平面向量应用举例专题

1、平面向量应用举例专题最新考纲.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题知识梳理.向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、 平移、全等、相似、长度、夹角等问题.（1）证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：all b（bw。）？ a=入b? xy X2yi= 0.（2）证明垂直问题，常用数量积的运算性质a b? a - b= 0? X1X2+ yiy2= 0（ a, b均为非零向量）.（3）求夹角问题，利用夹角公式a - bX1X2+ yiy2,cos e = -7-b

2、-=2 2-（ e 为 a 与 b 的夹角）| a| b|4i + yi yX2 + y2.向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用， 是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.向量在物理中的应用物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，因此可以用 向量的知识

3、来解决某些物理问题 .辨析感悟.向量与其他数学知识的交汇 已知AB, BC边最长，AB= a, AG= b,且a b 0,则 ABC勺形状为钝角三角形.（X） （2）在四边形 ABCM, AB= DC且AC BD= 0,则四边形 ABC匿矩形.（X）(3)(2014 贵州调研改编)在平面直角坐标系 xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OPQA =4,则点P的轨迹方程是 x+2y-4= 0.( V).平面向量在物理中的应用一 e 一一 1一 一我_i_,rj、，2 兀 一_ir_ _ri、，(4)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为且| Fi| =3, | F2| =5,则F1+

4、F2大小为719.( V)(5)已知一物体在共点力Fi=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)的作用下产生位移 s=(2lg 5,1),则共点力对物体做的功 W为2.( V)感悟提升. 一个手段实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算.两条主线(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结 合.(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题考点一 向量在平面几何中的应用 【例1】(1)已知正方形 AB

5、CD勺边长为2, E为CD的中点，则AE- BD=.(2)(2013 天津卷)在平行四边形 ABC用，AD= 1, / BAD= 60 , E为CD的中点.若AC BE =1,则AB的长为. 审题路线 (1)法一：把向量AEWB盼另用基底AQ A映示.法二：建立平面直角坐标系 ？求向量AE BD勺坐标. (2)把向量ACW B由另1J用基底AB AtDt示？利用AC BE= 1整理？建立关于| AB的一元二次方程？解得| AB. 1解析 (1)法一 AE- BD= AA 2AB (AD- A = AD2-2AE2= 22-2 x 22= 2.法二 以A为原点建立平面直角坐标系(如图).则A(0

6、,0) , B(2,0) , Q2,2) , 口0,2),日1,2). AE= (1,2) , BD= (-2,2).从而 AE- BD= (1,2)( 2,2)=1 X ( 2) + 2X 2=2.(2)由题意可知，AC= AB AD TOC o 1-5 h z 11r -BE= -2AB+ AD 因为 AC BE= 1,所以(AB+ AD) -1AB+ AD=1,11即AD2+2AB- AD- 2A百=1.1_因为 |AD = 1, / BAD= 60 ,所以 AB- AD= 21AB , ,11因此式可化为 1 + 4| AB 2| AB1 答案(1)2(2) 2规律方法 用平面向量解决

7、平面几何问题时，有两种方法：基向量法和坐标系法，建立平面直角坐标系时一般利用已知的垂直关系，或使较多的点落在坐标轴上，这样便于迅速解题.【训练1】(1)在边长为1的菱形ABCDh /BA氏60 , E是 BC的中点，则AC AE=()3+33A. 3B.92 C.D.(2)在 ABC所在平面上有一点P,满足PM PB+ PC= AB则 PA端 ABC勺面积之比值是1 A.3B.C.D.解析(1)建立如图平面直角坐标系，则 A# 0, C乎,0,1- 2.E点坐标为坐，一1，A C=(曲 0), A E=野，-4，.A C- AE=# x 季=944(2)由已知可得PC= 2AP,.P是线段AC

