数字逻辑与电子技术第05讲

1、该方法简单、直观、容易掌握,当变量个数小于等于6时非常有效, 在逻辑设计中得到广泛应用。直接把真值表作为运算工具十分不便，但如果将真值表按特定的规律进行排列，将其变成方格图的形式，称为真值图或卡诺图。利用卡诺图可以方便地对逻辑函数进行化简通常称为图解法或卡诺图法。第五讲 4.3 逻辑函数的卡诺图化简法关于“卡诺图”关于“余3循环码”和“格雷码”请参见 余3循环码P75和 格雷码P94复习知识点：可靠性编码能减少错误，发现错误，甚至纠正错误的编码称为可靠性编码。n个变量的卡诺图是一种由2n个方格构成的图形,每一个方格表示逻辑函数的一个最小项, 所有的最小项巧妙地排列成一种能清楚地反映它们相邻关系

2、的方格阵列。因为任意一个逻辑函数都 可表示成最小项之和的形式, 所以一个函数可用图形中若干方格构成的区域来表示。1、卡诺图的构成定义：彼此只有一个变量不同，且这个不同变量互为反变量的两个最小 项(或与项)称为相邻最小项(或相邻与项).相邻最小项在卡诺图中有三种特征，即几何相邻、相对相邻和重叠相邻。卡诺图在构造上具有以下两个特点：1）n个变量的卡诺图由2n个小方格组成, 每个小方格代表一个最小项。2）卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。mo m2m1 m3 0101ABAB 0101二变量卡诺图mo m2 m6 m4m1 m3 m7 m500 01 11 1001

3、ABC00 01 11 1001ABC三变量卡诺图00 01 11 1000011110ABCD 0 4 12 8 1 5 13 9 3 7 15 11 2 6 14 1000 01 11 1000011110ABCD四变量卡诺图五变量卡诺图BC10DE0000010110100001m0m1m3m2m8m9m10m24m26m16m17m1811m11m19m25m27110111101100m6m7m5m4m14m15m12m30m28m22m23m20M13m21m31m29在五变量的卡诺图中，除了几何位置相邻的最小项具有逻辑相邻性之外，以图中黑粗线为轴左右对称位置上的两个最小项也具有逻

4、辑相邻性。AA 将逻辑函数所对应的最小项在卡诺图的相应方格中标以1，剩余方格标以0或不标。2、逻辑函数的卡诺图表示“与或”式的卡诺图表示方法：直接将表达式的“与项”或“最小项”所对应的方格标以1. 00 01 11 1001ABC11111可表示为：例：其它形式函数的卡诺图表示要转换成“与或”式再在卡诺图上表示。注意：例 :用卡诺图表示逻辑函数解： 首先将Y化为最小项之和的形式 化出四变量的卡诺图，在对应与函数式中各最小项的位置上填入1，其余位置上填入0，就得到如下图所示的Y的卡诺图。CDAB00011110000101001001001011111110例 : 已知逻辑函数的卡诺图如下图所示

5、，试写出该函数的逻辑式。ABC0001111001001 1 0011解： 根据定理有AB+AB=A,它表明两个相邻“与项”或“最小项”可以合并为一项，这一项由两个“与项”中相同的变量组成，可以消去两个“与项”中不同的变量。在卡诺图上把相邻最小项所对应的小方格“圈”在一起可进行合并，以达到用一个简单“与项”代替若干最小项的目的。这样的“圈”称为“卡诺圈”。3、卡诺图的性质 0101AB1 1 0101AB1 1 0101AB1 11二变量卡诺图的典型合并情况00 01 11 1001ABC1 11 1AB 00 01 11 1001C1 1 1 11 1 1 101ABC00 01 11 10

6、三变量卡诺图的典型合并情况100 01 11 1000011110ABCD111111100 01 11 1000011110ABCD1111111100 01 11 1000011110ABCD1111111111四变量卡诺图的典型合并情况. 若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一个因子，合并后的结果中只剩下公共因子。 . 若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去二对因子。合并后的结果中只包含公共因子。 . 若八个最小项相邻并排成一个矩形组，则可合并为一项并消去三对因子。合并后的结果中只包含公共因子。 一个卡诺圈中的小方格满足以下规律：1）卡诺圈中的小方格的数目为2m, m

