数学的基本思想与方法

1、数学的基本思想与方法 Relation 几何法例1 哥哥和弟弟各摘了一批柿子，如果哥哥给弟弟8只，他们就一样多。如果弟弟给哥哥8只，哥哥的柿子就是弟弟的两倍。哥哥和弟弟原来各摘了多少个柿子？ 几何法 例2 已知A,B,C,D,E,F,G,H,I,K代表十个互不相同的大于0的自然数。要使下列等式成立，A最小是什么数？ B+C=A D+E=B E+F=C G+H=D H+I=E I+K=F 几何法 例3 某市举行家庭“普法”学习竞赛，有五个家庭进入决赛，规定每家有2名成员参加。决赛时进行了四次比赛，每次比赛各家出一名成员参赛。第一次参赛的是A,B,C,D,E；第二次参赛的是F,B,A,D,G；第三

2、次参赛的是C,H,A,I,F；第四次参赛的G,A,B,H,E。此外有一人k因故四次均未参加。问谁和谁是一家人？ 逆推法 例4 一条毛毛虫由幼虫长到成虫，每天身长增加1倍，30天能长到20厘米。问长到5厘米的时要用多少天？ 逆推法 例5 有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克，先将甲桶的油倒入乙、丙两个桶，使它们各增加原有油的一倍，再将乙桶的油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加一倍，最后按同样的规律将丙桶的油倒入甲、乙两桶，这时各桶里的油都是16千克，问各桶原有油多少千克？ 逆推法 例6 在76的棋盘的右上格内有一颗棋子，甲乙两人做游戏，规则如下：甲先走，二人交替将棋子向左、向下或向左下移一格，谁把

3、棋子移到左下角的格子里谁胜。问：甲如何走才能确保取胜？ 递推法 例7 平面上的10条直线最多有几个交点？ 递推法 例8 一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，问要登上第10级台阶有多少种不同的走法？ 递推法 例9 有雌雄各一的一对兔子，一个月后生了雌雄各一的一对小兔子，这对小兔子经过一个月就长成大兔子。此后，每对大兔每月生一对雌雄各一的小兔子，而每对小兔经过一个月又长成大兔。问一年后共繁殖成多少对兔子？ 递推法 例10 一个居民小区纵横各有5条街道，某人要从路口A前往路口B，走的方向只能向东或向南。问：一共有多少种不同的走法？ 对应法 例11 有20支乒乓球队参加比赛，比赛采用淘汰

4、制，最后产生冠军队。共需要安排多少场比赛？ 对应法 例12 从1985到4891的整数中，十位数字与个位数字相同的数有多少个？ 对应法 例13 10个苹果，每天至少吃1个，直至吃完，问共有多少种不同的吃苹果方案？ 抽屉法 抽屉原理1 如果将n+1件物体放到n个抽屉里去，那么至少有一个抽屉里的物体不少于两件。 抽屉原理2 如果将多于mn件物体放到n个抽屉里去，那么至少有一个抽屉里的物体不少于m+1件。 抽屉法 例14 一些孩子在沙滩上玩耍，他们把石子堆成许多堆，其中有一个孩子发现，从石子堆中任意选出五堆，其中至少有两堆石子数之差是4的倍数，你说他的结论对吗？为什么？ 抽屉法 我们把五堆石子数看作

5、任意五个自然数，它们被4除，其余数不外乎是0，1，2，3四种可能。如果把每一种余数看作一个抽屉，那么余数相同的两数就在同一抽屉里。根据抽屉原理，五个自然数被4除后得到的余数中必有两个余数是相同，这样的两个数之差必是4的倍数。因此，本题的结论是正确的。 抽屉法 例15 求证：从1,2,3，,10这十个数中任意选出六个，这六个数中必有一个数是另一个数的倍数。 图论法 例16 图论起源于著名的柯尼斯堡七桥问题。公元18世纪的柯尼斯堡的普莱格尔河上有七座桥，当地的居民热衷于这样一个问题：一个散步者能否一次走遍七座桥，而且每座桥不许重复？ 一笔画 在连通的网络中： 1、如果图形只有偶点，那么可以一笔画出

6、，并且可以任何点为起点和终点。 2、如果图形有且只有两个奇点，那么可以一笔画出，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点。 3、如果图形中奇点的个数超过，则不能一笔画出。 一笔画 例17 如图是校史室的平面图，参观者能否从室外开始，在一次参观中不重复地走遍所有七个门？ 一笔画 在连通的网络中：1、如果图形只有偶点，那么可以一笔画出，并且可以任何点为起点和终点。2、如果图形有且只有两个奇点，那么可以一笔画出，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点。3、如果图形中奇点的个数超过，则不能一笔画出。4、画出含有n(n是自然数)个奇点的网络至少要n笔画。 染色法 例18 如图是由若干个小方格拼成的图形。从这个

7、图中，最多能分割出多少个由两个小方格拼成的长方形？ 染色法 例19 试证：世界上任意个人中,总有个人,或彼此都认识,或彼此都不认识。 演绎法 例20 有红、黄、蓝三个盒子，两个盒子是空的，一个盒子里放了一个乒乓球，每个盒子上都写了一句话。 红盒子上写着“乒乓球不在这里”， 黄盒子上写着“乒乓球不在这里”， 蓝盒子写着“乒乓球在红盒子里”。 不过，这三句话只有一句是真的，那么乒乓球一定放在什么盒子里？ 演绎法 例21 ，B，四人对某两位数的性质各作出了两个判断： 除余除余 除余除余 除余除余 除余除余 已知这个人中，每人都只说对了一句话，另一句话是错误的，求这个两位数。 转化法 例22 在46的

8、方格中，放18个奶瓶，每格放一个，要求每行每列的个数都是偶数。这件事能办到吗？ 假设法 例23 搬运站运送500只玻璃瓶，商定每只运费是0.24元，如打破一只，不但不给运费，而且要赔偿1.26元。结果，搬运站共得搬运费115.5元。问搬运中打破了几只玻璃瓶？ 假设法 例24 （我国古代问题）今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足。问鸡兔各有几何？ 假设法 例25 蜘蛛有8只脚，蜻蜓有6只脚和2对翅膀，蝉有6只脚和1对翅膀。现有这三种昆虫18只，共有脚118只，翅膀20对。问每种昆虫各有几只？ 假设法 例26 有黑白棋子一堆，黑子个数是白子个数的2倍，现在从堆内每次取出黑子4个，白子3个，取若干次后，白子取尽，而黑子还剩16个，求黑、白棋子原来各有多少个？ 反证法 例27 将数1，2，3，21分成七组，每组3个数。试证：