陕西省汉中中学2019-2020学年高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

1、汉中中学2019-2020学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试题一.选择题（本大题共12小题,每小题5分）1.i是虚数单位，则（）1 iA. iB. -iC. 2D.-2【答案】B【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.2-1 i (1 i) 2i详解解：-1 i (1 i)(1 i) 2故选：B .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.已知甲组数据的.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x, y的值分别为（甲组9X 27 4乙组5y 84【解析】1试题分析：由题意得 x

2、5, 16.8 -（9 15 10 y 18 24） y 8 ,选C.5考点：茎叶图 TOC o 1-5 h z .设曲线y ax2在点1,a处的切线与直线2x y 6 0平行，则a ()A. 1B. 1C. -D. 122【解析】2,y ax ,.y 2ax , y |x i 2a,曲线y ax2所以“ 0 k 1”，是“方程 匕 1表示双曲线”的充分不必要条件，故选 A.2 k【点睛】本题考查充分条件与必要条件以及双曲线的性质，属于基础题5.某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试，从该年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学测试成绩分为6组：40,50),50,60),60,70),70

3、,80),80,90),90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高二年级共有学生600名，若成绩不少于 80分的为优秀，据此估计，高二年级在这次测试中数学成绩优秀的学生人数为(在点1,a处的切线与直线2x y 6 0平行.2a 2 ,解得 a 1 .选 b.224. “0 k 1”是“方程y- 1表示双曲线”的()2 kA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】 TOC o 1-5 h z 22若方程 二 y- 1表示双曲线，则有k 0,再根据充分条件和必要条件的定义即可判断2 k22【详解】因为方程上1表示双曲线等价于

4、k 0,2 kA. 80B. 90C. 120D. 150【答案】D【解析】【分析】根据频率分布直方图计算成绩不低于80分的频率，然后根据频数频率 总数可得所求.【详解】解：根据频率分布直方图，得；成绩不少于 80分的频率为（0.015 0.010） 10 0.25 ,所以估计成绩优秀的学生人数为600 0.25 150 .故选：D .【点睛】本题主要考查了频率、频数的计算问题，也考查了数形结合的数学思想，属于基础题.6.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品事先拟订的价格进行试销，得到如下数据.单价（元）456789销量（件）918483807567由表中数据求得线性回归方程?

5、4x i?,则*=15元时预测销量为（）A. 45 件B. 46 件C. 49 件D. 50 件【答案】B【解析】【分析】计算出x,y代入回归直线方程，求得$，再令x 15求得预测值.15时,【详解】依题意X 6.5, y 80,代入? 4x夕得$ 80 6.5 4 106,即? 4x 106 ,当x60 106 46,故选 B.【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点 HYPERLINK l bookmark7 o Current Document 22227.已知椭圆E： 1与双曲线C： x2 112a 5线方程为（）3 5A. y x5P 2.5C. y x5【答案】D【解析】【分

6、析】求出椭圆焦点坐标，即为双曲线焦点坐标，再由双曲线中x,y，考查利用回归直线方程进行预测，属于基础题.1 （a 0, b 0）有相同的焦点，则双曲线 C的渐近B5B. y x3n5D. y x2a,b,c的关系求得a后可得渐近线方程.【详解】椭圆E的焦点为 3,0 .故a2 32 5 4 .双曲线C的渐近线方程为y x.2故选D.【点睛】本题考查椭圆与双曲线的标准方程，考查其几何性质.属于基础题.8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱C1D1的中点，则异面直线 AM与BD所成角的余弦值为（B 3 B.4C -2 口.6以D为原点建立空间直角坐标系，写出A, M, B, D坐标，求

7、出对应向量，即可求出结果.【详解】解：正方体 ABCD -Ai B1C1D1,M为A1B1的中点,设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1,以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,DBA (1,0, 0), M(0,uuuu AM1=i 11),12 uur DB1), B (1, 1,1,1,0 ,0), D (0, 0, 0),uunn uuur cos =所以异面直线 AM与BD所成角的余弦值为【点睛】本题考查向量法解异面直线所成的角,中档题.9.正四棱锥S ABCD中，SA AB 2,则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为（-16-16C -3C. 3uur建立合适的空间直角坐标系，

8、求出AC和平面SBC的法向量,直线AC与平面SBC所成角的正弦值即为Ac与n的夹角的余弦值的绝对值，利用夹角公式求出即可【详解】建立如图所示的空间直角坐标系O xyz.有图知 SO , SA2 AO2.22 .22,2由题得A 1, 1,0、C1,1,0、B 1,1,0、S 0,0,72uuuuuuCA 2, 2,0 , BS1, 1,、.2uuuCS1, 1,-2r设平面SBC的一个法向量n x, y, z ,v uuv 皿 ni BS 则 v uuv n CS令z在，得x 0, y 2 ,设直线AC与平面SBC所成的角为 ，则sin,r uurcos：, n, AC42.2 .6故选：C.

