系统工程---多目标决策ppt课件

1、 多目的决策 第十六章制造人 赵小君 2002年3月22日第一节 引言 在消费、经济、科学和工程活动中经常需求对多个目的目的的方案、方案、设计进展好坏的判别，例如设计一个导弹，既要其射程远，又要耗燃料少，还要命中率高等；又如选择新厂址，除了要思索运费、造价燃料供应费等经济目的外，还要思索对环境的污染等社会要素。只需对各种要素的目的进展综合衡量后，才干作出合理的决策。 例 由n种成分 组成一个橡胶配方，可用 表示。对于每一个配方要同时调查几个目的，如强度 ，硬度 ，伸长率 ，变形度 等。假定有m个目的。它们都与配方方案 有关，它们与 的关系为 , , , 。 当m 很多时，要比较两方案的优劣时，

2、就往往很难下决断了。于是有人把这问题用数学规划来处置。先以某目的作为主要目的，如以强度 为主要目的，并且越大越好。而其它目的只需落在一定规格内就可以。这就把这问题这里A表示对 本身的一个限制， 表示第 i 个目的的上、下限。化为求第二节 根本概念 在思索单目的最优化问题时，只需比较恣意两个解对应的目的函数值后，就能确定谁优谁劣目的值相等时除外。在多目的的情况下就不能这样比较了。例如，有两个目的都有要务虚现最大化，这样的决策问题，假设能列出十个方案，各方案能实现 的不同的目的值如下图。 由图可见，对于第一个目的来说方案1优于2；而对于第二个目的方案那么方案2优于1。因此无法确定谁优谁劣；但是它们

3、都比如案3，5劣。方案3，5之间又无法比较。在图中10个方案，除方案3、4、5外，其它方案都比它们中的某一个劣。因此称1、2、6、7、8、9、10为劣解，而3、4、5之间又无法比较谁优谁劣；但又不存在一个比它们中任一个还好的方案，故称此三个方案为非劣解或称为有效解。假定m个目的 ， ， ， 。 同时要调查，并要求都越大越好。在不思索其它目的时，记第I个目的的最优值为相应的最优解记为 ， ；其中R是解的约束集合。当这此 都一样时，就以这共同解作为多目的的共同最优解。普通不会全一样，例如 时，这两个解就难比优劣，但是它们一定都是非劣解。为了与单目的最优化的记号有所区别，今后用 或表示在约束集合R内

4、求多目的问题的最优亦称求向量最优；其中假设各目的都要求越小越好，就用表示。为了简易起见，本节普通只思索n维欧氏空间 ，即实践上当 是最优解时，即表示 有当 是非劣解时，即不存在 有以后用“ 表示 ，但 ，即至少有一个分量，有“ 才成立，即严厉大于。相应的 在目的函数空间中称为非劣点或有效点。有的还进一步引入弱非劣解，即当 是弱非劣解，基不存在 有为直观起见，举几个数值例子。 解 先对单个目的分别求出其最优解，显然第一个目的的最优解 。这时第二个目的的最优解是 ，这时由于故取 作为这多目的 问题的最优解。下面用变量空间和目的函数空间分别来描画各种情况，见图16-2。图中 两个解彼此无法比较，但都

5、劣于 。图16-2例2 解 容易求得 这时多目的问题没有共同最优解。从图16-3可见， 两个解无法比较，但是容易找到 ， 仍无法比较优劣，但还可找到 。 解 却不存在 可以比它优，这时 为非劣解。本例中 时都是非劣解。 图16-3例3求解 易求得 ，这时多目的问题无最优解，而 都是非劣解，见图16-4。图16-4例4 解 易求得 因此多目的问题最优解即 图16-5所示的 之间无法比较，但都劣于A。图16-5在单目的时任何两个解都可以比较其优劣，因此是完全有序的。可是在多目的时任何两个解不一定都可以比出其优劣的，因此只能是半有序的。假定一切x是属于全空间中某一个约束集合R，即 ,在 上对任一个解

6、x 可以定义一个半序：，a b 表示a优于b，可把 分成三个子集： 1 一切比x优的解集合； 2 一切比x劣或相等的解集合； 3 一切与x无法比较的解集合。显然 按照这些子集的划分，Zadeh给出“非劣和“最优的定义。 定义1 解 叫作在R内“非劣，假设 。 定义2 解 叫作在R内最优，假设 。 推论： 假设 是最优解，那么必为非劣解。反之不然。第三节 化多为少的方法 要求假设干目的同时都实现最优往往是很难的。经常是有所失才干有所得，那么问题的失得在何时最好。各种不同的思绪可能引出各种合理处置得失的方法。以下介绍化多为少的方法。3.1 主要目的法处理主要问题，并适当兼顾其它要求。优选法。 在实

