 ,（其中f（2x）表示函数f（x）的导函数f（x）在2x的值），则f（x）（恒小于0 C. 恒大于0 D. 和0的大小关系不确第n卷（非选择题，共100分）、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡相应位置上，只填结果，不要过程）。C.如图，直三棱柱 ABCAB1cl 中，AA = AB = 2,BC =1, AB -L BC ,则该三棱柱的侧面积为 。.（原创）如图所示的“赵爽弦图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为 2的大正方形，若直角三角形中较小的锐 n 角口 =一,现在向该正方形区域

6、内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正6方形内的概率是。.已知函数f （x） =-x3+ax2 x1在（g,收）上是单调减函数，则实数a的取值范围是 O.如图，平面 ABCD _L平面ABEF ,四边形 ABCD是正方形，四边形 1ABEF是矩形，且AF = AD =a , G是EF的中点，则GB与平面 2AGC所成角的正弦值为 。.（原创）已知抛物线 x2 =2py（p0）的焦点为F ,顶点为O,准线为l ,过该抛物线上异于顶点 O的任意一点 A作AA，l于点A，以线段 AF, AA为邻边作平行四边形AFCA ,连接直线AC交l于点D ,延长AF交抛物线于另一点 B。若AAOB的面积为S&OB,

7、 MBD的面积为S加BD,则（S&ob）的最大值为。xOS ABD三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）。.（本小题满分13分）已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F （1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1。（1）求曲线C的方程；（2）设直线l交曲线C于A, B两点，线段AB的中点为D（2, -1）,求直线l的一般式方程。.（本小题满分13分）如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，且 PD _L AD, PD _L DC , PD = 3,AD = 2 ,若 M、N分别是AB、PC的中点。(1

8、)求证：MN _L DC ;(2)求点M到平面PAC的距离。1312.(原创)(本小题满分13分)已知二次函数 f(x) = -ax +bx 6x+1(xWR), a,b 32为实常数。(1)若a =3,b = 3时，求函数f(x )的极大、极小值；(2)设函数g(x) = f(x)+7 ,其中f(x)是f (x )的导函数，若g(x)的导函数为g(x),g(0)0, g(x)与x轴有且仅有一一个公共点，求1)的最小值。g (0).(本小题满分12分)如图，在AABC中，/C=90, AC = BC=a,点P在边AB上，设 AP = XPB(?.0),过点 P 作 PE / BC 交 AC 于

9、 E ,作 PF / AC 交 BC 于 F 。沿 PE 将APE翻折成 MPE,使平面APE _L平面ABC ；沿PF将&BPF翻折成AB,PF ,使平面BPF _L 平面 ABC。(1)求证：BC 平面APE ；(2)是否存在正实数 九，使得二面角C - AB-P的大小为90?若存在，求出入的值;20.(原创)(本小题满分12分)如图，已知椭圆22x y一、 一一C: +22 =1(a Ab A0)的离心率是 a b、.22a21.(原创)(本小题满分12分)函数f(x)=+ln x,其中a为实常数。x(1)讨论f(x)的单调性；(2)不等式f(x)至1在xw(0,1上恒成立，求实数 a的

10、取值范围；. .1(3) 右 a=0, 设 g(n =3一十一 +帽十一 ,3 n23-n -1 ,h(n)= 3+3 + 3+10+3-(n 至 2,n= NQ。是否存在实常数 b ,既使 g(n) f (n) a b34 n又使h(n) f(n+1)2,n N +恒成立？若存在，试找出b的一个值，并证明； 若不存在，说明理由。2014年重庆一中高2015级高二上期期末考试数学试题(理科)答案2P4P(x, y)满足:.D 2.B 3.A 4.C5.D6.C7.B8.C9.D10.C. 6 2,512.1 一停 13.i.3,314.-15.16.(本小题满分13分)解：(1)设P(x, y

11、)是曲线C上任意一点，那么点V(x -1)2 +y2 -x=1(x0),化简得 y2 =4x(x 0)。(或由定义法) 设 A(x1,y1),B(x2,y2),“=4xi|k2=4X2川得：(yi +y2)(yi -y2)=4(x1 X2),由于易知l的斜率k存在,故(y1 +y2)y1 _y2 =4,即2k =4,所以 k = 2,故 l 的一般式方程为 l:2x+y3 = 0。X1 - X217.(本小题满分13分)解：如图建系，则 D(0,0,0),A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), P(0,0,3),则3mq，1”。1,寸-f3 一(1)法一：, MN =(2,

12、0,), DC =(0,2,0) 23二 MN DC =(2,0,) (0,2,0) =0,二 MN _LDC。2法二：三垂线定理。法一：设n=(x, y, z)为平面PAC的一个法向量,PCDMPA = (2,0, -3),PC =(0,2, -3),n PA =0rn PC =02x-3z =0=x = y 2y -3z =03zz=2,则 x = y=3, n = (3,3,2),MA = (0,-1,0)，n MA33.22，二点M到平面PAC的距离为22法二：体积法。18题 满 分 13 分) 解f (x) =3x2 3x-6-3(x-1)(x 2),33 2f极大值=f (2) =

