数学第八章课件

1、数 学（第3册）第八章 数列数列的概念第一节等 差 数 列第二节等 比 数 列第三节数列实际应用举例第四节数学归纳法第五节数列的概念第 一节一、数列的基本概念先看几个例子，将正整数从小到大排成一列数为1,2,3,4,5,；将上列数的倒数排成一列新的数为将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为2,22,23,24,25,.一、数列的基本概念数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是否为同一个数列？ 想一想一、数列的基本概念在上面的例子中，按照一定的顺序排成的一列数叫作数列.数列中的每一个数都叫作这个数列的项.在一个数列中，从开始的项起，自左至右排序，各项按照其位置依次叫作这个数列的第1项（首

2、项），第2项，第3项，第n项，其中反映各项在数列中位置的数字1,2,3，n,分别叫作对应项的项数.只有有限项的数列叫作有穷数列，有无限多项的数列叫作无穷数列.一、数列的基本概念课堂练习二、数列的通项公式 由于数列的项都是按一定的顺序排列的，则每一项都占有一个不同的序号.因此，在一个数列中，每一项与它的序号都有一一对应的关系.数列的一般形式可以写作a1,a2,an,(nN*)，记作an，其中下脚标的数字代表项数.因此，通常把第n项an叫作数列an的通项或一般项.二、数列的通项公式二、数列的通项公式数列2,22,23,24,25,的通项公式是an=2n，可以记为2n.由数列的有限项探求通项公式时，

3、通项公式的答案是唯一的吗？举例讨论一下.知道了一个数列的通项公式后，只要用正整数1,2,3,依次代替公式中的n，就可以求出这个数列的每一项.因此，知道了数列的通项公式也就知道了这个数列的每一项.二、数列的通项公式【例1】二、数列的通项公式【例2】已知数列的通项公式为an=10+2n,求：（1）数列的前4项；（2）数列的第10项.解 （1）a1=10+21=12,a2=10+22=14,a3=10+23=16,a4=10+24=18.因此，数列的前4项是12，14，16，18.（2）数列的第10项是a10=10+210=30.二、数列的通项公式【例3】某水泥厂生产水泥，今年的产量为18万吨，由于

4、技术改造，计划每年增产15%，写出从今年开始5年内每年的产量排成的数列，并写出通项公式.解 a1=18;a2=18(1+0.15)=181.15;a3=181.15(1+0.15)=181.152;a4=181.152(1+0.15)=181.153;a5=181.153(1+0.15)=181.154.二、数列的通项公式故该数列为18，181.15,181.152,181.153,181.154.其通项公式为an=181.15n-1,n1,2,3,4,5.三、数列的前n项和一般地，设有数列an，称a1+a2+a3+an或 为数列an的前n项和，记作：Sn=a1+a2+a3+an或由数列的通项

5、an及前n项和Sn的概念不难得出：a1=S1,a2=S2-S1,an=Sn-Sn-1.三、数列的前n项和【例4】三、数列的前n项和【例5】三、数列的前n项和课堂练习等 差 数 列第 二节一、等差数列的概念将正整数中3的倍数从小到大排列，组成数列3,6,9,12,15,；将正偶数从小到大排列，组成数列2,4,6,8,.在第一个数列中，从第2项起，数列中的每一项与它前一项的差都为3；在第二个数列中，从第2项起，数列中的每一项与它前一项的差都为2.很显然，这两个数列有一个共同点：从数列的第2项起，数列中的每一项与它前一项的差都为常数.一、等差数列的概念如果等差数列a1,a2,an的公差为d，那么数列

6、an,an-1,a2,a1是否为等差数列？如果是等差数列，则公差是多少？ 想一想一、等差数列的概念一般地，如果数列a1,a2,an,从第2项起，每一项与它前一项的差都等于一个常数，那么，这个数列叫作等差数列.常数叫作等差数列的公差，一般用字母d表示.由定义可知，若数列an为等差数列，d为公差，则an+1an=d，即an+1=an+d.（8-1）在上面的例子中，两个数列都为等差数列，公差分别为3和2.一、等差数列的概念课堂练习二、等差数列的通项公式设数列an为等差数列，且公差为d，则 a1=a1,a2=a1+d,a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d,a4=a3+d=(a1+2d)+d=a

