全国通用版2019年高考数学二轮复习专题六函数与导数第4讲导数的热点问题学案文

1、第4讲导数的热点问题考情考向分析利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大.师生讲练互动热点各个击破。热点分类突热点一利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力.例1(2018全国I)已知函数f(x)=aexlnx-1.(1)设x=2是f(x)的极值点，求a,并求f(x)的单调区间;、r,1,(2)证明：当a-时，f(x)0.e解f(x)的定义域为(0,+)f(x)=aex1x由题设知，f(2)=0,所以a=白.ND TOC o 1-5 h z ，.一1x.1

2、x1从而f(x)=2eeInx-1,f(x)=2eex.当0vx2时，f(x)2时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(2,+oo),单调递减区间为(0,2)1,ex(2)证明当a-时，f(x)Inx-1.eeexex1设g(x)=lnx1(xC(0,+8),则g(x)=.当0 x1时，g(x)1时，g(x)0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x0时，g(x)g(1)=0.1因此，当a公时，f(x)0.e思维升华用导数证明不等式的方法利用单调性：若f(x)在a,b上是增函数，则?xCa,b,则f(a)wf(x)wf(b)；又?xi,xzCa,b,且xix2,则f(xi)m).ax2+

3、 x-1证明f(x)g(x),可构造函数F(x)=f(x)g(x),证明F(x)l时，f(x)+e0.ax+(2a1x+2解二4x一,e(0)=2,f(0)=-1.因此曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程是2x-y-1=0.(2)证明当al时，f(x)+e(x2+x-1+ex+1)ex令g(x)=x2+x-1+ex1,则g(x)=2x+1+ex1.当x1时，g，(x)1时，g(x)0,g(x)单调递增.所以g(x)g(-1)=0.因此f(x)+e0.热点二利用导数讨论方程根的个数方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最

4、值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解.例2(2018雅安三诊)设函数f(x)=(x-1)ex-kx2.(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当kwo时，讨论函数f(x)的零点个数.解(1)函数f(x)的定义域为(一00,+8),(x)=ex+(x1)exkx=xexkx=x(exk),当k0,解得x0,令f(x)0,解得x0,所以f(x)的单调递减区间是(一8,0),单调递增区间是(0,+8),当0k0,解得x0,令f(x)0,解得Inkx0,所以f(x)的单调递增区间是(一8,lnk)和(0,+8),单调递减区间是(lnk,0).(2)f(0)=-1,k当k0,又f(x

5、)在0,+8)上单调递增，所以函数f(x)在0,+8)上只有一个零点.在区间(一8,0)中,因为f(x)=(x-1)ex-kx2x-1kx2,2取 x=TC (-于是f k-1 koo0),1 k21 2i 2 也一Jk=20又f(x)在(一8,0)上单调递减,故f(x)在(一8,0)上也只有一个零点，所以函数f(x)在定义域(8,+8)上有两个零点；当k=0时，f(x)=(x1)ex在单调递增区间0,+8)内，只有f(1)=0.而在区间(8,0)内，f(x)0,即f(x)在此区间内无零点.所以函数f(x)在定义域(8,十)上只有唯一的零点.综上所述，当k0时，函数f(x)有两个零点，当k=0

6、时，f(x)只有一个零点.思维升华(1)函数y=f(x)k的零点问题，可转化为函数y=f(x)和直线y=k的交点问题.(2)研究函数y=f(x)的值域，不仅要看最值，而且要观察随x值的变化y值的变化趋势.跟踪演练2(2018天津)设函数f(x)=(x-ti)(x12)(x13),其中ti,t2,13cR且ti,t2,t3是公差为d的等差数列.(1)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(2)若d=3,求f(x)的极值；(3)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)6有三个互异的公共点，求d的取值范围.解(1)由已知,可得f(x)=x(x1)(x+1)=x3-x

7、,故f(x)=3x2-1.因此f(0)=0,f(0)=1.又因为曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y-f(0)=f(0)(x0),故所求切线方程为x+y=0.(2)由已知可得f(x)=(x12+3)(x12)(x123)=(xt2)39(xt2)=x-3t2x+(312-9)x一12+9t2.故f(x)=3x2-6t2x+3t2-9.令f(x)=0,解得x=t2g3或x=t2+y3.当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：x(0,t2-J)12一乖(t2J-3,t2+V3)t2+V3(t2+3,十oo)f(x)十0一0十f(x)极大值极小值所以函数f(x)的极大值为f(t