8、的三等分点(靠近点A),易知 S PAB= S ABC)即 S/PAB ： Sx ABk 1 ： 3. 3答案(1)D(2)A考点二 向量在三角函数中的应用【例 2】 设向量 a= (4cos a , sin a ) , b=(sin (3 , 4cos 3 ) , c= (cos 3 , 4sin 3 ). 若a与b2c垂直，求tan( a + 3 )的值；(2)求| b+c|的最大值；(3)若 tan a tan (3 = 16,求证：a / b.(1)解 因为 a 与 b2c 垂直，所以 a ( b2c) = 4cos a sinB 8cos a cos B +4sin acos 3 +

9、 8sin a sin 3 = 4sin( a + B ) 8cos( a + B ) = 0, 因此 tan( a + ) =2.(2)解 由 b+c=(sin(3 + cos 3 , 4cos 3 4sin B),得| b+ c| = sn + cos324cos 4sin32=715sin 2 B & 4亚.兀一、又当B=k兀一(kez)时，等号成立, 所以|b+c|的最大值为电(3)证明4cos a sin a运用向量共线或垂直或等式由 tan atan 3=16, 得金1 =4coT7,所以 a/b.规律方法(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式, 成立等，得到三角函数的关

10、系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思 路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.【训练 2】已知向量 a= (cos a , sin a ) , b= (cos B , sin B) , 0v B v a v 兀.若| ab| =平，求证：aX b;(2)设 c= (0,1)，若 a+ b= c,求 a , 3 的值.解(1)由题意得| a- b|2=2,即(ab) 2= a2 2a b+b2=2.又因为 a2= b2= | a| 2= | b| 2= 1,所以 2 2a , b= 2,即 a b= 0,故 a

11、X b.(2)因为 a+ b= (cos a + cos B, sin a+sin B) = (0,1),cos a + cos 6=0,所以sin a + sin B = 1,由此得，cos a = cos(兀一 B),由0VB兀，得0兀一 3兀， 又0V 0兀，故0 =兀- 3 .代入 sin a +sin B = 1 得，sin a = sin7t6考点三 向量在解析几何中的应用【例3】（2013 湖南卷）已知平面上一定点 Q2,0）和直线l: x=8, P为该平面上一动点,11作 PQL l ,垂足为 Q 且 po 2PQ - pc- 2PQ = 0.(1)求动点P的轨迹方程； (2)

12、若EF为圆N： x2+(y 1)2=1的任一条直径，求 PE- PF的最值.解(1)设 Rx, y)，则 Q8 , y).- A A TOC o 1-5 h z 上,八1八，八1-由(PO 2PQ (PC 2PQ = 0,一 1 一得 |PC2-4|PQ2=0,即(x 2)2+y2 ；(x8)2=0, 22化简得器十91.22所以点p在椭圆上，其方程为x6+ 1y2=1.(2)因 PE- PF= (NE NP (NJ NP = (NJ NP) (NJ NP) = ( - NP)2-NF2= NF5-1, TOC o 1-5 h z 22P是椭圆 a+:y2=1上的任一点，设 P(xo, yo)

13、,222则有关+居=1,即x0=16岑，又N。/), 16123所以 Np= x0+ (yo 1)2= 3y0 2y0+ 17= -3( yo+3)2+20.因yC2嫡，2、同，所以当yo= 3时，Np取得最大值20,故PE-PF勺最大值为19; 当yo=2，3时，NP取得最小值为134噂(此时xo=O),故PE-PF勺最小值为124、/3.规律方法 向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于 “包装”，解决此类问题时关键是利用向 量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、 斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用：利用 a

14、b? a - b= 0； a/ b? a=入b(bwo),可解决垂直、平行问题，特别 地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法. 【训练3】已知点P(0, 3),点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点 M满足PA-AM=0, A阵一3MQ当点A在x轴上移动时，求动点 M的轨迹方程. 解 设 Mx, y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0), Q0, b)(b0),则 PA= (a, 3), AM= (x a, y), MQ= ( -x, b-y),由PA AM= 0,得 a(x-a) + 3y= 0.737由 AM= 2MQ 得333(x-a, y) =