9、【点睛】本题考查线面角的求解，利用向量法可简化分析过程，直接用计算的方式解决问题，是基础题1 310.函数f(x) -x (a 1)x在x (,)内是增函数，则()3A. a 1B. a 1C. a 1D. a 1【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，再由单调性，得到f (x)0恒成立，运用判别式不大于0,解出即可.1 3【详解】解：因为 f(x) -x3 (a 3所以 f (x) x2 (a 1),1 3因为函数f (x) -x3 3(a 1)x 在 x ()内是增函数,所以f (x) x2 (a 1) 0恒成立，所以 4(a 1) 0,解得a 1,故选：D【点睛】本题考查函数的单调性及

10、运用，考查运用导数判断函数的单调性，考查运算能力，属于基础题.11.已知函数f(x) x2 aln x 1在(1,2)内不是单调函数，则实数 a的取值范围是()A. 2,8B. 2,8C. ,2 U 8,D. 2,8【答案】A【解析】【分析】求导(x) =2x a,转化为f，(x) =2x a 0在1,2有变号零点，再分离参数求值域即可求解 xxa -2【详斛】f (x)= 2x , f x x alnx 1在1,2内不是单调函数， xa故2x 0在1,2存在变号零点，即a 2x2在1,2存在有变号零点，x- -2a 0时，由f x - f x x2 1；.x2f (x) - x2f -1;即

11、 g (x) g (1),即 0v xv 1 ;由于函数 f (x)是偶函数，g ( x) = ( x) 2f ( x) ( x) 2=x2f (x) - x2= g (x);所以g (x) =x2f (x) - x2也是偶函数；当xv 0时，同理得：-1 vxv0.综上可知：实数 x的取值范围为：(-1, 0) U (0, 1).故选C.【点睛】主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题.二填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100 件，为检验产品的质量

12、，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取 60 -300- 18件，故答案为18.1000点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即 n ： N = n： N.已知f(x) x2 ex,曲线y f (x)在点(0,1)处的切线方程为 .【答案】y x 1【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数，再由直线方程的斜截式得答案.【详解】 解：由f (x) = x2+ex,彳导f (

13、 x) = 2x+ex, f (0) = 0+e0=1.曲线y=f (x)在点(0, 1)处的切线方程为 y=x+1.故答案为y = x+1 .【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是基础的计算题.15.已知抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x轴上，若C经过点M(1,3),则其焦点到准线的距离为.9【答案】-2【解析】【分析】根据抛物线 C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在 x轴上，且过点 M (1,3),可以设出抛物线的标准方程9代入M (1,3)后可计算仔p ,再根据抛物线的几何性质可得答案2【详解】因为抛物线 C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在 x

14、轴上，且过点 M (1,3),所以可设抛物线的标准方程为：y2 2Px(p 0),9将M (1,3)代入可得3 2p 1,解得p -,2一 9所以抛物线的焦点到准线的距离为p -.29故答案为：9.2【点睛】本题考查了求抛物线的标准方程，考查了抛物线的焦准距，属于基础题.22.x y、1 一.一16.焦点在x轴上的椭圆 一 y- 1的离心率e 一 , F, A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意4 b22一点，则uur PFPA的最大值为由椭圆x2y2b21焦点在x轴，得a 2, A(2,0),由离心率公式求出c,再求出b,利用坐标法求出uuir uuuPFgPA为二次函数，配方法，利用

15、 x的范围求出最值.22【详解】解：椭圆 y- 1焦点在x轴，所以a 2, A(2,0),4 b2由离心率 e - c, c 1 ,所以 b 4a/ J3, F( 1,0)2 a设 P(x,y),则uuuPA(2 x,uury)，PF (1 x, y),uuu uur贝U PFgPA (2x)(1 x)y2,因为y2uuir uuu 1 2 PFgPA -x41x 1 -(x4当x 2时,uur uuu 匕PF gPA的取大值为4 .【点睛】考查椭圆定义，离心率公式,向量坐标运算，配方法求最值，属于中档题.三.解答题（本大题6小题，共70分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17.已知S

16、n为等差数列an的前n项和，且S7 28,a2 2.（1）求数列an的通项公式;若bnbn的刖和Tn.【答案】（1） 1n .（ 2） .I_|/、I28但2,可出-个关于首公差的二元程组，扉个方程组,求出首项和公 TOC o 1-5 h z 差，进而求出等差数列an 项公式；.直接利用等比数列的前 弓 a1d 2a1 i【详解】解：（1）2 II,用牛1寸o r c 。同“ oo7 d-S7 7al 21d 28 d 1所以ann .bn的前n项和Tn【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式、等比数列前n项和公式，考查了数学运算能力、解方程组的能力.18.已知函数 f(x) 2si

17、n( x6)1(0）的周期是（1）求f （x）的单调递增区间;(2)求f(x)在0,-上的最值及其对应的 x的值.【答案】(1)g k，3 k k Z ； (2)当 X 0时，f X mm2;当 X 时，f Xmax 1(1)先由周期为求出2，再根据一2 k22x 2k ,k Z进行求解即可;62(2)先求出5， c . C一 2x ，可得 1 2sin 2x 一66662，进而求解即可【详解】(1)解：: T2, TOC o 1-5 h z 又0,2, f x 2sin 2x 1 ,62k 2x - - 2k , k Z , 2622k 2x 2k , k Z, 33k x k , k Z,

