工程数学第4章课件

1、工程数学 第4章 概率论4.1随机事件与事件概率4.2随机变量及其概率分布4.3随机变量的数字特征4.4MATLAB软件在概率中的应用 4.1 随机事件与事件概率随机现象与随机试验4.1.11.随机现象在自然界中，有许多现象都是随机的。例如，向上抛一颗石子最后必然下落；同种电荷必然互相排斥；在标准大气压下，水在100摄氏度时一定会沸腾等。这类现象称为确定性现象或必然现象，即在一定条件下，一定会发生或不发生的现象。但是，我们还常常会遇到另一类现象。这类现象称为随机现象，即试验中可能出现也可能不出现的现象。对于随机现象，从表面上看好像没有规律，但在做大量重复观察或试验后，它们通常会呈现出一定的规律

2、性，即大量随机现象所具有的一种稳定性，称之为统计规律性。 4.1 随机事件与事件概率例如，蒲丰等人将一枚硬币反复抛掷，观察正、反面出现的次数。其试验数据如表4.4.1所示。 4.1 随机事件与事件概率从表中的数据可知，随着抛掷次数的增多，正面出现次数占总抛掷次数的百分比越来越接近0.5。为了更好地对随机现象进行研究，下面给出概率论中的一些基本概念。 4.1 随机事件与事件概率2. 概率论的基本概念定义1 为了研究随机现象就要对客观事物进行观察,观察的过程称为随机试验（简称试验）,它必须同时满足下述三个条件: (1)在相同条件下，可以重复进行试验; (2)每次试验的结果具有多种可能性； (3)试

3、验前可以明确试验的所有可能结果，但不能准确预言该次试验将出现哪种结果。 随机试验的每一个可能结果称为随机事件,简称事件。一般用A,B,C,表示。 4.1 随机事件与事件概率例4.1.1 某出租车公司电话订车中心，记录一天内接到订车电话次数，可能是0,1，2，B代表“该天内订车电话次数不超过100次”，则B是随机事件。 例4.1.2 从一个装有红、白、黄球各一个的盒中任取两个球，若令A表示结果“取到一个黄球和一个白球”，B表示“取到一个黄球和一个红球”，C表示“取到一个白球和一个红球”，D表示“取到白球”，则A,B,C,D都为随机事件。所谓必然事件是指在试验中必然发生的事件，用表示；所谓不可能事

4、件是指在试验中不可能发生的事件，用表示。 4.1 随机事件与事件概率定义2 事件发生是指该事件中的一个或多个基本事件发生，即如果某事件中的一个或多个基本事件发生，则认为该事件发生。 注意 (1)基本事件相当于集合中的“元素”，但需注意基本事件仍是一个事件； （2）复合事件由部分基本事件组成，相当于集合中的“子集”； （3）样本空间相当于集合中的“全集”； （4）若B=A1,A2,An，则A1,A2,An至少有一个发生的充要条件是B发生。 4.1 随机事件与事件概率3. 事件的关系与运算 4.1 随机事件与事件概率（2）和与积。 定义4 A与B中至少有一个发生的事件称为事件A与B的和，它是由A和

5、B中所有样本点构成的集合，记为AB或A+B。A与B同时发生的事件称为A与B的积，记为AB或AB,它是由A,B中所有公共样本点组成的集合。 （3）事件的差。 定义5 A发生而B不发生的事件称为A与B的差，记为A-B它是由属于A但不属于B的样本点组成的集合。 4.1 随机事件与事件概率（4）互不相容(或互斥)。 定义6 若A与B不能同时发生，即AB=，则称A与B互不相容(或互斥)。互不相容事件没有公共样本点。 显然，基本事件间是互不相容的，如例4.1.2中，A,B,C互不相容。 （5）对立事件（或互逆事件）。 定义7 若事件A发生当且仅当事件B不发生，则称A与B为对立事件（或互逆事件），记为A=B

6、，B=A. 显然，AA=，AA=，A是中所有不属于A的样本点组成的集合。 4.1 随机事件与事件概率事件间的关系和运算可用图4.1.1中的韦恩图形象地表示。 4.1 随机事件与事件概率例4.1.4 设A，B，C 是一个试验的三个事件，表示下列事件 （1）三个中至少有一个发生； （2）三个中至少有两个发生； （3）三个中恰好有两个发生； （4）三个中至少有一个不发生. 解 （1）可以表示为ABC； （2）可以表示为ABACBC； （3）可以表示为ABACBC; （4）可以表示为。 4.1 随机事件与事件概率4. 频率与概率定义8 若将一个试验重复进行n次，事件A发生了nA次， 则称fn(A)=