7、1+3d,由此可知，首项为a1，公差为d的等差数列的通项公式为an=a1+(n1)d.（8-2）二、等差数列的通项公式学习提示在等差数列的通项公式中，其有四个量：a1,d,n,an，只要知道其中的任意三个量，就可以求出另外一个量.二、等差数列的通项公式【例1】二、等差数列的通项公式【例2】二、等差数列的通项公式【例3】二、等差数列的通项公式【例4】二、等差数列的通项公式【例5】二、等差数列的通项公式课堂练习三、等差数列的前n项和一般地，设等差数列an的前n项和是Sn，即Sn=a1+a2+a3+an2+an1+an，（8-3）也可以写作Sn=an+an1+an2+a3+a2+a1.（8-4）将（

8、8-3）式和（8-4）式两边相加，得2Sn=(a1+an)+(a2+an1)+(a3+an2)+(an2+a3)+(an1+a2)+(an+a1).二、等差数列的通项公式因此，得二、等差数列的通项公式在实际应用时，应如何对公式（8-5）和（8-6）进行选择？ 想一想二、等差数列的通项公式【例6】二、等差数列的通项公式【例7】二、等差数列的通项公式课堂练习 等 比 数 列第 三节一、等比数列的概念我国古代著名学者庄子曾提出“一尺之锤，日取其半，万世不竭”.用现代语言叙述应是：一尺长的木棒，每日取其一半，永远取不完.这样，每日剩下的部分都是前一日的一半.如果把“一尺之锤”看做是单位“1”，那么就可

9、以得到一个数列从上面的例子中看到，数列中的每一项与它的前一项的比都等于12.一、等比数列的概念如果等比数列a1,a2,an的公比为q，那么数列an,an-1,a2,a1是否为等比数列?如果是等比数列，则公比是多少？ 想一想一、等比数列的概念一般地，如果一个数列a1,a2,an,从第2项起，每一项与它前一项的比都等于一个非零的常数，那么这个数列叫作等比数列.非零常数叫作等比数列的公比，一般用字母q来表示.由定义可知，若数列an为等比数列，公比为q，则a1与q均不为零，且有 即 an+1=anq. （8-7）一、等比数列的概念【例1】一、等比数列的概念课堂练习二、等比数列的通项公式设等比数列an的

10、公比为q，则a2=a1q,a3=a2q=(a1q)q=a1q2,a4=a3q=(a1q2)q=a1q3,由此可知，首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式为 an=a1qn1.（8-8）二、等比数列的通项公式在等比数列an中，a3是不是a1和a5的等比中项? 想一想二、等比数列的通项公式【例2】二、等比数列的通项公式【例3】二、等比数列的通项公式二、等比数列的通项公式【例4】二、等比数列的通项公式【例5】二、等比数列的通项公式【例6】二、等比数列的通项公式课堂练习三、等比数列的前n项和下面研究如何求等比数列的前n项和.一般地，设等比数列an的前n项和为Sn，即Sn=a1+a2+an1+an,根

11、据等比数列的通项公式an=a1qn1，上式可以写为Sn=a1+a1q+a1qn2+a1qn1,（8-9）将（8-9）式的两边同时乘以公比q，得qSn=a1q+a1q2+a1qn1+a1qn,（8-10）(8-9)(8-10)得(1q)Sn=a1a1qn.三、等比数列的前n项和学习提示在求等比数列的前n项和时，一定要先判断公比q是否为1.三、等比数列的前n项和【例7】三、等比数列的前n项和课堂练习数列实际应用举例第 四节第 四 节 数列实际应用举例在生活实践中，有很多实际问题都可以转化为数列问题，然后用数列的知识求解.一、等差数列简单应用【例1】一、等差数列简单应用解得d=-24.因此a2=21

12、6-24=192,a3=192-24=168,a4=168-24=144.所以中间3个皮带轮的直径依次是192 mm,168 mm,144 mm.一、等差数列简单应用【例2】一、等差数列简单应用【例3】一、等差数列简单应用一、等差数列简单应用二、等比数列简单应用【例4】二、等比数列简单应用数学归纳法第 五 节第 五 节 数学归纳法数学归纳法是一种特殊的证明方法，主要用于研究与正整数有关的数学问题例如，对于数列an，已知a1=1，an+1=2an(n=1，2，3，)，通过对前四项的归纳，可以猜想出其通项公式为a=2n-1但是，我们只能肯定这个猜想对于前四项是成立的，而数列an的项数有无限多个，不

