第四节函数的奇偶性与周期性(知识梳理)

1、第四节函数的奇偶性与周期性备考方向明确复习目标学法指导.奇函数、偶函数的概 念.奇函数、偶函数的性 质.能研究某些简单的 复合函数及分段函数 的奇偶性.函数奇偶性反映了 f(-x)与f(x)之间的等 量关系，利用奇偶性需要善于构造与发现变 量之间的相反数关系.紧扣定义是解决分段函数、复合函数等特 殊形式函数的奇偶性的基本策略.熟悉常见的周期性的结论是求解周期问题的突破口 .画出函数图象是求解函数奇偶性与周期性问题的常用方法.一知识链条完善到网络构建一、函数的奇偶性奇函数、偶函数的概念及图象特征奇函数偶函数定义定义域囱数f(x)的定义域关于原点对称x对于定义域内任意的一个xf(x)与f(-x)

2、的关系都有f(-x)=-f(x)都有f(-x)= f(x)结论函数f(x)为奇函数函数f(x)为偶函数图象特征关于原点对称关于y轴对称口拓展空间.概念理解(1)函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体性质，判定 函数的奇偶性一定要优先考虑函数的定义域是否关于原点对称，定义 域关于原点对称是函数具备奇偶性的必要不充分条件.f(x) 是奇函数？ f(-x)=-f(x)? f(-x)+f(x)=0? s =-1(f(x) 半f(x)0).f(x) 是偶函数？ f(-x)=f(x)? f(-x)-f(x)=0? f(-x)=f(|x|)?羽=1(f(x) *0).(4)奇函数f(x)在x=0处

3、有定义? f(0)=0.与奇偶性应用相关联的结论(1)单调性：奇函数的图象关于原点对称？奇函数在原点两侧的对称 区间上具有相同的单调性；偶函数的图象关于y轴对称？偶函数在原 点两侧的对称区间上具有相反的单调性.对称性函数y=f(x)的图象关于直线x=ayb对称？ f(a+mx)=f(b-mx).温馨提醒：记忆式子特征，对称轴x=(a mx) (b mx) =U. 22函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称？ f(x)=2b-f(2a-x) 或 f(a+x)-b=b-f(a-x).温馨提醒：对称点的横坐标为 3=2或2 x a x=a. 22(3)y=f(x+a)是偶函数？ f(x+a尸f(

4、-x+a);y=f(x)是偶函数? f(x+a尸f(-x-a).与函数奇偶性判定相关联的结论在公共定义域内，奇士奇二奇，偶士偶=偶，奇x奇=偶，偶x偶=偶，奇x 偶二奇.二、函数的周期性.周期函数对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任 何值时，都有f(x+T)=f(x), 那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最 小正数就叫做f(x)的最小正周期.口拓展空间.概念理解(1)T 6 R且 T? 0. 若T是函数的周期，则kT(k 6Z且k?0)也是函数的周期.与周期的判定相关

5、联的结论(1)若 f(x+a)=-f(x)(a? 0) ? T=2a;(2)若 f(x+a尸 号(a ?0,k ?0)? T=2a;若 f(x+a)=f(x+b)(a？0)? T=a-b.%温故知新.函数y=x2lg 土上的图象(B ) x 2(A)关于x轴对称 (B)关于原点对称(C)关于直线y=x对称(D)关于y轴对称解析：因为y=x2lg 土2是奇函数，所以图象关于原点对称，故选B. x 2.(2018 宁波高三上期末考试)若函数f(x)=ax 2+(2a2-a-1)x+1为偶函数，则实数a的值为(C )(A)1(B)- 1(C)1 或-1 (D)022解析：当a=0时,f(x)=-x+