13、11，f极小值=f (1)=f(x) = x -x -6x 1,2x(_oO, -2)-2(-2,1)1(1,0)f(x)+00+f(x)E极大值极小值令 f (x) = 0 , j. x1 = -2,x2 =1,o522(2) g(x) =ax +bx6+7 = ax +bx + 1(a00),g (x) =2ax +b, g(0) =b 0 ,2b2j： =b -4a =0= a =,4g r(0ja b 1 a 1= 1b b亡141 b 1 人 b 141 :1,令 h(b)二一一1,b 0,b 4 b4 b11h(b),令 h(b) = 0,又bA0,则b=2,当bw2 时，h(b)

14、父0,当 bw (2,y)时,4 b2h(b)0,，h(b)min =卜(2)=2十1+1=2。二(即总所=2。4 2g (0)g(1) a b 1 a 1二二 1g (0) b b1g(1)g (0)min = 2。19.（本小题12分）解：（1）法一：以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过C且垂直于平面 ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则 C(0,0,0), A(0,a,0), B(a,0,0)设 P(x,y,0),a,y,P(- 1- 1,0)由 AP =，PB = (x, y -a,0) = (a -x, -y,0) TOC o 1-5 h z 从而 E(

15、0,0), F(,0,0), 111 1a aa a 、 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 于7A (0, ., .) , B (.,0, .) , 11, 1, 1a 平面APE的一个法向量为 CE =（0,0）, -1又 CB = （1a-,0, -a-） , CB CE =0,从而 BC 平面 APE。 r ;i法二：因为FC / PE , FC值平面APE ,所以FC 平面APE ,因为平面 APE，平面ABC，且 A E _L PE ,所以 A E _L平面 ABC .同理， B F _L平面 ABC ,所以 B F / AE,从而BF

16、 /平面APE ,所以平面BCF /平面APE ,从而BC/平面 A PE。（2）解：由（i）中解法一有：oA=（0,-,a-）, AB=（/a-,一，上2a）, ii- i i i TOC o 1-5 h z -1a aiBP=（0,，）。可求得平面CAB的一个法向量m =（，九,i）,平面PAB的 i i-人 j日& T d -. i .一一 _2，一一个法向量 n=（i,i,i）,由m，n=0,即一十九一i=0,又九0,九2222_= x2 +2(kx + m)2 =2= (2k2 +1)x2 +4kmx + 2m2 -2 = 0,由于 A=i6k2m2 4(2k2+i)(2m2 2)=

17、0= 2k2m2+1=0= m2=2k2+i(*),_-4km-2km 由(*)-2km2x0 = -2 Xo = -2- = 2k2 12k2 1m2九+i = 0,由于 九 = 3 0,二 c=1,. a = /2, b=1 ,椭圆2C:2y2 =1,且 D(2,0) o而由韦达定理:y0 二 kx0 m 二m mm m2k my = kx m 2；Q(2,2 k+m),设 P(x0,y),由 jx2 + 2 二 1+ (kx +m)2 =1设以线段PQ为直径的圆上任意一点 M（x, y）,由笳 MQ = 0有2k100 2k12k(x 一)(x -2) (y -)(y -(2k m) =

18、 0= x y(- -2)x (2k m )y (1 一一)二 0mmmmm由对称性知定点在 x轴上，令y=0,取x=1时满足上式，故过定点 K(1,0)。21.（本小题满分12分）解：（1）定义域为（0, y 厂（x）=另+1 =2a , x x x当 aM0 时，；x0,A x-a0,A f x）0,f （x）在定义域（0,）上单增；当 a0 时，当 x a 时，f x）0, f （x）单增；当 0 x a 时，f（x）0时，增区间：（a,y）,减区 间：(0, a)。aa(2) f(x)之 1u +lnx1u 之一lnx + 1u a 之一xlnx + x 对任意 x= (0,1M亘成立

19、 xxu a 之-xln x +xmax,xw (0,1,令 g(x) = -xln x +x, x (0,1,1g (x) = -ln x -x 一 十1 = -ln x 0(x 匚(0,1)，: g(x)在 x= (0,1上单增， x二 g(x)max =g(1) = 1,，a 1 ,故 a的取值范围为1,+O)o11 . 1(3)存在，如 b=0 等。下面证明：1+-+|+a ln n (n2,n=N+) 2 3 n一 123. n -1及 3+3+3 +HI+- ln n (n c N +),注意 ln n = ln + ln +III + ln，3 n12n -11 k1. 一一这只要证 ln=ln(1+) (k =2,3,|l| n) (*)即可，k -1 k -1 k -11容易证明xln(1+x)对x0恒成立(这里证略)，取x=(k2)即可得上式成立。k -1 TOC o 1-5 h z 111让k =2,3, HI,n分别代入(*)式再相加即证：1+1+1+川ln n (n= N+),2 3 n -111.1111.1于是 1+ + +HI+ 1+|+ ln n (n=N+)。2 3 n -1 n 2 3