方差协方差(ppt)课件

1、4.2 方差一. 定义与性质方差是衡量随机变量取值波动 程度的一个数字特征。？如何定义？引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发子弹击中的环数分别为：甲 10, 7, 9, 8, 10, 6, 乙 8, 7, 10, 9, 8, 8, 问哪一个射手的技术较好？解 首先比较平均环数甲 = 8.3,乙 = 8.3有五个不同数有四个不同数4.2 方差再比较稳定程度甲：乙：乙比甲技术稳定，故乙技术较好.进一步比较平均偏离平均值的程度甲乙 E X - E(X)2一、方差的定义又记称为X的标准差或均方差。 设X是随机变量，若期望 存在，则称它为随机变量X的方差，记为关于方差的定义和计算作如下的说明：1)

2、为什么用 的均值 来衡量随机变量X与均值 的分散程度？7首先想到的应该是用 的均值 来表示 ， 但由于 会有正有负,相互抵消，因此不能刻划随机变量 X 取值的分散程度.E(X)2) 由定义知,方差实际上就是随机变量X的函数 的数学期望。对于离散型随机变量，设其分布律为则8 如果用 加绝对值 的期望值来刻划随机变量 X 的分散程度，因计算不方便 ，故采用 的期望 来刻划随机变量X的分散程度。对连续型随机变量，设X的概率密度函数为则证：在 已知的情况下,用上式计算方差,只需求出 即可。93) 常用的计算方差之公式二、方差的性质c为常数 c为常数 设X和Y相互独立， 存在 则 的充要条件是：X依概率

3、1取常数 c，即证：这里对性质进行证明, 的证明超过范围 10同理可得合并两式：X与Y独立，也相互独立故与由数学期望性质 可得 此性质可推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。11例1 设随机变量X具有概率密度求D(X)解:于是三、常见分布的期望方差1.两点分布设X服从参数为 的两点分布，其分布律为12引进随机变量第i次事件A不发生第i次事件A发生而因此13所以且 相互独立设2. 二项分布3、泊松分布X服从参数为 的泊松分布，其分布律为：144、均匀分布设其它即位于区间(a,b)的中点。15因此，泊松分布的期望与方差都等于参数 ,泊松分布只含一个参数 , 因此,只要知道它的期望式方差，

4、就可确定它的分布。5. 指数分布 设X服从参数为 ( 0 为常数)的指数分布16令176. 正态分布设令18 这就是说，正态随机变量的概率密度中的两个参数 和 分别是该随机变量的期望与方差，因而正态随机变量的分布完全可由它的期望和方差确定。关于正态分布的一个重要结论:设X,Y相互独立,且都服从正态分布则X,Y的任一线性组合:仍服从正态分布例2: (1)设随机变量X与Y独立, 且服从均值为1、标准差为 的正态分布,而Y服从标准正态方布, 试求随机变量 Z=2X-Y+3 的概率密度函数. (2) 已知X,Y相互独立同服从分布求21解: (1) 由题意知, 且X与Y相互独立, 故X与Y的线性组合Z=

5、2X-Y+3仍服从正态分布,且而故于是Z的概率密度函数为 :故 X-Y 也服从正态分布.(2) 因为X与Y相互独立,22又因此故例3 已知X ,Y 相互独立, 且都服从 N (0,0.5), 求 E( | X Y | ).解故例4例4 设活塞的直径（以cm计） ，气缸的直径 ,X与Y相互独立.任取一只活塞, 任取一只气缸,求活塞能装入气缸的概率解 由题意需求由于故有标准化随机变量设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在, 且D(X ) 0, 则称为 X 的标准化随机变量. 显然，Ch4-23 4.4 协方差和相关系数问题 对于二维随机变量(X ,Y ):已知联合分布边缘分布 对二

6、维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系问题是用一个怎样的数去反映这种联系. 数反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系 4.4协方差反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系一. 协方差 对于二维随机变量(X,Y), 如果存在则称它为X与Y的协方差，记为 即: 1. 协方差的定义22. 协方差的常用计算公式：Ch4-26 若 ( X ,Y ) 为离散型，若 ( X ,Y ) 为连续型，协方差和相关系数的计算 3. 协方差的基本性质: 31)2)3)证:1),2) 显然。4）前面已证二、相关系数 对于二维随机变量 (X,Y) 称为X与Y的相关系数4对此定义作如下

7、说明1. 将随机变量和标准化即令Ch4-29求 cov (X ,Y ), XY 1 0 p qX P 1 0 p qY P 例1 已知 X ,Y 的联合分布为XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 1p + q = 1解 1 0 p qX Y P 例1Ch4-30例2 设(X,Y)具有概率密度求 Cov(X,Y).解：Ch4-32例3 设 ( X ,Y ) N ( 1,12;2,22 ; ), 例2则XY = 若 ( X ,Y ) N ( 1, 12, 2, 22, ),则X ,Y 相互独立X ,Y 不相关Ch4-33例4 设 U(0,2) , X=cos , Y=cos( + ), 是

8、给定的常数，求 XY 解例3Ch4-34Ch4-35若若有线性关系若不相关，但不独立，没有线性关系，但有函数关系2. 相关系数 满足 1) 的充要条件是存在常数a,b2)证：1)由使5 此式说明相关系数实际上是随机变量X和Y经标准化之后新的随机变量的协方差. 考虑新变量 与 之和的方差。2) 必要性，设则6由方差性质 4) ,存在常数C，使得下式成立即得如果 可考虑也容易找到常数 使得7取充分性, 只要将代入 由此表明，当 时，X，Y存在着线性关系，这时如果给定一个随机变量之值，另一个随机变量值便可完全决定。得到8 有线性关系是一个极端，另一极端是 场合。3. 若X与Y 的相关系数 则称X与Y 不相关。Ch4-406.做n次试验，X、Y分别表示试验成功、失败的次数，则X与Y的相关系数为（ ） 1 ； -1 ； 0 ； 2.Ch4-41 X , Y 不相关X ,Y 相互独立X , Y 不相关若 ( X , Y ) 服从二维正态分布，X , Y 相互独立X , Y 不相关Ch4-42例4 设 ( X ,Y ) N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X + Y-1 , 求 XZ解例4柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式 设X