6、1不是偶函数，当a?0时,2a 2-a-1=0时，该函数为偶函数,解得a=1或a=- 2,故选C.若函数f(x)=x 2-|x+a|为偶函数，则实数a=.解析:f(-x)=f(x), 即(-x) 2-|-x+a|=x 2-|x+a|,则 |x-a|=|x+a|,因为x R,所以a=0.答案：0.(2018 江苏卷)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x6 R),且在区间一忒CCcos,0 x 2, (-2,2上,f(x)=2 则 f(f(15) 的值为.x -, 2 x 0,2解析：由函数 f(x)满足 f(x+4)=f(x)(x R),可知函数f(x)的周期是4,所以 f(15)=f(-

7、1)=|-1+2|=：,所以 f(f(15)=f(1) = cos : = y .答案：-2 2.已知定义在R上的函数f(x),满足f(-x)=-f(x),f(x+3)=f(x), 当x 6(0, 30时,f(x)=ln(x 2-x+1),则函数f(x)在区间0,6上的零点个数 是.解析：由于定义在R上的函数f(x),满足 f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数，则在0,6上必有f(0)=0,当 x6(0, |),由 f(x)=ln(x 2-x+1)=0 得 x2-x+1=1,即 x2-x=0,可得 x=1,故 f(1)=0,因为 f(x+3)=f(x),所以函数f(x)是周期为3的

8、奇函数，所以f(0)=%3)=f(6)=0,此时有三个零点,又 f(i)=f(4)=0,f(-1)=-f(1)=0,f(-1)=f(2)=f(5)=0,此时有1,2,4,5四个零点；当 x=3f( 3)=f( 3-3)=f(- 3 )=-f( f), 22222故耳f )=0, 即f( 1尸f( 9 +3)=f( 9 )=0，此时有两个零点 一.22222综上所述，函数f(x)在区间0,6上的零点个数是9.答案：9考点一 函数奇偶性的判定例1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=9x2 + X29 ；(2)f(x)=(3)f(x)=2xx,x 0,2xx,x 0.高频考点突破2解:由：2x9得乂

9、=3.所以f(x)的定义域为-3,3,关于原点对称.又 f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0.即 f(x)= f(-x).所以f(x)既是奇函数，又是偶函数.0,3 0,得-2WxW2 且 x?0.所以f(x)的定义域为-2,0) U (0,2,关于原点对称.所以 f(x)= K =ZZ.(x 3) 3 x所以 f(x)=-f(-x),所以f(x)是奇函数.(3)易知函数的定义域为(-8,0) U(0,+ s),关于原点对称.当 x0,故 f(-x)=x 2-x=f(x);当 x0 时,-x0且a? 1),则函数 a 1f(x)的奇偶性(D )(A)与a无关,且与b无关(B)与a

10、有关,且与b有关(C)与a有关，但与b无关(D)与a无关，但与b有关x解析：由函数 f(x)= -2-+b 知 f(-x)= 2+b=2a-+b,当 b=1 a 1a 1 a 1时,f(-x)+f(x)=0,此时f(x)为奇函数，显然当b# 1时函数为非奇非偶函数,所以函数f(x)的奇偶性与a无关，且与b有关，故选D.2.(2018 全国II卷)已知f(x)是定义域为(-巴+ s)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x). 若 f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f+烬。)等于(C )(A)-50(B)0(C)2 (D)50解析：因为f(x)是奇函数,且f(1-x)=f(1+x),则 f(x

11、)=f(2-x)=-f(x-2)=-f(x-4) =f(x-4),所以函数f(x)是周期为4的周期函数. 由f(x)为奇函数得f(0)=0.又因为 f(1-x)=f(1+x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称，所以 f(2)=f(0)=0,所以 f(-2)=0.又 f(1)=2,所以 f(-1)=-2,所以 f(1)+f(2)+f+f(4)=f+f(2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0,所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(49)+f(50)=0X 12+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2.故选C.考点三函数周期性的应用例3 (2019 杭州市期末