8、2#)=(43)39X(43)=643,函数f(x)的极小值为f(t2+43)=(市)39X#=6枳.曲线y=f(x)与直线y=(x12)6座有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x12+d)(x-t2)(xt2d)+(x12)+6，3=0有三个互异的实数解.令u=x12,可得u3+(1-cf)u+63=0.设函数g(x)=x3+(1d2)x+6j3,则曲线y=f(x)与直线y=(x12)6*J3有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点.g(x)=3x2+(1d2).当d20,这时g(x)在R上单调递增，不合题意.当d21时，d21令g(x)=0,解得xi=-丫小,x2=可得g(x)

9、在(00,xi)上单调递增，在xi,x2上单调递减，在(x2,+8)上单调递增.所以g(x)的极大值为3d/d)2J3(d2-n2厂g(xi)=g-j=-960.g(x)的极小值为g(x2) =g3写卜幽要匕小若g(x2)0,则由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点，不合题意.3若g(x2)27,也就是|d|赤，此时|d|x2,g(|d|)=|d|+6730,且一2|d|x1,g(-2|d|)=6|d|321d|+6淄62#0+6叱30,从而由g(x)的单调性，可知函数y=g(x)在区间(一2|d|,x1),(x1,x。，(x2,|d|)内各有一个零点，符合题意.所以d的取值范围

10、是(一8,诉)U(师，+8).热点三利用导数解决生活中的优化问题生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优.例3罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+Mx)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当m=96米时，需新建

11、多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小?解(1)设需新建n个桥墩,贝U(n+1)x=mi即n=mm1.x所以y=f(x)=32n+(n+1)(2+市)xmm=32-1；-+x(2+4)x=ml32-+水；+2m-32(0 xm).x132(2)当m=96时，f(x)=961一+x汁160,x则 f (x) = 9613248 3福一1厂k(x2-64)-3令f(x)=0,得x2=64,所以x=16.当0 x16时，f(x)0,f(x)在区间(0,16)内为减函数;当16Vx0,f(x)在区间(16,96)内为增函数,一96所以f(x)在x=16处取得取小值，此时n=1=5.答需新建5个桥墩才能使

12、余下工程的费用y最小.思维升华利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).(2)求导：求函数的导数f(x),解方程f(x)=0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f(x)=0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)作答：回归实际问题作答.跟踪演练3图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABC虚矩形，弧Cm比半圆，凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积，设AB=2x,BC=y.(1)写出y关

13、于x的函数表达式，并指出 x的取值范围;(2)求当x取何值时，凹槽的强度最大.解(1)易知半圆CmD勺半彳空为x,故半圆CmD勺弧长为兀x.所以 4= 2x+ 2y+ 兀 x, 4 0 + 兀 x得y=一2:4依题意知0 xy,得0 x. 4十兀.4 (2 + TT x f 4 i所以 y= -2 0 x= 2x12xy -27tx2)= 8x2 (4 + 3tt)x3.令 T = 16x3(4 + 3tt )x2=0,169兀 + 12因为0169兀+ 12兀 +416所以当x0,T为关于x的增函数;9Tt+12164当9兀+12x4时，T0,T为关于x的减函数,16所以当x=0,一时凹槽的

14、强度最大.9Tt+12真题押题体味高考。真题押题精练【真题体验】(2017全国I)已知函数f(x)=ae2x+(a2)exx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(8,+8),f(x)=2ae2x+(a2)ex1=(aex1)(2ex+1).(i)若aW0,则f(x)0,则由f(x)=0,得x=-lna当xC(8,ina)时，f(x)0.所以f(x)在(00,ina)上单调递减，在(ina,+8)上单调递增.(2)(i)若aw。，由知，f(x)至多有一个零点.(ii)若a0,由(1)知，当x=ina时，f(x)取得最小值，最小彳1为

15、f(-lna)=1-+lna.a当a=1时，由于f(ina)=0,故f(x)只有一个零点；当aC(1,+8)时，由于1；+ina0,即f(ina)0,故f(x)没有零点;当aC(0,1)时，1-+ina0,即f(-ina)2e2+20,故f(x)在(一00,一ina)上有一个零点.设正整数nO满足rbin1:;a贝Uf(m)=en(aen+a2)n0en0nc2n0nc0.由于in1-ina,a因此f(x)在(一ina,十0)上有一个零点.综上，a的取值范围为(0,1).【押题预测】已知f(x)=asinx,g(x)=inx,其中aCR,y=g1(x)是y=g(x)的反函数.若0aw1,证明：