7、为事件A在这n次试验中发生的频率。注意 fn(A)与试验次数n有关，具有不确定性。 频率的性质如下： (1)0fn(A)1； (2)fn()=0,fn()=1； (3)若AB=，则fn(AB)=fn(A)+fn(B)= 。 4.1 随机事件与事件概率fn(A)不是一个固定的常数，随着n的变化而变化，但是，当试验次数n充分大时，fn(A)在一个确定的数值附近摆动，而且随着n的继续增加，摆动的幅度越来越小，逐渐稳定于一个确定的数值。 4.1 随机事件与事件概率定义9 一般地，若试验的条件可以重复，并且随着试验次数的增多，事件A发生的频率在一个确定的数值p(0p1)附近摆动，则称p为事件A发生的概率

8、。 注意 概率是频率的稳定值，是客观事物规律性的反映，是事件出现可能性大小的数值量度.也就是说,频率具有随机性，而概率则是确定的。 4.1 随机事件与事件概率 4.1 随机事件与事件概率例4.1.6 某城市共有10 000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？ 4.1 随机事件与事件概率随机事件与样本空间4.1.2本节讨论一种特殊的随机试验古典概型，它是概率论中的一种原始模型。 定义10 若试验E满足：（1）基本事件总数有限；（2）每个基本事件发生的可能性相等，则称E为古典概型。 需要指出的是，并不是所有随机试验都可以称为

9、古典概型，关键要看是否具备古典概型的两个条件。其中，条件（1）基本事件总数有限（即有限性）的识别是容易的，条件（2）每个基本事件发生的可能性相等（即等可能性）的识别，则需要依据某种“匀称性”或“任意性”来认定.为了强调条件（2），也称古典概型为等可能概型。 4.1 随机事件与事件概率设E为古典概型，且其样本空间为=1,2,n，由于每个基本事件发生的可能性相同，即P(i)=1/n。因此，若A是E的一个事件，且A中包含k个样本点，则P(A)=k/n。于是得古典概型的计算公式为： 4.1 随机事件与事件概率例4.1.7 从09这10个数字中任取4个数（允许重复），求下列事件的概率： （1）能构成四位

10、数； （2）能构成四位偶数； （3）能构成没有重复数字的四位数。 解 由于是允许重复的任取4个数，故可看成是每次取一个数字，看后放回，混合后再进行下一次抽取，于是基本事件总数为n=104 。 4.1 随机事件与事件概率（1）要构成四位数，首位不能为0，故只能从19中任取一个，后面三位则没有任何约束，故若令A=能构成四位数，则A中的基本事件个数为k=9103，则（2）能构成四位偶数，此时首位不能是0，末位只能从0,2,4,6,8中任取一个，中间两位则无约束，若令B=能构成四位偶数，则B中所含基本事件个数为k=91025 ，则 4.1 随机事件与事件概率（3）能构成没有重复数字的四位数，则首位不能

11、是0，且首位所选的数字，后面三位不可再选.若令C=能构成没有重复数字的四位数，则C中所含基本事件个数为 ，则例4.1.8 将3个球随机地放入4个杯子中，求杯子中球数最大值分别是1,2,3的概率。解 样本点总数为43。记Ai=杯子中球数最大值为i（i=1,2,3）， 则 4.1 随机事件与事件概率例4.1.9 投掷两枚骰子，已知两骰子的点数之和为7，求其中有一枚为1点的概率。 4.1 随机事件与事件概率例4.1.10 某人忘记了电话号码中的最后一个数字，因而他随意拨最后一位号码，求拨号不超过3次而拨通的概率。 4.1 随机事件与事件概率例4.1.11 在电话号码簿中任意取一个电话号码，求它后面的

12、4个数字全不相同的概率。 解 可将4个数看作4个人， 09这10个数字可看作10间房，则4个数字全不相同相当于恰有4间房， 每个房间住一人， 故所求概率为一般情况下，当P(A)0.05时，称事件A为小概率事件。人们在长期实践中总结出来一条原理实际不可能原理，即小概率事件在一次试验中几乎不可能发生。 4.1 随机事件与事件概率事件间的关系及其运算 4.1.31.条件概率引例 设100件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品从中任取1 件，求：(1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，它是一等品的概率。 4.1 随机事件与事件概率2. 乘法公式由条件概率公式，

