全概率公式及应用

1、上1记录O返回。下霸打印oErii下一记录【标题】全概率公式及应用【作者】刘媛【关键词】全概率公式随机事件条件概率【指导老师】林昌盛【专业】数学与应用数学【正文】一、引言在研究实际问题的过程中，除了要考虑事件A的概率P(A)之外，还须考虑在“已知事件B已发生”条件事件A发生的概率.一般地说，后者的概率与前者的概率未必相同.为了清晰起见，第二类情况下的概率称为条件概率,记为P(A|B)或PB(A).条件概率是概率论中一个重要的基础概念，与之有关的三个重要公式是：乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式，其中以乘法公式为基础的全概率公式在实际中有着广泛的应用.全概率公式就是把一个复杂的事件分解成若干个互不

2、相容的简单事件，再由简单事件的概率求得最后的结果.本文在具体分析全概率公式的同时还发展出几个由全概率公式导出的推论，在分析其中定理的同时还运用其公式解决实际生活中比较典型的例子.二、全概率公式的基本理论定义设A1,A2,An为n个事件,若满足：(1)完全性：A1UA2UUAn=(2)互不相容性：AiAj=,iwj,l,j=1,2,n;(3)P(Ai)0,i=1,2,n,则称A1,A2,An为Q的一个完备事件组.定理1设A1,A2,An为一完备事件组，则对任一事件B,成立：=分析：从形式上看，公式的右边比左边复杂.实质上，定理中给出的条件“B是任一事件”往往很复杂，要直接求出B的概率很难入手，若

3、能把事件B分解为许多简单的、互不相容的事彳爷之和，且这些事件的概率可求，则求出就迎刃而解了.从下面的证明，也可以看出这个思路.证明：=Q=()=由条件(2)AiAj=,i为.(BAi)(BAj)=B(AiAj)=(iwj)=()=由于0,应用乘法公式得：=.这个公式称为全概率公式.全概率公式中的条件(1)可推广为，得如下定理：定理2设(1)A1,A2,An,是两两互不相容的事件；(2).则对事件有=.分析：从形式上看，是的一个子集，并且A1,A2,An,是两两互不相容的事件，那么我们就可以分解为n个互不相容的独立事件之和后在相加,就得出了事件的概率. TOC o 1-5 h z 证明由定理条件

4、知：=,再由可列可加性知：=由条件概率得：=.全概率公式中的条件(1)又可推广为=1,可得如下定理.定理3设A1,A2,An,为两两互不相容事件列且=1,则对任一事件有：=分析：从定理3看，由于A1,A2,A,为两两互不相容事件列且=1,如果我们从这个方面不好计算的话,就可以从事件列的对立事件来求其答案.因为的概率为1,那么它的对立事件的概率就为0.i =1,2,，则对于任何事, 如遇到有离散型随机变量证明因=1,则=0.故有=+=+0=定理4设士是离散型随机变量分布列为：P(七=ai)=pi件有=P(BIE=ai)pi分析：本定理主要是用来解决离散型随机变量例题的的分布列，就用=P(BI七=

5、ai)pi这个公式来解决.定理5设E为连续型随机变量，密度为P(x),则对任意事件有=P(B|W=x)P(x)dx.证明在数轴上取分点x0vx1vx20,b0）,乙箱中有c个白球，d个黑球,自甲箱中任意取一球放入乙箱，然后再从乙箱中任意取出一球，试求事件A“从乙箱中取得一球为白球”的概率.解：以表示“自甲箱中取出的球为白（黑）球”,显然,由题意：=,=若出现，那么乙箱中有c+1个白球，d个黑球，故=.类似地，若出现，则乙箱中有c个白球,d+1个黑球，故=,由全概率公式得=?+?=?+?（二）解题一般思路确定所求事件,并依题意将事件进行正确剖分.例1是这一类问题中最为简单的一种,不妨以之为例.解

