全国高考数学卷文科卷及解析同名

1、2015年全国高考数学卷文科卷1学校:姓名：班级：考号：一、选择题(题型注释).已知集合Axx3n2,nN,B6,8,10,12,14,则集合A。B中的元素个数为()(A) 5(B) 4(C) 32.已知点 A(0,1), B(3,2),向量aC(D) 2(4, 3),则向量 BC ()(A)( 7, 4)(B) (7,4)(C) ( 1,4)3.已知复数z满足(z 1)i 1 i ,则z ()(A)2 i(B)2 i(C) 2 i(D) (1,4)(D) 2 i4 .如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这(A)1

2、03个数构成一组勾股数的概率为()(D) -120.已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为E的右焦点与抛物线 C : y2 8x的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则 AB|()(A) 3(B) 6(C) 9(D) 12.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少”已知 1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米有()(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛7.已知an

3、是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84s4,则既()(A)172(B)19(010(D)128.函数 f(x) cos( x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为()(C)Z(k(D)(2kIk413)*Z43-,2k-),kZ446(C)10(A)5(B)(D)129.执行右面的程序框图，如果输入的t0.01,则输出的n()10.已知函数f(x)2x12,x1log2(x1),xf(a)3,则f(6a)()(A)(B)411.圆柱被一个平面截去(C)4一部分后与半球(D)如图所示，若该几何体的表面积为16J正视图(A)1(B)212.设函数4(半径为r)4组成一个几何

4、体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图2r俯视图(C)4(D)8f(x)的图像与y2xa的图像关于直线yx对称，且f(2)f(4)1,则a()(A)1二、填空题(B)1(题型注释)(C)2(D)413.数列an中a12,an2an,&为an的前n项和，若Sn126,则n314.已知函数fxax1的图像在点1,f1的处的切线过点2,7,则axy2015.若x,y满足约束条件x2y10，则z=3x+y的最大值为.2xy202.已知F是双曲线C:x2匕1的右焦点，P是C左支上一点，A0,6J6,当APF周长最小时，该三8角形的面积为.三、解答题（题型注释）.（本小题满分12分）已知a,b,c分别是A

5、BC内角A,B,C的对边，sin2B2sinAsinC.（i）若ab,求cosB;（n）若B90；,且a后求ABC的面积.（本小题满分12分）如图四边形ABCM菱形，G为AC与BD交点，BE平面ABCD,E3（I）证明：平面AEC平面BED;（n）若ABC120：,AEEC,三棱锥EACD的体积为亚，求该三棱锥的侧面积.319.（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对 TOC o 1-5 h z 年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi和年销售量yii1,2,|,8数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统

6、计量的值刎r.二510.*零*时也卜330-500r*MM40*4-46SOSI54.W埼*帏Ct/T元4xyw8(xix)2i18/一2(Wiw)i18(xix)(yiy)i18(Wiw)(yiy)i11469表中Wi=A,w=-8Wi8i1(i)根据散点图判断，yabx与ycdJX，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；(n)根据(I)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(III)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z0.2yx,根据(n)的结果回答下列问题：(I)当年宣传费x90时，年销售量及年利润的预报值时多少(n)当年宣传费x

7、为何值时，年利润的预报值最大附：对于一组数据(Ui,Vi),(U2,V2),，(Un,Vn),其回归线VU的斜率和截距的最小二乘估计分别为：n(Uiu)(Viv)_i1一一=-n=，=vu2(Uiu)2y 31交于M, N两点.i120.(本小题满分12分)已知过点A1,0且斜率为k的直线l与圆C:x2(I)求k的取值范围;(n) OM ON12,其中O为坐标原点,求 MN| .21 .(本小题满分12 分）设函数 f xe2x aln x.2 2a aln -.a(I )若D为AC中点，求证:(i)讨论fx的导函数fx的零点的个数；(n)证明：当a0时fx.(本小题满分10分)选修4-1:几

8、何证明选讲如图AB是00直径，AC是0。切线，BC交00与点E.DE是。切线;(n)若OA辰E,求ACB的大小.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线Ci：x2,圆C2:x1y21,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求Ci,C2的极坐标方程.(n)若直线C3的极坐标方程为一R，设C2,C3的交点为M,N,求C2MN的面积.424.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数fxx12xa,a0.(1)当21时求不等式fx1的解集；(n)若fx图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围参考答案. D【解析】试题分析：由条件知

9、，当 n=2时，3n+2=8, 考点：集合运算A【解析】试题分析：: aB oB oA=(3,1), 考点：向量运算C【解析】1 2i试题分析：，(z 1)i 1 i , 1- z=i考点：复数运算C【解析】试题分析：从1,2,3,4,5 1,2,3,4,5中任取当 n=4 时，3n+2=14,故 AA B=8,14,故选 D.AB =(-7,-4),故选 A.(1 2i2( i) 2 i,故选 C. i3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5 ,故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为工，故选C.10考点：古典概型B【解析】试题分析：.抛物线C:y28x的焦点为