13、易得如下乘法公式： 若P(A)0，则P(AB)=P(A)P(B|A)； （4.1.1） 若P(B)0，则P(AB)=P(B)P(A|B). （4.1.2） 一般地，对于事件A，B，谁先发生就把谁当成条件，如果A先发生，则用式（4.1.1），否则用式（4.1.2）。 4.1 随机事件与事件概率例4.1.13 一批产品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%。从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率。 解 设表示取到的产品是一等品，表示取出的产品是合格品，则 4.1 随机事件与事件概率例4.1.15 某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物

14、活到25岁的概率。 4.1 随机事件与事件概率随机事件的概率4.1.4如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一基本事件的概率都是随机事件的概率。 4.1 随机事件与事件概率例4.1.16 某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下:(1)试计算男婴各年出生的频率（精确到0.001）； (2)该市男婴出生的概率是多少？ 4.1 随机事件与事件概率解 （1）1999年男婴出生的频率为11 453/21 8400.524; 同理可求得2000年、2001年和2002年男婴出生的频率分别为0.521，0.512，0.512；

15、(2)各年男婴出生的频率范围为0.510.53，故该市男婴出生的概率约为0.52。 4.1 随机事件与事件概率例4.1.17 某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下：（1）计算表中进球的频率； （2）这位运动员投篮一次，进球概率约是多少？ 4.1 随机事件与事件概率解 （1）进球的频率分别为 6/8=0.75，8/10=0.8，12/15=0.8，17/20=0.85，25/30=0.83，32/40=0.8，38/50=0.76。 （2）由于进球频率都在0.8左右摆动，故这位运动员投篮一次，进球的概率约是0.8。 4.1 随机事件与事件概率概率的基本性质与事件独立性4.1.51. 事

16、件独立性的概念一般来说，无条件概率P(B)和条件概率P(B|A)是不相等的，这表明事件A的发生对事件B的发生与否是有影响的。当事件A的发生对事件B的发生与否没有影响时，我们认为事件B与事件A是独立的，即事件A与事件B独立时，有P(B|A)=P(B)=P(AB)/P(A)，从而P(AB)=P(A)P(B)。由此，引出独立性的定义。 4.1 随机事件与事件概率推广 A,B,C相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)都成立。 4.1 随机事件与事件概率2. 举例 例4.1.18 若每个人血清中

17、含有肝炎病毒的概率为0.4%, 假设每个人血清中是否含有肝炎病毒相互独立，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率。 4.1 随机事件与事件概率例4.1.19. 一个工人看管三台机床，其中第一台、第二台、第三台机床在一小时内不需要看管的概率依次为0.9,0.8,0.7，若三台机床需要看管与否相互独立，求在一小时内: （1）三台机床中至少有一台需要照管的概率； （2）三台机床中最多有一台需要照管的概率。 4.1 随机事件与事件概率例4.1.20 一个均匀的正四面体, 其第一面染成红色,第二面染成白色 , 第三面染成黑色, 而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以 A , B, C 分别

18、记投一次四面体出现红, 白, 黑颜色朝下的事件, 问 A,B,C是否相互独立? 4.1 随机事件与事件概率解 由于在四面体中红, 白, 黑分别出现两面,因此P(A)=P(B)=P(C)=1/2,又由题意知 P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4,因此则三事件两两独立，由于 P(ABC)=1/41/8=P(A)P(B)P(C),因此 A、B、C 不相互独立。 4.1 随机事件与事件概率全概率公式与二项概率公式4.1.61.全概率公式定义12 设随机事件的样本空间是，若事件组A1,A2,An满足：(1)AiAj=(ij;i,j=1,2,n),即两两互不相容； (2)A1A2An=（或 ），即A

19、1,A2,An至少有一个发生是必然事件,则称A1,A2,An构成一个完备事件组或称A1,A2,An组成的一个分割. 若A1,A2,An构成一个完备事件组，则每次试验A1,A2,An有且仅有一个发生。 4.1 随机事件与事件概率使用全概率公式需注意以下三点： （1）问题是否为两个步骤； （2）A1,A2,An为第一个步骤的完备事件组； （3）B发生在第二个步骤。定理2 设A1,A2,An构成一个完备事件组,B为任一事件,则 上式称为全概率公式。 4.1 随机事件与事件概率例4.1.21 设播种用麦种中混有一等、二等、三等、四等四个等级的种子，分别各占95.5，2，1.5，1，用一等、二等、三等、

20、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。 4.1 随机事件与事件概率解 设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4，则它们构成完备事件组，又设表示任选一颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式得 4.1 随机事件与事件概率2. 二项概率公式定义13 在相同条件下，将随机试验E重复进行n次，若每次试验结果互不影响，则称这n次试验为n重独立重复试验。若每次试验结果只有两个：A及 ，则称为n重伯努利试验，所讨论的问题称为伯努利概型。 例如，将一个骰子连掷n次，