6、应用全概率公式的问题,首先应分析所求事件.在例1中,第二次取到的是不合格品这一事件即为事件,依据题意,依次做不放回抽取二产品,则第一次抽到的产品是否为不合格产品,显然对第二次抽取产生影响,所以必须将第一次可能抽取到的产品进行分类.只有两种情形,一种是合格产品,另一种是不合格 TOC o 1-5 h z 产品,这就是对所求事件进行剖分.例1中将这两种情形分别设为与表示两对立事件.由于或事件的发生对发生的概率都产生影响,故发生的概率都产生影响,故发生的概率由二者共同决定.因此该题使用全概率公式是正确的.列出已知数据.根据题意,按照前面所设事件,将已知的、的概率、,条件概率、.即若事件或发生时事件发

7、生的概率写出或求出,一般使用古典概率得求法.将已知数据代入全概率公式,求出.将或与对应的条件概率或用乘法公式后相加,即求出.以上只是最简单的应用全概率公式例题的解法.其实,例2中解法只是将所求事件剖分成三类的情形,全概率公式也相应的扩充为三项之和,也即是说更复杂的全概率公式问题,其解题过程也是上述三个步骤.只须第一步将所求事件分成更多的类,具体分类应依据题意,并且满足事件剖分的条件,然后依次完成第二、三步.同时事件剖分成几类,应用的全概率公式即为几项之和.此外,应注意在解题过程中,不要被问题的表象所迷惑.全概率公式的问题中,有许多相似的情况,如：合格产品、白球等代表正因素,不合格产品、黑球代表

8、反因素,一定的产品箱子、袋子代表因素集合或操作范围.该类问题,总是在一个范围内取出正或反因素,或在一个范围中取出正（反）因素放入另一范围中,这样的操作进行一次或进行多次后,求从最终操作结束的某个范围内取出一正（反）因素的概率.解较抽象问题时,可将其具体化,以期更好的完成.（三）解决复杂问题4设甲、乙二人自a个白球,b个黑球中任取一球,从甲开始,然后轮流取,每次取后不还原，试求甲(或乙)先取得白球的概率P1(或P2).解为了使甲先取出白球,必须使甲第一次就取得白球(下简记为“白”),或者甲第一次取得黑球，乙第二次也取得黑球，甲第三次取得白球(简记为“黑黑白”)，因而事件A“甲先得白球”可表示为互

9、不相容的事件：“白”，“黑黑白”，“黑黑黑黑白”，的和，而事件“白”的概率为,事件“黑黑白”的概率可由乘法公式算出为?,事件“黑黑黑黑白”的概率仍由乘法公式得？. TOC o 1-5 h z 所以P1=1+同理P2=+问题5自a个白球，b个黑球中同时任取n个球(a+bn),试求至少取出一个白球的概率P.解同时取出n个球,可看成不还原地连取n次,每次取一球,为了使n次中至少取出一白球,必须第一次就取得白球(概率为),或者第一次取得黑球,第二次取得白球(概率为？)，这些事件互不相容，由全概率公式有：P=+？+？四、全概率公式解决典型问题在利用全概率公式解题时常遇到的就是关于求取到次品的概率或者射击

10、的概率的问题,下面将重点介绍以下几个例子：问题6飞机有三个不同的部分遭到射击,在第一部分被击中一弹,或第二部分被击中两弹,或第三部分被击中三弹时,飞机才能被击落,其命中率与每一部分的面积成正比.设三个部分的面积的百分比为0.1,0.2,0.7,若已被击中两弹,问飞机被击落的概率.解设8=飞机被击落”，B是一个复杂的事件，问P(B)等于多少.要构造一个完备事件组,从飞机已被“中两弹”入手,这两弹击中飞机三个部位的所有结果,便是一个完备事件组.设coij=第一弹击中飞机的第i部分，第二弹击中飞机的第j部分,i,j=1,2,3,所有的结果为：311,312,313,CO21,322,CO23,CO3

11、1,CO32,co33.设A1=飞机第一部分中两弹,A1=co11A2=飞机第二部分中两弹,A2=322A3=飞机第一部分只中一弹,A3=co12,co13,co21,co31A4=其他情况=第二部分最多中一弹=co33,co23,co32,A1,A2,A3,A4是一个完备事件组.因为命中率与每一个部分的面积成正比,所以P(A1)=P(co11)=0.1X0.1=0.01P(A2)=P(co22)=0.2X0.2=0.04P(A3)=P(co12,a13,co21,co31,)=P(co12)+P(co13)+P(co21)+P(co31)=0.1X0.2+0.1X0.7+0.2X0.1+0.