15、 - 2( -x, b-y)= 2x, 2 y-b ,3xx a = 2X,a = - 2,y=2y-2b，b=：x _把a= 2代入，_ x x得2 x+2 + 3y=0,整理得 y = 1x2(xw 0).4所以动点M的轨迹方程为y = 1x2(xw。).|课堂小结I.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.解析几何问题和向量的联系：可将向量用点的坐标

16、表示，利用向量运算及性质解决解析几何问题.教你第题槌培养解题能力创新突破5破解平面向量与圆的交汇问题【典例】（2013 湖南卷改编）已知a, b是单位向量，a - b=0?.若向量c满足|ca b|=1?,则| c|的最大值为突破1：根据条件？转化到平面直角坐标系中.突破2:把条件？坐标化.突破3:把坐标化后的式子配方整理可得到圆的方程.突破4：利用圆的知识求|c|max解析 建立如图所示的直角坐标系，由题意知ab,且a与b是单位向量,可设 OA= a= (1,0) , OB= b= (0,1) , OG= c=(x, y).c- a- b= (x- 1, y- 1),.1 | c-a- b|

17、 = 1,(x-1)2+(y- 1)2=1,即点qx, y)的轨迹是以M1,1)为圆心，1为半径的圆.而I c| =Jx2+y2,.I c|的最大值为| OM+1,即 | c| max= 2 + 1.答案 2+ 1反思感悟平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值 域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.本 题采用了 “形化”与“数化”的结合，利用坐标运算将问题转化为圆的

18、知识解决.【自主体验】.ABO接圆的半径为 1,圆心为 O,且 2 OAAB+AC= 0, | OA = | AB ,则CA-CB=().3A. B.；3 C . 3 D , 2 ：3解析 由 2 OAF AB+ AC= 0,得 2 OAF OB- OAFOC- OA= 0,即 OB= OC 即 O, B, C三点 共线，BC为AB/卜接圆的直径，故/ BAC= 90。.又|OA = |AB,得B= 60。，所以C= 30。，且| ca = a/3(如图所示).一一 一一厂 道所以 CA- CB= |CA| CBcos 30=3X2X=3.答案 C一、 ，一., r . .27r ,-.,.,

19、2.给定两个长度为1的平面向量O&口OB它们的夹角为2.如图所不，点 C在以O为圆心3的圆弧ABh运动.若OC= x OAFy OB其中x, yCR,则x + y的最大值是 解析B -2n以O为坐标原点，O厕在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0),222兀设/ A0Gz a a C 0, r-3贝U C(cosa , sin a ),由 OG= x OAF y OBcossina +所以x= cosyFn y 3所以 x+ y= cos a + J3sina = 2sin a2兀n又“C 0,所以当a = 3-时，x+y取得最大值2.法二依题意，| oc=i,则|OC2=i

20、, 又OOxOAFyOB |0A=|0B = 1,=120 ,.x2 OA+ y2 - OB + 2xyOA- OB= 1, 因此 x2+y2+2xycos 120 =1, xy=x2+y21.2X+y 2 r -2，3xy=(x+y) 1W32- ，即(x+y) 4.，x+y的最大值是2.答案 2课时题组训练基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题(2014 邵阳模拟)已知 a= (1 , sin 2x), b= (2 , sin 2 x),其中 x C (0 ,兀).若 | a b| =| a| b| ,则tan x的值等于().：2A. 1 B . - 1 C. 近 D. 看解析由|

21、 a b| = | a| b| 知，a/ b.所以 sin 2 x= 2sin 2x,即 2sin xcos x = 2sin 2x,而 x e (0 , ), 兀 上所以 sin x= cos x,即 x =,故 tan x= 1.答案 A(2014 南昌模拟)若| a| =2sin 15 , | b| = 4cos 15 , a 与 b 的夹角为 30 ,贝U a b 的值是().A.23 B. 4 C . 2V3 D. 2解析 a , b= | a| b|cos 30 = 8sin 15 cos 15 x 乎=4Xsin 30 .(OAF OB . AB= (OA OB (OB- OA