16、函数G(x)=f(1-x)+g(x)在区间(0,1)上是增函数； 证明： Zsin70, m0恒成立，求满足条件的最小整数b的值.押题依据有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与不等式等基础知识和基本方法，考查分类整合思想、转化与化归思想等数学思想方法.的命制正是根据这个要求进行的，全面考查了考生综合求解问题的能力.证明由题意知Gx)=asin(1x)+lnx,1G(x)=acos(1x)(x0),x1当xC(0,l),0a1,0cos(1x)1,xacos(1x)0,故函数G(x)在区间(0,1)上是增函数.(2)证明由知，当a=1时，G(x)=sin(1x)+

17、lnx在(0,1)上单调递增.本题.sin(1x)+InxG1)=0,sin(1x)lnx(0 x1).1k2+2k令.而仃所以x=E.sin_112=sin|1(1+k)k+1k2+2k-；-21+kk+2sinJn2In3；+ln3-ln4+ln吐In哈；;(1+k)i2)223；inn+1rk=1=In2Inn+20,m0恒成立，即当xC(0,+8)时，F(x)min0.又设h(x)=F(x)=ex2mx-2,h(x)=ex2rnm0,h(x)单调递增,又h(0)0,则必然存在xc(0,1),使得h(xc)=0,F(x)在(0,x0)上单调递减，在(x,+8)上单调递增,F(x)F(xc

18、)=ex0mx2x0+b-20,则b-e+mx+2x0+2,又ex02mx2=0,-ex022beH,Xo+2xo+22xo又ml70-1ex0+X0+2,X0C(0,In2)恒成立,2令m(X)=修一11x+x+2,xC(0,ln2),2，1X则m(x)=2(x1)e+1,令n(x)=2(x-1)ex+1,则n(x)=2xex0,m(x)在(0,In2)上单调递增,1m(x)m(0)=20,.m(x)在(0,In2)上单调递增,m(x)2ln2,又b为整数,.最小整数b的值为2.梯度训练直通高考。专题强化练A组专题通关1.在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根

19、据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v（米/单位时间），每单位时间的用氧量为弓0：+1（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为V（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y（升）.（1）求y关于v的函数关系式；（2）若cwvw15（c0）,求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少.解（1）由题意，得下潜用时限单位时间），用氧量为603v2607=50+豆(升)；水底作业时的用氧量为10X0.9=9(升)；,，60120返回水面用时60-=(单位时间)，vv2用氧量为12018013=丁升)，-3v2240.

20、二总用氧重y=0-+v-+9(v0).3(2) y6v2403v-200050-v=25v2令y=0,得v=102,当0v10整时，y10适时，y0,函数单调递增，.当0c10逅时，函数在(c,10j2)上单调递减,在(10短，15)上单调递增，当v=102时总用氧量最少，当01042时，y在c,15上单调递增，.,.当v=c时总用氧量最少.综上，若0cg(x).(1)判断函数f(x)的单调性；(2)设函数g(x)=lnx+1,证明：当xC(0,+8)且a0一.ax2a,、解因为f(x)=1二=一(x*O),xx若aw0,则(x)0在定义域内恒成立，.f(x)在(8,0),(0,+8)上单调递

21、增；若ao,则由（x）。，解得xya,由f（x）。,解得yax0),xh(x0)x2-x-2x设p(x)=x2-x-a,则由a0知，方程p（x）=0的判别式A=1+4a0,设p(x)=0的正根为xo,.2.xoxoa=0).p(1)=11a=ax01,又p(0)=a1),12x1.F(x)=2-=0恒成立，xx1.F(x)在(1,+)上为增函数，又F(1)=2-0-2=0,F(x)0,即h(x)min0,，当xC(0,+8)且a0时,f(x)g(x).(2018长春模拟)已知函数f(x)=lnx,g(x)=x+n(me2.x1x20),则F(x)=1T=1(x0),xx当x1时，F(x)0,当