12、检测)已知函数f(x)(x 6 R)的周期为T(T0),且在(0,T)上单调，则()(A)f(x 2)是周期函数，且在(0,五)上单调(B)f(x 2)不是周期函数，且在(0,)上单调(C)f(x 2)是周期函数，且在(0,T 2)上单调(D)f(x 2)不是周期函数，且在(0,T 2)上单调解析：因为f(x+A) 2=f(x 2+2Ax+A),显然2Ax+A不是与x无关的常数, 所以函数f(x 2)不是周期函数，当x6(0,厅)时,x26(0,T),因为函数 f(x)在(0,T)上单调，所以函数f(x 2)在(0, 上单调，故选B.反思归蝌(1)判断函数周期性的两个方法：定义法、图象法.(2

13、)函数周期性的重要应用利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式 等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.提醒：应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.口迁移训练.已知f(x)是定义在实数集R上的奇函数，对任意的实数 x,f(x-2)=f(x+2), 当 x6 (0,2)时,f(x)=-x 2,则 f(13)等于(D ) (A)- 9 -4 (C) ； (D)解析：由f(x-2)=f(x+2),可知函数f(x)的周期T=4,又由于该函数是奇函数，故 f( 13)=f( 5)=f(- 3)=-f( 3) 2222=-( 3)2=?故选D.(2018 浙江“七彩阳光

14、”联盟期中联考)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,对任意的x 6 R都有f(1+x)=f(1-x), 且当x 6 0,1 时,f(x)=2 x-1，则当x6 -2,6时，方程f(x尸-)的所有根之和2为.解析：由f(1+x)=f(1-x), 得f(x+2)=f(-x), 又函数f(x)是奇函数，则有 f(x+2)=f(-x)=-f(x), 从而有 f(x+4)=f(x), 即 f(x)是以 4 为周 期的函数.又函数f(x)的图象关于直线x=1对称，从而其图象又关于直线x=-1 对称，其在-2,6上大致图象如图. Z / 1一讦国同国 产贷f(x)的图象与直线y=-1在-2,6上共有4个

15、交点X1,X2,X3,X4，且Xi+X2=-2,x 3+X4=6.故在区间-2,6上共有4个根,其和为4.答案：4考点四函数性质的综合应用例4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函数，则()(A)f(-25)f(11)f(80)(B)f(80)f(11)f(-25)(C)f(11)f(80)f(-25)(D)f(-25)f(80)f(11)解析：由函数f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是增函数可以推知，f(x)在-2,2上递增，又 f(x-4)=-f(x)? f(x-8)=-f(x-4)=f(x),故函数f(x)以8为周期，所以 f(-25)=f(

16、-1),f(11)=f(3)=-f(3-4)=f(1),f(80)=f(0),故 f(-25)f(80)f(11). 故选 D.反思归(1 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用 奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.(2)利用奇偶性研究函数的单调性时,要充分利用单调性在关于原点 对称的两个区间上的关系，并注意分析判定能否合并.口迁移训族1.已知偶函数f(x)在区间0,+ s)上单调递增，则满足f(2x-1)f( 1)3,的x的取值范围是(A ) TOC o 1-5 h z (A)( 1, 2) (B) 1, 2) 3333(OGA 叫，2)解析：偶函数满足

17、f(x)=f(|x|),根据这个结论，有 f(2x-1)f(1)? f(|2x-1|)f(1)，33进而转化为不等式|2x-1|0.若在区间(0,9上，关一,1 x 2,2于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是.解析：当 x (0,2时,y=f(x)=3(x 1)2 ? (x-1) 2+y2=1(y0),结合 f(x)是周期为4的奇函数，可作出f(x)在(0,9上的图象如图所示.因为当x6 (1,2时,g(x尸-1，又g(x)的周期为2,所以当 x6 (3,4 U (5,6 U (7,8时,g(x尸-1.由图可知，当 x6 (1,2 U (3,4 U (5,6 U (