22、= OB OA= 10-4=6.呼=力.答案 B 一一兀兀 .一(2013 哈尔滨模拟)函数y = tanx2的部分图象如图所不，则(O/V OB AB=().A. 4 B .6 C . 1 D . 2解析由条件可得R3,1) , A(2,0),答案 B 4.已知| a| =2| b| , | b| W0且关于x的方程x2十| a|x a b=0有两相等实根，则向量 a713D 27t解析由已知可得A = |a|2+4a b=0,即 4| b| 2+4X 2| b| 2cos 8=0,，cos 8=g，2兀又,: 0W 9 0,于是有 cos A= 3, sin A= 11 - cos2A=马

23、坐,又 SiLabc= 2 - bcsin A= bcx所以 bc= 3, BA AC= bccos(兀一A) = bccos A= 3 x ：= 1.3答案 1三、解答题N在线段MA9.已知圆 C: (x 3)2+(y3)2=4及点A(1,1) , M是圆。上的任意一点，点的延长线上，且 MA= 2AN求点N的轨迹方程.解设 Mx。，yo) , Nx, y).由 MA= 2AN 得xo= 3 2x,(1 -xo,1-yo) =2(x-1, y1),门 c yo= 3 2y.点Mx。，yo)在圆。上，.(xo3)2+ (yo3)2=4,即(3 2x 3)2+ (3 -2y-3)2=4. .-.

24、x2+y2= 1.所求点N的轨迹方程是x2+y2= 1.1O. (2O14 北京海淀模拟)在AB。,角A, B,。的对边分别为a, b, c,若AB-AC= BA-BC = k(kC R).判断 ABC勺形状；(2)若c=V，求k的值. 解 (1) . AB。AC= cbcos A BA- BC= cacos B,又AB AC= BA BG，bccos A= accos B, .sin Bcos A= sin Acos B,即 sin Acos B sin Bcos A= 0, 1. sin( A B)=0,- tK A- Bv兀，A= B,即 ABE等腰三角形.,“ 一 一b2+ c2 a2

25、 c2(2)由 知，AB- AC= bccos A= bc - =-=k,2bc2, c= *y2, , , k = 1. 能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题 .已知向量OB= (2,0),向量 OG=(2,2),向量 CA= (，2cosa, psina),则向量 OA| a+ b|恒成立，则a与b的夹角大小为 .解析| a| = /2, | b| = 1, | a+xb| | a+b|对一切实数x恒成立，两边平方整理得 x2+2a bx 2a - b-10 对一切实数 x 恒成立，所以（2 a b） 2+ 4（2 a b+ 1） 0,即（a b+ 1）&0, 所以 a - b=

26、- 1,故 cos= a =-乎，又 0 ,兀,所以 = , a| b|24即a, b的夹角是号.3兀答案T三、解答题（2014 南通模拟）已知向量 F V3sin :, 1 ,n= cos , cos2二. 44(1)若 mr n= 1,求 cos 3x 的值；(2)记f(x) = mn,在 ABC中，角 A B, C的对边分别是 a, b, c,且满足(2ac)cos B=bcos C,求函数f( A)的取值范围.x x 2X解 (1) m n= 43sin 4 cos 4+cos 4xx2 +sinx 兀 12+万 +2，1 + cos 一22x 兀 1m n=1， - sin 2+百=

27、5,c .2 x ,cos x+ - =12sin 2+ 7t7t12,7tcos -3- -x = cos x + =12.1 (2 a c)cos B= bcos C,由正弦定理得(2sin A sin C)cos B= sin Bcos C,2sin Acos B sin Ccos B= sin Bcos C.1- 2sin Acos B= sin( B+ C).- A+ B+ C=兀,sin( B+ C) = sinA 0.兀2兀0 V Bv 兀,B=0 Av -r-33兀 A 兀 兀62+百万，sinx 兀 1又 f(x) =sin 2+ +2,A 兀 1-f(A) =sin 2+