7、践问题中经过分析讨论，抓住其中一两个主要目的，让它们尽能够地好，而其它目的只需满足一定要求即可。经过假设干次实验以到达最正确。数学规划法 设有m个目的 ， ， ， 要调查，其中一两个方案变量 约束集合，假设以某目的为主要目的，如 要务虚现最优最大，而对其它目的只滞一定规格要求即可，如其中当就变成单边限制，这样问题就可化成下述非线性规划问题：3.2 线性加权和法假设有m个目的 ，分别给以权系数 i=1,2, ,m), 然后作新的目的函数也称成效函数 这种方法的难点是如何找到合理的权系数，使多个目的用同一尺度一致同来。同时的找到的最优解又是向量极值的好的非劣解。在多目的最优化问题中不论用何方法，至

8、少应找到一个非劣解或近似非劣解。其次，因非劣解能够有很多，如何从中挑出较好的解，这个解有时就要用到另一个目的。下面引见几种选择特权系数的方法。1 -法 先以两个目的为例，假设一个目的是要求劳动量耗费 为最小，另一个目的是收益 为最高。它们都是线性函数，都以元为单位。R也为线性约束，即A为矩阵，b 为列向量。作为新目的函数请留意点 与 的联线的斜率为 与新目的函数 的平行经簇的斜率是一致的，见图16-7。U取最大值时，正好是此平行线簇中与c点相交。图16-7对于有m个目的 ， ， 的情况，无妨设其中 ， ， 要最小化，而 ， ， 要求最大化，这时可构成下述新目的函数。例1 设有试用 -法求解。解

9、 先分别对 求得其最优解，它们是(2)当m个目的都要务虚现最大时，可用下述加权和成效函数，即 3.3 平均和加权法 设 有 m 个 规 定 值 要 求 m 个 函数 分别与规定的值相差尽量小，假设对其中不同值的相差又可不完全一样，即有的要求重一些，有的轻一些，这时可采用下述评判函数：3.4 理想点法 有m个目的 每个目的分别有其最优值假设一切 都一样，设为 。那么令 时，对每个目的都能到达其各自的最优点。惋惜普通做不到，因此对向量函数 理想点法，其中心思想是定义了一定的模，在这个模意义下找一个点尽量接近理想点，即让模对于不同的模，可以找到不赞同义下的最优点，这个模也可看作评判函数，普通定义的p

10、-模是：P的普通取值在 。当取p=2,这时模即为欧氏空间中向量 与向量 的间隔，见图16-8。要求模最小，也即要找到一解，它对应的目的 值与理想点的目的值间隔最近，可表示为图16-8 p 1 2 3 4 16 64 3 9 27 7 5 4.498 4 当p=2时，其几何意义是两点之间的最短间隔为直线；而当p2时，其间隔就小于这两点之间的直线间隔；并且p越大，间隔值就越趋向于较大的分量属性、目的。因此可取不同的p值代表人们对较大分量属性、目的的偏爱程度，它就不是几何概念了。 上述3.3、3.4的方法也是目的规划法的一类，即事先规定一些目的值，然后另设目的，看其接近这些值的程度。新设的目的有时也

11、称超目的，易证明理想点法求出的解一定是非劣解，自然它在目的值空间中就是有效点。例9 解 先对单目的求出最优解取p=2，这时要求这时可求得最优解为 ，对应的目的值分别为 见图16-9。图16-93.5 乘除法 当在m个目的 中，无妨设其中k个 要务虚现最小，其他 要务虚现最大，并假设 这时可采用评判函数3.6 效果系数法几何平均法 设m个目的 其中 个目的要务虚现最大， 个目的要务虚现最小，其他的目的是过大不行，过小也不行。对于这些目的 分别给以一定的效果系数即评分 ， 是在0,1 之间的某一数。当目的最称心到达时，取 ；当最差时 取 。描画 与 的关系，称为效果函数，表示为 。对于不同类型目的

12、 应先用不同类型的效果函数。 I型：当 越大， 也越大； 越小， 也越小。 II型： 越小， 越大； 越大， 越小。 III型：当 取适当值时， 最大；而 取作偏值即过大或过小时， 变小。 详细效果函数构造法可以很多，有直线法，折线法，见图16-10和图16-11，指数法见面礼6-12。图16-100.10.37(a)(b)(c)图16-12图16-11用指数法构造I型效果函数，可设其表达式为其中 可这样确定： 当 到达某一刚合格值 时，取 当 到达某一不合格值 时，取将上述要求代入上式即有有了效果函数后，对每个目的都可对应为相应的效果函数。目的值可转化成效果系数。这们第确定一方案x后，就有m