22、0Vx0,1 rq所以Rx)在(1,+8)上单调递减，在(0,1)上单调递增，F(x)在x=1处取得最大值若f(x)wg(x)恒成立，则1rm0,即命1.(2)证明由可知，若函数F(x)=f(x)g(x)有两个零点,则m-1,0 x11x21要证xx21,只需证x2F：,由F(刈=F(x2)=0,m=Inx1x1,即证Inm=In工一工+x1一Inx10,x1x1x1x1人一、1令h(x)=+x2lnx(0 x0 ,x故h(x)在(0,1)上单调递增，h(x)h(1)=0,所以xx2ln(ax-1)+x2+x+1.解当a=1时，f(x)=(x-1)ex+x2,f(x)=x(ex+2),由f(x

23、)0得x0,由f(x)0得x0,f(0)=-10,e，f(x)有两个零点.(2)证明f(x)=ex(ax1+a)+2x,x=0是f(x)的极值点，1-f(0)=a1=0,a=1,f(x)=(x-1)ex+x2,故要证(x1)exln(x1)+x+1,令x1=t,t0,即证te+lnt+t+2(t0),设h(x)=exexlnx-x-2(x0),即证h(x)0(x0),h (x) =e - e x(x+ 1)-1-1x= e(x+1)x-ex(x0),令u(x)=exex(x0),uz(x)=ex+50，u(x)在(0,+8)上单调递增,一1,2、a2又u(1)=e0,u(e)=e-e0,e故u

24、(x)=0有唯一的根xC(0,1),e=,ex0当0 xx0时，u(x)0,h(x)x0时，u(x)0,h(x)0,1-h(x)h(x0)=ex0-ex0-Inx0 x02.Xh1=ex0,+lne-x。-2=1+xo+1X02=0.ex0e综上得证.5.(2018滨海新区七所重点学校联考)已知函数f(x)= x(1)解. f(x) = +ln x-X+lnx(其中ax(1)当a=1时，求函数f(x)在(1,f(1)点处的切线方程;(2)若函数f(x)在区间2,+8)上为增函数，求实数a的取值范围;(3)求证：对于任意大于1的正整数n,都有lnn2+-+-+-.x,x-1(x0),.f(1)=

25、0,f(1)=0,.f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=0.-1-x(2)解.f(x)=+lnx,axax-1，f(x)=b(x0,a0),.1f(x)在2,+0)上为增函数,(x)0对任意xC2,+8)恒成立.ax-10对任意xC2,+8)恒成立,即a；对任意xC 2 , x十 0)恒成立.当 xC 2 , +8)时,1 max= 2,1 r . .a2,即所求正实数a的取值范围是证明当a= 1时,1 -xf(x)=k卜lnx, f (x) =x- 1x2 当 x1 时，f (x)0 ,f(x)在(1 ,十 )上是增函数.则当x1时，f(x)f(1)=0,当n1时，令x=n1,n-1

26、n1 n 1 - f (x) =Tnn-1In n=- 1+lnn-1 nInT1, 1n21 n- 1 n 1 2,3 11n z-, ,2 31n J, n- 1 n- 1n + 1n -+ 1n12n-12+3+ + n13 + 十一即 In 二 x x 二 1 2 n-1-1nn2+3+n，即对于任意大于1的正整数n,都有1nn2+3+3B组能力提高6.已知函数f(x)=ex+21n xg(x) = x2+ ax+ b( a,bC R).若对任意的xC(0,+8),不等式f(x)x2+m21nx恒成立，求实数m的取值范围;(2)若对任意的实数a,函数F(x)=f(x)-g(x)+x2-

27、21nx在(0,+o)上总有零点，求实数b的取值范围.解(1)对任意的x(0,+8),不等式f(x)x2+m21nx恒成立可转化为不等式mex-x2在(0,+00)上恒成立.令m(x)=ex-x2,xC0,十0),则mi(x)=ex2x,令n(x)=mi(x)=ex2x,则n(x)=ex2,故当xC(0,ln2)时，n(x)0,n(x)单调递增.从而当xC0,+8)时，n(x)n(ln2)=22ln20,即m(x)0,所以n(x)在0,+00)上单调递增，n(x)的最小值是n(0)=1,所以me1,即m的取值范围为(一00,1.(2)函数F(x)=f(x)g(x)+x22lnx在(0,+)上总有零点，即F(x)=ex-ax-b在(0,+8)上总有零点.若a0,则F(x)=ex-ax-b在(0,十