13、可能对其进行逐一验证，那么怎样才能证明这个猜想呢?第 五 节 数学归纳法对于多米诺骨牌游戏，大家都不陌生，这是一种码放骨牌的游戏码放骨牌时要注意每两块牌之间要有一个合适的距离，以保证后一块牌能因前一块牌倒下而倒下这样只要推倒第一块骨牌，就可导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下；最后，无论有多少块骨牌都能全部倒下可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌都能全部倒下：第 五 节 数学归纳法(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下其中条件(2)给出一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下这样，无论有多少块骨牌，只要第一块骨

14、牌倒下，通过条件(2)给出的递推关系，其他所有的骨牌就能够相继倒下同理，对于上面提到的数列an，当n=1时，a1=21-1=1，猜想成立，这就相当于游戏的条件(1)；类比条件(2)，可以尝试证明数列an第 五 节 数学归纳法是否满足递推关系：如果n=k时猜想成立，即ak=2k-1，那么n=k+1时猜想也成立，即ak+1=2(k+1)-1事实上，如果ak=2k-1，那么ak+1=2ak=22k-1=2(k+1)-1，即n=k+1时，猜想也成立第 五 节 数学归纳法这样，对于猜想，当n=1时成立，就有n=2时也成立；当n=2时成立，就有n=3时也成立；当n=3时成立，就有n=4时也成立；所以，对于

15、任意的正整数n，猜想都成立，即数列的通项公式为an=2n-1一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当n取第一个值n0(n0N*)时，命题成立；(2)假设n=k(nn0，kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立第 五 节 数学归纳法学习提示步骤(1)是奠基步骤，是论证命题的基础；步骤(2)是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题是否由特殊推广到一般的依据，它反映了无限递推关系.第 五 节 数学归纳法根据以上两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法应用数学归纳法，可以对许多数学猜想进行验证，如哥德巴赫猜想、费马猜想、四色猜想

16、等应用数学归纳法证明与正整数有关的命题的步骤可用框图表示，如图8-1所示图 8-1第 五 节 数学归纳法【例1】第 五 节 数学归纳法(2)假设n-k(k1,kN*)时,等式成立,即ak=a1+(k-1)d,那么，当n=k+1时，由于ak+1=ak+d,则ak+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+(k+1)-1d,即当n=k+1时，等式也成立综上所述，等差数列an=a1+(n-1)d对任意nN*都成立第 五 节 数学归纳法【例2】第 五 节 数学归纳法第 五 节 数学归纳法【例3】用数学归纳法证明：xn-yn能被x-y整除证明 (1)当n=1时，x-y能被x-y整除(2)假设n=k(k

17、1，kN*)时，xk-yk(kN*)能被x-y整除，那么，当n=k+1时，则xk+1-yk+1=xxk-yyk=xxk-xyk+xyk-yyk=x(xk-yk)+yk(x-y)因为xk-yk与x-y都能被x-y整除，故当n=k+1时，xk+1yk+1也能被x-y整除综上所述，命题对任意nN*都成立第 五 节 数学归纳法课堂练习阅读材料一、斐波那契数列的定义“斐波那契数列”的发明者是意大利数学家列昂纳多斐波那契（Leonardo Fibonacci，11751250). 斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，.这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和.它的通项公

18、式为： 又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例.这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的.阅读材料二、奇妙的属性随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.618 033 988 7.从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1. 斐波那契数列f(n)：f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2,的其他性质： 1.f(0)+f(1)+f(2)+f(n）=f(n+2)1；2.f(1)+f(3)+f(5)+f(2n1)=f(2n)；3.f(2)+f(4)+f(6)+f(2n)=f(2n+1)1；阅读材料4.f(0)2+f(1)2+f(n)2=f(n)f(n+1)；5.f(0)f(1)+f(2)+(1)nf(n)=(1)nf(n+1)f(n)+1；6.f(m+n-1)=f(m1)f(n1)+f(m)f(n)；7.f(n)2=(1)n1+f(n1)f(n+1)；8.f(2n1)=f(n)2f(n2)2；9.3f(n)=f(n+2)+f(n2)；10.f(2n2m2)f(2n)+f(2n+2)阅读材料在杨辉三角中隐