10、(2,0),准线方程为x2,椭圆E的右焦点为(2,0),22.椭圆E的焦点在x轴上，设方程为三斗1(ab0),c=2,ab-ec1,.a4,b2a2c212,椭圆E方程为aL1,a21612将x2代入椭圆E的方程解得A(-2,3),B(-2,-3),|AB|=6,故选B.考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质B【解析】 TOC o 1-5 h z 116试题分析：设圆锥底面半径为r,则一23r8,所以r一，所以米堆的体积为43113()25=320,故堆放的米约为320+=22,故选B.43399考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式B【解析】111试题分析：公差d1,S84s4,8a1-874(4a

11、l43),解得a1=一,，2221_19a10a19d9,故选B.22n项和公式考点：等差数列通项公式及前D【解析】1-,所以 f (x) cos( 4试题分析：由五点作图知，4542k2k4k Z ,故选D.考点：三角函数图像与性质9. C【解析】,k Z ,解得2k2kZ ,故单调减区间为(2k试题分析：执行第1次,t=,S=1,n=0,m=1C,S=S-m=, m2m=,n=1,S= t=,是，循环, 2执行第2次，S=S-m=,mm2二,n=2,S=t=,是，循环，执行第3次，S=S-m=,mm2二,n=3,S=t=,是，循环，执行第4次，S=S-m=,mm2:,n=4,S=t=,是，

12、循环，执行第5次，S=S-m=,mm2二,n=5,S=t=,是，循环，执行第6次，S=S-m=,mm2-:,n=6,S=t=,是，循环，执行第7次，S=S-m=,mm=2:,n=7,S=t=,否，输出n=7,故选C.考点：程序框图10.A【解析】试题分析：: f(a)3,，当 a 1 时,f(a)2a 1 23 ,则2a 11,此等式显然不成立,当a 1时,10g2(a1)3 ,解得 a 7,f(6a)f(1)=21127,故选A.4考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质B【解析】的高为2r,其表面积为1 42试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径

13、与球的半径都为2222B.rr2rr2r2r=5r4r=16+20,解得r=2,故选考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式C【解析】试题分析：设(x,y)是函数yf(x)的图像上任意一点，它关于直线yx对称为(y,x),由已知知(y,x)在函数y2xa的图像上，x2ya,解得ylog2(x)a,即f(x)log2(x)a,f(2)f(4)log22alog24a1,解得a2,故选C.考点：函数对称；对数的定义与运算13.6【解析】试题分析：:ai2,an12小，.数列an是首项为2,公比为2的等比数列，.2(12)126,.2n64,n=6.12考点：等比数列定义与前n项和

14、公式1【解析】试题分析：:f(x)3ax21,f(1)3a1,即切线斜率k3a1,a27.一又f(1)a2,.切点为(1,a2),切线过(2,7),，a73a1,解得a1.12考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；4【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：3xy0,平移直线l0,当直线l:z=3x+y过点A,什一,xy2=0.-时，z取取大值，由解得A(1,1),.z=3x+y的取大值为4.x2y1=0号跳旷。12考点：简单线性规划解法12而【解析】试题分析：设双曲线的左焦点为Fi,由双曲线定义知，|PF|2a|PFi|,.APF的周长为|PA|+|PF|

15、+|AF|=|PA|+2a|PF1|+|AF|=|PA|+|PF1|+|AF|+2a,由于2a|AF|是定值，要使APF的周长最小，则|PA|+|PF1|最小，即p、AF1共线，2 A 0,6褥,Fi(3,0),直线AFi的方程为-x-y.1,即xy=3代入x21整理得36,62.68y2 6.6y 960,解得y 2娓或丫8）6（舍），所以P点的纵坐标为2娓,1 _ 1S PFF1 =6 6 6226 2,6 =12 , ,6.-S APF S AFF1考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系;17. （D 1 （II） 14【解析】最值问题2 _试题分析：（I）先由正弦th理将sin B

16、 2sin AsinC化为变得关系，结合条件 a b ,用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角从而求出 ABC的面积.B的余弦值；（n）由（I）知b2二2ac,根据勾股定理和即可求出 c,2试题解析：（I）由题设及正弦定理可得b2 2ac.又 a 二b,可得 b 二 2c, a 二 2c,由余弦定理可得cosB2,2c - b2ac(n)由(1)知b2二2ac.因为B二90。，由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2-2ac,得c二a二/2.所以ABC勺面积为1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力（I）见解析（n）3+2痣【解析】试题分析：（I）由四边形ABC型菱形知AC|