21、则构成n重独立重复试验。观察是否出现3点，令A出现3点， 不出现3点，则该实验为n重伯努利试验。 4.1 随机事件与事件概率在一个装有a个白球，b个红球的口袋中每次取一球，看后放回，共取n次，则构成n重独立重复试验.若令A=取得红球， =取得白球，则也为n重伯努利试验。将一枚均匀的硬币连掷n次，令A=正面向上， =反面向上，则也构成n重伯努利试验。 伯努利试验的样本点设为1,2,n，其中I 或为A或为 ，表示第i次试验A出现或不出现。在n重伯努利试验中，A出现的次数可以是0,1,2,n中的任意数，A恰好出现k次的概率即为下面的二项概率公式。 4.1 随机事件与事件概率定理3 在n重伯努利试验中

22、，若事件A每次出现的概率为p(0p1)， 则A恰好出现k次的概率为 4.1 随机事件与事件概率例4.1.23 一批产品的次品率为 10%，现进行重复抽样检查，共取4件样品，求这4件样品中：（1）恰有1件次品;（2）至少有1件次品的概率。 4.1 随机事件与事件概率例4.1.24 求（1）“一颗骰子连掷4次，至少出现一个6点”的概率；（2）“两颗骰子连掷24次，至少出现一个双六”的概率。 4.1 随机事件与事件概率例4.1.25 某人对一目标进行独立重复射击4次，至少命中一次的概率为80/81，求此人的命中率. 解 设此人的命中率为p，据题意，80/81=1-b(0;4,p)=1-(1-p)4,

23、解得p=2/3。 4.2 随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布4.2.1定义1 如果随机变量X只能取有限个或可列无穷多个数值,则称X为离散型随机变量。 例如，n次射击命中目标的次数，任取n件产品中的次品的件数，一部手机一天收到呼叫的次数，某页书中印刷错误的个数等都是离散型随机变量。 描述离散型随机变量统计规律性的方法是，给出它取每一个值的概率。 4.2 随机变量及其概率分布定义2 设X为离散型随机变量，x1,x2,xk,为它所有可能取的值，p1,p2,pk,分别是X取x1,x2,xk,时所对应的概率，即 PX=xk=pk(k=1,2,)，称为X的概率分布（或分布列，分布律）。还可用表

24、格表示为：概率分布的性质:（1）pk0； （2） 4.2 随机变量及其概率分布例4.2.1 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须被击中r次才能被摧毁。若每次击中目标的概率为p(0p1),且各次轰击相互独立,一次次地轰击直到摧毁目标为止。求所需轰击次数X的概率分布。 4.2 随机变量及其概率分布例4.2.3 独立射击5 000次, 命中率为0.001, 求：(1)最可能命中次数及相应的概率； (2)命中次数不少于1 次的概率。 4.2 随机变量及其概率分布例4.2.4 某厂产品不合格率为0.03, 现将产品装箱, 若要以不小于90%的概率保证每箱中至少有100个合格品, 则每箱至少应装多少个产

25、品？ 解 设每箱至少应装100+n 个, 每箱的不合格品个数为X,则XB(100+n,0.03)。由题意， 4.2 随机变量及其概率分布连续型随机变量及其概率密度4.2.21.连续型随机变量的概念定义4 对于随机变量X的分布函数F(x)，如果存在非负可积函数f(x)，对任意实数x有 则称X为连续型随机变量，并称f(x)为随机变量X的概率密度函数，简称概率密度。 4.2 随机变量及其概率分布注意 连续型随机变量的分布函数是连续函数，其图形是一条连续曲线。 概率密度f(x)的性质如下： 4.2 随机变量及其概率分布例4.2.6 设随机变量的概率密度函数为 4.2 随机变量及其概率分布 4.2 随机变量及其概率分布2. 几种常见的连续型随机变量及其分布（1）均匀分布。 定义5 如果随机变量X的概率密度为 4.2 随机变量及其概率分布（2）指数分布。 定义6 如果随机变量X的概率密度为 4.2 随机变量及其概率分布指数分布在实际生活中有很广泛的应用，特别是在可靠性及排队论中有重要应用；其次，电子元件的寿命、随机服务系统中服务的时间、动物的寿命、电话的通话时间等都服从指数分布。 4.2 随机变量及其概率分布例4.2.9 设随机变量X服从(1,6)上的均匀分布，求一元二次方程t2+xt+1=0有实根的概率。 4.2 随机变量及其概率分布定义7 如果随机变量X的概率密度为 4.2 随