12、7X0.1=0.18P(A4)=1P(A1)+P(A2)+P(A32)=0.77或P(A4)=P(W33,a23,a32)=P(co33)+P(co23)+P(co32)=0.7X0.7+0.2X0.7+0.7X0.2=0.77由题意 TOC o 1-5 h z P(B|A1)=1,P(B|A2)=1,P(B|A3)=1,P(B|A4)=0.P(B)=P(B|Ai)=0.01+0.04+0.18=0.23即飞机被击中两弹,被击落的概率为0.23.问题7设甲袋中有2只红球3只白球,从甲袋中任意摸出2球放入乙袋.现就乙袋而言,有放回地摸出3球,求摸出红球数的概率分布及其数学期望.分析从乙袋摸出的红

13、球概率数X的可能取值为0、1、2、3,它们的概率是与乙袋中的红白球数的分布情况有关的.我们可以将乙袋中的红白球的分布情况划分成若干不相容的事件就每种情况求出X=0、X=1、X=2、X=3的条件概率，然后由全概率公式就可解决问题解用Ai(i=0,1,2)表示甲袋摸出的2球中红球数为i的事件，P(A0)=P(A1)=P(A2)=当A0发生时,在乙袋中摸出一球时红球的概率为0,则P(X=0|A0)=1P(X=1|A0)=0P(X=2|A0)=0P(X=3|A0)=0当A1发生时,在乙袋中摸出一球时红球的概率为,则P(X=0|A1)=C3=P(X=1|A1)=C3=P(X=2|A1)=C3=P(X=3

14、|A1)=C3=当A2发生时,在乙袋中摸出一球时红球的概率为1,则P(X=0|A2)=0P(X=1|A2)=0P(X=2|A2)=0P(X=3IA2)=1因为Ai(i=0,1,2)两两互不相容，且构成样本空间的一个分割，故由全概率公式得P(X=0)=P(A0)P(X=0|A0)+P(A1)P(X=0|A1)+P(A2)P(X=0|A2)=1X+x+xoP(X=1)=P(A0)P(X=1|A0)+P(A1)P(X=1|A1)+P(A2)P(X=1A2)=X0+X+xoP(X=2)=P(A0)P(X=2|A0)+P(A1)P(X=2|A1)+P(A2)P(X=2A2)=1X+x+xoP(X=3)=

15、P(A0)P(X=3|A0)+P(A1)P(X=3IA1)+P(A2)P(X=3A2)=X0+x+XI因此,从乙袋中摸出红球数X的分布列为123EX=X0+X1+X2+X3=本例是一个很好的全概率公式应用题,涉及到超几何分布、二项分布等重要的概率公式的应用,它能帮助学生提高综合地分析问题和解决问题的能力.另外,本例中的所有具体数据都可以推广到一般的情形.如我们可将从乙袋中“重复3次摸球”改为“重复k次摸球”,此时,从乙袋摸出的红球数X的可能取值为0、1、2、k,仍然分三种情况：当A0发生时,在乙袋中摸出一球时红球的概率为0,则P(X=0|A0)=1P(X=i|A0)=0i=1,2,k当A1发生

16、时,在乙袋中摸出一球是红球的概率为,则P(X=iIA1)=Cki=0,1,2,k3) 当A2发生时，在乙袋中摸出一球是红球的概率为i =0,1,2,，k -1P(X = i | A2) = 0故由全概率公式得：P(X = i)即P(X = 0)=P(X = i) E(X) = x P(X= i) =x xc =x =x=x=x =P(X = i | Aj)X1+x( )kP(X = k) = x(xckk+ k X( k xc + k x ( k xc + k x ( k +k x( )k + k (2k-1-1 ) + k x(1,则P(X=K|A2)=1)k + xii =0,1,2,k -1)k+)k+)k+)k +原题的结果是此处k=3的情形.五、结束语以上这些问题表明，某个事件B的出现存在各种不同的条件，这些条件称为假定事件，记为A1、A2、An.这些假定事件是相斥且完备的.每个事件赋予事件B一定的概率P(BIA1),P(BIA2),，P(B|An).于是事件B出