17、BD,由BE|平面ABC而AC|BE,由线面垂直判定定理知AC|平面BED由面面垂直的判定定理知平面AEC平面BED；（n）设AB=X,通过解直角三角形将AGGCGBGD用x表示出来，在Rt&AEC中，用x表示EG在Rt&EBG中，用x表示EB,根据条件三棱锥EACD的体积为逅求出x,即可求出三棱锥EACD的侧面积.3试题解析：（I）因为四边形ABCM菱形，所以AC.BD,因为BE|平面ABCD所以AC|BE故AC|平面BED.又AC-平面AEG所以平面AEC_平面BED(n)设AB=X,在菱形ABCD,由/ABC=120,可得AG=GC更x,GB=GD=x.22因为AEEG所以在R0AEC中

18、，可得EG=-3x.由BE|_平面ABCD知EEB劭直角三角形，可得BE=j-x.由已知得，三棱锥E-ACD的体积VEacd=-X-AC*GD，BE二x二.故X=232243从而可得ae=ec=ed=6.所以AEAC勺面积为3,AEAD的面积与&ECD的面积土匀为非.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2、5.考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力（I）ycdjx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型（n）y100.668/x（m）【解析】试题分析：（i）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（n）令wjx,先求出建立

19、y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；（出）（i）利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=即可年利润z的预报值；（ii）根据（n）的结果知，年利润z的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用试题解析：（I）由散点图可以判断，ycdjx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型.(H)令w jx,先建立y关于w的线性回归方程，由于 d8_(wi w)( y y)i 18-(wi w)i 1108.8 i=68 ，16dw=563-68X=.y关于w的线性回归方程为y100.668w,y关于x的回

20、归方程为y100.668Vx.（m）（i）由（n）知，当x=49时，年销售量y的预报值y100.66849=,576.60.24966.32.z的预报值(ii)根据(n)的结果知，年利润Z0.2(100.668人)xx13.6s/x20.12,当Jx=68,即X46.24时，Z取得最大值.2故宣传费用为千元时，年利润的预报值最大.12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识(I)4.4+(口2I33J【解析】试题分析：(I)设出直线l的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k的不等式，即可求出k的取值范围；(n)设M(xi,yi),N(X2,y2),将直线I

21、方程代入圆的方程化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理将XiX2,yy2用k表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及oMON12列出关于k方程，解出k,即可求出|MN|.试题解析：(I)由题设，可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点，所以12k23型11+k2(n)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入方程x-22+y-32=1,整理得(1+k2)x2-4(k+1)x+7=0, TOC o 1-5 h z 4(k+1)7x,+x2=2-,x1x2=2.1+k1+k二取2七1丫2=1+k2xx2+kx+x2+1=4k(号)1+k2由题设可得4k(1+2k)+8=12

22、,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.1+k故圆心在直线l上，所以|MN匚2.考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力(I)当a40时，(x)没有零点；当a0时，f1(x)存在唯一零点.(n)见解析试题分析：(I)先求出导函数，分240与20考虑fx的单调性及性质，即可判断出零点个数；(n)由(I)可设f|(x)在0,+QQ的唯一零点为X0,根据fx的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数2的最小值，即可证明其最小值不小于2a+alnW,即证明了所证不等式.a试题解析：(I)f(x)的定义域为0,+,fl(x)=2e2x-x0.x当a0时，fl(x)0,ff(x)没有零点；当a

23、0时，因为e2x单调递增，a单调递增，所以“(x)在0,也单调递增.又fl(a)0,当b满足一x TOC o 1-5 h z 0ba且b1时，ff(b)0,故当a0时，fl(x)存在唯一零点.44(n)由(I),可设fl(x)在0,+QQ的唯一零点为x0,当x0,x0时，fl(x)0时，f(x)2a+aIn.a考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.(I)见解析(n)60【解析】试题分析：(I)由圆的切线性质及圆周角定理知，A已BC,ACAB,由直角三角形中线性质知DE=DCOE=OB利用等量代换可证/DEC吆OEB=90,即/OED=90,所以DE是圆。的切线；(n)设CE=1,由OAJ3CE得，AB=2j3,设AE=x,由勾股定理得BE/l2x2,由直角三角形射影定理可得AE2Ce|bE,列出关于x的方程，解出x,即可求出/ACB的大小.试题解析：(I)连结AE,由已知得，AE1BGACAB,在RtAEC中，由已知得DE=DCDECNDCE连结OE/OBEWOEB./ACB+/ABC=90,.DEC它OEB=90,，/OED=90,DE是圆O的切线.(n)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2