13、个目的函数值 ；然后用其对应的效果函数转换为相应的效果系数 。并可用它们的几何平均值为评价函数，显然D越大越好。D=1是最称心的，D=0是最差的。这样定义的评价函数有一个益处，一个方案中只需有一个目的值太差，如 ，就会使D=0，而不会采用这个方案。第四节 分层序列法 由于同时处置m个目的是比较费事，故可采用分层法。分层法的思想是把目的按其重要性给出一个序列，分为最重要目的，次要目的等等。设给出的重要性序列为下面引见逐个地求最优化的序列最优化。 首先对第一个目的求最优，并找出一切最优解的集合记为 。然后在 内求第二个目的的最优解，记这时的最优解集合为 ，如此等等不断到求出第m个目的的最优解 ,其

14、模型如下：这方法有解的前提是 非空，同时 都不能只需一个元素，否那么就很难进展下去。 当R是紧集，函数 都是上半延续，那么按下式定义的集求解。第五节 直接求非劣解 上述种种方法的根本点是将多目的最优化问题转化成一个或一系列单目的最优化问题。把对后者求得的解作为多目的问题的解，这种解往往是非劣解。对经转换后的问题所求出的最优解往往只是原问题的一个或部分非劣解，至于其它非劣解的情况却不得而知。于是出现第三类直接求一切非劣解的方法，当这些非劣解都找到后，就可供决策者做最后的选择，选出的好解就称为选好解。显然决策者这时的选好，必需取决于他心中的另一个目的。这能够是定性的或无法奉告的。运筹学任务者主要是

15、根据知的目的，尽能够地列出非劣解，以供决策者选择。非劣解求法很多，这里仅引见线性加权和改动权系数的方法。 在第三节中已提到了线性加权的方法，但那里是按一定想法确定权系数，然后组成线性加权和的函数，并从中求出最优解。可以证明当对目的函数做一定假设，例如目的函数都是严厉凹函数，那么用线性加权和法求得的最优解是多目的最优化问题的一个非劣解。假设再假设约束集合R为凸集，只需不断改动权系数 ，对其相应的加权和目的函数求出的最优解可以跑遍一切多目的问题的非劣解集，但这方法只是从原那么上而且要有一定的假设可以求出所非劣解，而在实践处置上却有一定困难。如何依次变动权系数，而使其得出最优解，正好得到一切非劣解，

16、下面举例阐明。解 易看出这个多目的问题的非劣解而利用线性加权和方法，需求作新目的函数可得第六节 多目的线性规划的解法 当一切目的函数是线性函数，约束条件也都是线性时，可有些特殊的解法。特别是泽勒内Zeleny等将解线性规划的单纯形法给于适当的修正后，用来解多目的线性规划问题，或把多目的线性规划问题化成单目的的线性规划问题后求解，以下引见两种方法。6.1 逐渐法STEM 逐渐示是一种迭代法。在求解过程中，每进展一步，分析者把计算结果通知决策者，决策者对计算结果做出评价。假设以为已称心了，那么迭代停顿；否那么分析者再根据决策者的意见进展修正和再计算，如此直到求得决策者以为称心的解为止，故称此法为逐

17、渐进展法或对话式方法。 设有K个目的的线性规划问题。表16-1第二步：求权系数从表16-1中得到为了找出目的值的相对偏向以及消除不同目的值的量纲不同的问题，进展如下处置。经归一化后，得权系数第三步：构造以下线性规划问题，并求解。假定求得的解为 ，相应的k个目的值为 ,并令j个目的的权系数 ，这表示降低这个目的的要求。再求解以下线性规划问题。假设求得的解为 ，再与决策者对话，如此反复，直到决策者称心为止。例11 试求解多目的线性规划问题。解 为了使问题的目的函数一致为求最大的规划问题，将 化为第1步：求理想解 分别求解两个目的线性规划问题 5960 5300 -48 -30 5960 -30第3

18、步：求解以下线性规划问题第4步：对话再计算分析者把计算的结果通知决策者，决策者将结果与理想值 进展比较，以为求得的 已接近理想值 ，而 ，低于理想值5960太多。决策者要求提高 值，为此他提出将 提高到36，以便使 增大。这时分析者根据决策者的要求，将原来约束条件修正为因将第二个目的值的要求放宽了，故权系数 ，于是有线性规划问题：求解Lp(2)得到相应的目的值假设这时决策者对此结果表示称心，即停顿计算。6.2 妥协约束法设有两个目的的情况，即k=2.其中这方法的中心是引进一个新的超目的函数第1步：解线性规划问题得到最优解 及相应的目的函数值 。第2步：解线性规划问题得到最优解 及相应的目的函数