18、7,8时，f(x)与g(x)的图象有2个交点,所以当 x 6 (0,1 U (2,3 U (4,5 U (6,7 U (8,9时, f(x)与g(x)的图象有6个交点.又当x(0,1时,y=g(x)=k(x+2)(k0)恒过定点A(-2,0),由图可知，当x6(2,3 U (6,7时,f(x)与g(x)的图象无交点.所以当x6 (0,1 U (4,5 U (8,9时,f(x)与g(x)的图象有6个交点. 由f(x)与g(x)的周期性可知，当x 6 (0,1时,f(x)与g(x)的图象有 2个交点.当 y=k(x+2)与圆弧(x-1) 2+y2=1(00) ? k=二.k2 184当 y=k(x

19、+2)过点 A(-2,0)与 B(1,1)时,k= L3所以1Wk0 时,-x0,g(-x)=x 1T7 =g(x), 当 x0,g(-x)=-x JF =g(x), 所以 g(x)为偶函数.故选 C.下列函数中，在定义域内单调递减且为奇函数的是(C )(A)f(x)=x|x|(B)f(x)=-tan x(C)f(x)=2 -x-2x(D)f(x)=2 -x+2x解析：选项A,对于f(x)=x|x|,因为 f(-x)=-x|-x|二-x|x|=-f(x),所以函数f(x)=x|x|是奇函数,通过图象，可知函数f(x)=x|x|是R上的单调递增函数；选项B,对于函数f(x)=-tan x,因为

20、f(-x)=-tan(-x)=tan x=-f(x),所以函数f(x)=-tan x 是奇函数,同时也是周期函数, 故不是定义域内的单调递减函数；选项C,对于函数f(x)=2 -x-2x,因为 f(-x)=2 x-2x=-f(x),所以函数f(x)=2 -x-2x是奇函数，而y=2-x,y=-2 x都是R上的单调递减函 数，由函数单调性的性质可知函数f(x)=2 -x-2x也是R上的单调递减函 数,故符合题意；选项D,对于函数f(x)=2 -x+2x,因为f(-x)=2 x+2-x=f(x),所以函数 f(x)=2 -x+2x是偶函数，不符合题意，综上所述，故选C.类型二函数奇偶性的应用.(2

21、018 全国田卷)已知函数 f(x)=ln( C-x)+1,f(a)=4, 则 f(-a)= .解析：因为22.f(x)+f(-x)=ln( i x2-x)+1+ln( i x2+x)+1=ln(1+x -x )+2=2, 所以 f(a)+f(-a)=2, 所以 f(-a)=-2.答案：-2.设函数f(x)= (x x)2 1sinx的最大值为M,最小值为m,则M+僭2解析:f(x)=x 2x2 1皿=1+竺窿 x 1x 1设g(x)= 2x2sinx,显然g(x)为奇函数, x 1所以g(x)的最大值与最小值的和为0, 所以M+m=2.答案：2类型三函数周期性的应用.已知f(x)是R上最小正

22、周期为2的周期函数，且当0Wx2时,f(x)=x 3-x,则函数y=f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为(B )(A)6 (B)7(C)8 (D)9解析：因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且 0Wx2 时,f(x)=x 3-x=x(x-1)(x+1),所以当0W x2时,f(x)=0有两个根，即xi=0,X2=1.由周期函数的性质知，当2Wx4时,f(x)=0 有两个根，即 X3=2,X4=3;当4x6时,f(x)=0 有两个根，即 X5=4,X6=5；X7=6 也是 f(x)=0 的根.故函数f(x)的图象在区间0,6上与x轴交点的个数为7.故选B.2.已知函数f(x)=

23、x 10，x 1，记lg x, x 1,f1(x)=f(x),f2(x)=f(f 1(x),f3(x)=f(f 2(x),，则 f2 019(10)等于(A )(A)10 (B)lg 110(C)0 (D)1解析：计算得 f1(10)=1,f 2(10)=0,f 3(10)=10,f 4(10)=1 ，所以周期为3,f2 019(10)=f 3(10)=10.故选 A.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+2)=-，当2WxW3 f(x)时,f(x)=x,则 f(105.5)= .解析：由已知可得f(x+4)=f(x+2)+2=-1一=f(x),所以函数f(x)f(x 2)的周期为4,所以 f(105.5)=f(4 X 27-2.5)=f(-2