28、+2.3故函数f （A）的取值范围是1, 士 .方法强化练一一平面向量（对应学生用书P283）（建议用时：90分钟）一、选择题. （2014 福建质检）已知向量 a=（m2,4） , b= （1,1），则 “ m= 2” 是 “a/ b” 的（）.A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件解析依题意，当 mi= 2 时，a=(4,4) , b=(1,1),所以 a=4b,即 a / b,即由 mi= 2可以推出a / b；当a / b时，m2=4,得，m= 2,所以不能推得 m= 2,即“m= 2”是 “a/ b”的充分不必要条件.答案 A.(2013德州一

29、模)已知向量a=(2,3) ,b = (k, 1),若a +2b与ab平行，则k的值是().A. 6 B . - 2 C. 2 D . 14 33解析 由题意得a+2b= (2 + 2k, 5),且ab=(2 k, 2),又因为a+2b和ab平行，则2(2+2k) -5(2 -k) = 0,解得 k= 2.3答案 C TOC o 1-5 h z (2013 浙江五校联考)已知 |a| =|b| = |a 2b| =1,则 |a+2b| =().A. 9B .3C. 1D . 2解析由 |a|=| b|= | a 2b|= 1,得 a2-4a -b+ 4b2 =1,.4a - b=4,| a +

30、 2b|2=a2+4a - b+4b2=5+4=9,. .|a+2b| = 3.答案 B(2014 郑州一模)已知平面向量 a=(2, m, b=(1,43),且(ab)，b,则实数 m 的值为().A. 2 小 B , 2木 C . 4小 D , 6木解析 因为(ab) b,所以(ab) b=a b-b2=0,即一2+J3m-4=0,解得 m= 2，3. 答案 B(2014 长春一模)已知| a| = 1, | b| =6, a - (b-a) = 2,则向量a与b的夹角为().A 兀A.万c兀 入 兀 rB.万 C. 7 D.7t6解析 a - (b- a) = a - b- a2= 2,

31、所以 a - b=3,所以cos =:=a |a| b|1X6兀.所以 =y.答案 B6. (2013 潮州二模)已知向量 a=(1, cos 8), b=(1,2cos0)且2，6则8$ 20 等1A. - 1 B . 0 C. 22 D. T解析 ab? a - b = 0,即 1 -2cos2 9 =0,cos 2 8=0.答案 B 7. （2014 成都期末测试）已知O是ABC/f在平面内一点，D为BC边中点，且2O/V O跳OC =0,则有（）. A.AO= 2OD B. A0= OD C.AO= 3OD D , 2A0= OD解析 由 2OAF O拼 OC= 0,得 O国OC= 2

32、OA= 2AQ 即 OBb OC= 2OD-2AQ 所以 O AQ 即O为AD的中点.答案 B （2013 潍坊一模）平面上有四个互异点 A, B, C, D,已知（D拼DC- 2DA - （AB- AC = 0, 则ABC勺形斗犬是（）.A.直角三角形 B .等腰三角形C.等腰直角三角形 D .无法确定 解析 由（DB+ DC- 2DA （AB-AC） =0, 得（DB- DA + （DC- DA（AB- AC） =0, 所以（AB+ AC （AB-AC = 0. 所以 |AB2|AC2=0,，|AB = |AC,故 ABC等腰三角形.答案 B（2013 兰州一模）在ABC43, G是 ABC勺重心，AB AC的边长分别为 2,1 , / BAC= 60 .则 AG BG=（）.解析 由AB= 2, AC= 1, /BAC= 60。，所以BC=小,Z ACB= 90。，将直角三角形放入直角坐标系中，如图所示，则A（0,1） , B（ 、/3, 0）,所以重心G 乎，3 ,所以AG=3, BG=竽,3,所以一雪,223 133，389.答案 A（2014 皖南八校第三次联考）已知正方形 ABC次母顺序是 A-B-C- D）的边长为1,点E是