19、值 。在详细求解时可以先用 试一试，看能否是 的最优解。假设是，那么这问题已找到完全最优解，停顿求解；假设不是，那么求 及相应的 。第3步：解下面三个线性规划问题之一。得到的解为妥协解。例12 试求解多目的线性规划问题。解 分别求解线性规划问题得到最优解见图16-13图16-13 解多目的线性规划问题的方法，还有目的线性规划法详见本书的第四章和其它方法，读者可参考有关文献资料。第七节 层次分析法 层次分析法Analytic Hierarchy Process,简称AHP法是美国运筹学家沙旦T.L.Saaty)于70年代提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目的决策分析方法。特别是将决策者的阅历

20、判别给于量化，对目的要素构造复杂且缺乏必要的数据情况下更适用，所以近几年来此法在我国运用中开展较快。7.1 AHP 法原理 例如某工厂在扩展企业自主权后，有一笔企业留成的利润，这时厂指点决策的方案有1作为奖金发给职工；2扩建职工食堂、托儿所；3兴办职工业余技术学校和培训班；4建立图书馆；5引进新技术扩展消费规模等等。指点在决策时，改善职工物质生活情况等方面。对这些方案的优劣性进展评价，排队后，才干作出决策。 面对这些复杂的决策问题，处置的方法是，先对问题所涉及的要素进展分类，然后构造一个各要素之间相互结合的层次构造模型。要素分类： 一为目的类，如合理运用今年企业留利 万元，以促进企业开展；二为

21、准那么类，这是衡量目的能否实现的规范，如调动职工劳动积极性，提高企业的消费技术程度；三为措施类，是指实现目的的方案、方法、手段等，如发奖金，扩建集体福利设备，引进新技术等等。按目的到措施的自上而下地将各类要素之间的直接影响关系陈列于不同层次，并构成一层交构造图，如图16-14所示。 构造好各类问题的层次图是一项细致的分析任务，要有一定阅历。根据层次构造图确定每一层的各要素的相对重要性的权数，直至计算出措施层各方案的相对权数。这就给出了各方案的优劣次序，以便供指点决策。合理运用今年企业留利 万元调动职工劳动积极性提高企业技术程度改善职工物质生活情况发奖金扩建集体福利设备办技校建图书馆购买新设备图

22、16-14这个方法的原理是这样的。A矩阵有如下性质：假设用分量向量右乘A矩阵，得到即 (A-nI)W=0 由矩阵实际可知，W为特征向量，n为特征值。假设W为未知时，那么可根据决策者对物体之间两两相比的关系，客观作出比值的判别，或用Delphi法来确定这些比值，使A矩阵为知，故判别矩阵记作 。 根据正矩阵的实际，可以证明：假设A矩阵有以下特点设 ：那么该矩阵具有独一非零的最大特征值 ，且 =n。假设给出的判别矩阵 具有上述特性，那么该矩阵具有完全一致性。然而人们对复杂事物的各要素，采用两两比较时，不能够做到判别的完全一致性，而存在估计误差，这必然后导致特征值及特征向量也有偏向。这时问题由AW=n

23、W变成 ，这里 是矩阵 的最大特征值， 便是带有偏向的相对权重向量。这就是由判别不相容而引起的误差。为了防止误差太大，所以要衡量 矩阵的一致性。当A矩阵完全一致时，因 ，存在独一的非零 。而当矩阵存在判别不一致时，普通是 。这时当 ，C.I=0 ，为完全一致；C.I值越大，判别矩阵的完全一致性越差。普通只需C .I ,以为判别矩阵的一致性可以接受，否那么重新进展两两比较判别。 判别矩阵的维数n越大，判别的致性将越差，故应放宽对高维判别矩阵一致性的要求。于是引入修正值 ，见表16-2，并取更为合理的 为衡量判别矩阵一致性的目的。维数 1 234567 89 R.I0.000.000.580.961.121.241.321.411.45表16-27.2 标度 为了使各要素之间进展两两比较得到量化的判别矩阵，引入19的标度。根据心思学家的研讨提出：人们区分信息等级的极限才干为 ，特制定表16-3。 除表16-3的标度方法以外，还可以用其它方标度方法。 标度 定 义 1 3