18、 63f x的单调递增区间为一k , k k Z63(2)解： 0 x ,0 2x2一 sin 2x 1,261 2sin 2x -26，2 2sin 2x -1 16，当 x 0时，f x .2 min，、r, c冗 冗r/当2X 一，即 X 一时，f X max 1623max【点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间，考查正弦型函数的最值问题，属于基础题.已知四棱锥 A-BCDE,其中 AC=BC=2, ACXBC, CD/ BE 且 CD=2BE, CD，平面 ABC, F 为 AD 的中与八、.(1)求证：EF平面ABC;(2)设M是AB的中点，若DM与平面ABC所成角的正切值为 近 ,

19、求平面ACD与平面ADE夹角的余弦值.1【答案】(1 )证明见解析；(2)3【解析】【分析】(1)取AC中点G ,连结FG、BG ,推导出四边形BEFG是平行四边形，从而EF/BG ,由此能证明EF/ 面 ABC .(2)由CD 平面ABC,是 CMD为DM与平面ABC所成角，以C为坐标原点，CB为x轴，CA为y 轴，CD为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能示出平面 ACD与平面ADE夹角的余弦值.【详解】证明：(1)取AC中点G ,连结FG、BG ,Q F、G分别是AD、AC的中点，八1 -FG/CD,且 FG CD.2又QCDBE,且 CD 2BE,四边形BEFG 平行四边形，EF/BG

20、 , EF 面 ABC 且 BG 面 ABC,EF面 ABC.(2)QCD 平面 ABC,CMD为DM与平面ABC所成角，QM 为 AB 的中点，且 AC BC 2, AC BC ,得 CM 22Q DM与平面ABC所成角的正切值为 J2 ,QCD 2 , BE 1,以C为坐标原点，CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴建立空间直角坐标, 则 B 2,0,0 , A 0,2,0 , D 0,0,2 , E 2,0,1uuiruuirAD 0, 2,2 , AE 2, 2,1 ,r设平面ADE的法向量为n x, y, z ,vuuv,n AD2y 2z 0 r r八由 vuuv，取 y 2 ,得 n

21、1,2,2 ,n AE 2x 2y z 0uuu而平面ACD的法向量为CB 2,0,0 ,r uuu uuu rv22ngCB2, CB2, n4222r uuu 由 cos n,CBr uuu ngCB-rutu- |ngCB|得平面ACD与平面ADE夹角的余弦值为-.【点睛】本题考查线面平行的证明，二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中 档题.已知函数f (x) x3 3ax 1在x 1处取得极值.(1)求实数a的值；(2)当x 2,1时，求函数f(x)的最小值.【答案】(1) 1； (2) 3.【解析】【分析】(1)求导，根据极值的定义可以求出实数a的值；(

22、2)求导，求出x 2,1时的极值，比较极值和f ( 2)、f(1)之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.【详解】(1)f (x)x33ax 1 f(x)3x23a ,函数 f (x)x33ax 1 在 x1 处取得极值，所以有 f( 1) 03( 1)2 3a 0 a 1 ；32(2)由(1)可知：f (x) x 3x 1 f (x) 3x 3 3(x 1)(x 1),当x ( 2, D时，f(x) 0,函数f(x)单调递增，当x (1时，f(x) 0,函数f(x)单调递减，故函数在x1处取得极大值，因此f( 1) ( 1)3 3 ( 1) 1 =1 ,f( 2) ( 2)3 3 ( 2)

23、1 = 3, f (1) 13 3 1 1 = 3,故函数 f(x)的最小值为 3.【点睛】本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力2 x21.已知椭圆C : -2 a2 y b21(a b 0)的离心率为 且，点(2, J2)在C上2. 1)求C的方程. 2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B线段AB中点为M .证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.试题分析:Ja2b242a2b2221,求得a 8,b4曲此可得2,22k 1 x_ 2 一4kbx 2 b8 0又22kb2k2 1b2k2一，于是kOM 1yMxM12k试题解析:

24、解：(I )由题意有a2 b22b21,解得a28,b2(n )设直线 l : y kx b k0,b0 , A Xi,yi , B X2,y2 ,M得2k21 x2_ 24kbx 2b8 0.故Xm2kbTl - , yM2k 1kxMb，于是直线OM 2k 1koM k1一,所以直线OM的斜率与直线 2l的斜率乘积为定值.考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力22.已知函数 f (x) ax ln x,x (0, e, a R.(1)当a=1时，求函数f(x) 单调区间;(2)若f(x) 0在(0,e上恒成立，求实数a的取值范围;C的方程MII)，:线方队 .I Jr rI,1/Lr22x y2K 2218422Y VIx yA _ A22乂Zl84kOM k4,所以椭圆C的方程xm/m ,把 y kx的斜率kOM 也 xM1示即(3)是否存在实数a,使函数f(x)的最小值是3?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由1c【答案】(1) f(x)在0,1上单调递