7、为整数且mn;3） 2m个小方格可用(n-m)个变量的与项表示, 该与项由这些最小项中的相同变量构成。2） 2m个小方格含有m个不同变量和(n-m)个相同变量;4）当m=n时,卡诺圈包围整个卡诺图,可用1表示，即n个变量的全部最小项之和为1。4、卡诺图化简逻辑函数的步骤：第一步：画出该逻辑函数的卡诺图。第二步：画合并圈。将相邻的“1”格按2n圈为一组直到所有的“1”格全部被复盖为止。 （与或式）第三步：将每个合并圈所表示的与项逻辑加。 (1)合并圈按2n越大越好，(与项中因子少)。 (2)合并圈个数越少越好，(与项数目少)。 (3)由于A+A=A，所以同一个“1”格可以圈多次。 为使简化后的逻

8、辑函数式最简，在画圈时，应注意下列几点： (4)每个合并圈中要有新的未被圈过的“1”格。如果某一合并圈中所有“1”格均被别的圈所包围，由此圈所表示的与项是多余的。即为冗余项。 例：用卡诺图化简逻辑函数 F(A, B, C, D)=m(0, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 15)100 01 11 1000011110ABCD11111111解：第一步：(1)画出该逻辑函数的卡诺图。1100 01 11 1000011110ABCD111111100 01 11 1000011110ABCD1*1111*1*1*1*1*第二步：(2)画合并圈。将相邻的“1”格按2n圈为一组直到所

9、有的“1”格全部被复盖为止。第三步：(3)将每个合并圈所表示的与项逻辑加。 例：用卡诺图化简逻辑函数 F(A, B, C, D)=m(2, 3, 6, 7, 8,10, 12)100 01 11 1000011110ABCD111111解：100 01 11 1000011110ABCD111111注意：有一冗余项00 01 11 1000011110ABCD1*1111*1*1*1100 01 11 1000011110ABCD1*1*1*1*1例：用卡诺图把逻辑函数 F(A, B, C, D)= M( 3, 4, 6, 7, 11, 12, 13, 14,15) 化简成最简或与表达式。10

10、0 01 11 1000011110ABCD001001011001001约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项1)、 约束项 例如，有三个逻辑变量A、B、C，它们分别代表一台电动机的正转、反转和停止的命令，A=1表示正转，B=1表示反转，C=1表示停止。ABC的取值只可能是001、010、100当中的某一种，而不能是000、011、101、110、111中的任何一种。因此，A、B、C是一组具有约束的变量。 可写成：约束项：恒等于0的最小项5. 具有无关项的逻辑函数及其化简2)、 任意项 有时还会遇到另外一种情况，就是在输入变量的某些取值下函数值是1还是0皆可，并不影响电路的功能。 任意项：在这

11、些变量取值下，其值等于1的那些最小项称为任意项。3)、 无关项 约束项和任意项统称为无关项 。1.在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等于0，所以既可以将约束项写进逻辑函数式中，也可以将约束项从函数式中删掉，而不影响函数值。 同样即可以把任意项写入函数式中，也可以不写进去，因为输入变量的取值使这些任意项为1时，函数值是1还是0无所谓。2. 在用卡诺图表示逻辑函数时，首先将函数化为最小项之和的形式，然后在卡诺图中这些最小项对应的位置上填入1。既然可以认为无关项包含于函数式中，也可以认为不包含在函数式中，那么在卡诺图中对应的位置上就可以填入1，也可以填入0。为此，在卡诺图中用表示无关项。在化简逻辑函数时既可以认为它是1，也可以认为它是0。 讨论：例: 化简具有约束的逻辑函数给定约束条件为解：采用公式化简法无关项在化简逻辑函数中的应用:解：采用卡诺图化简法例: 化简具有约束的逻辑函数给定约束条件为ABCD001100010100100101110 例: 试化简逻辑函数已知约束条件为解： 卡诺图化简法ABCD000111100001000110011011106. 多输出函数的化简 为使整个系