高等动力学课件：lecture9_enegy

1、 Lecture 9能量原理内容回顾质点系的动能为平动刚体的动能：定轴转动刚体的动能为寇尼格定理受约束质点系的动能。动能定理。考虑质点系质心的动能变化规律质心平动参考系中的动能定理：平动参考系下的动能变化定理惯性系中动能变化定理 冠尼格定理 则有在质心平动参考系中，动能的微分（相对的动能）等于外力和内力元功之和。不同惯性系下的动能定理：质点在新老惯性系中的速度关系动能的表达式 对上述动能的微分在新老两个参考系中功的关系 结论;在不同的惯性系中，动能变化定理在形式上是完全相同的 机械能守恒：动能变化定理 对力重新分类保守力所作的功 物体的机械能 物体系机械能的改变量等于所有非保守力作的功 机械能

2、守恒的条件如果除了保守力作用外，没有其他力作用 在一个系统中，动能和势能之间可能转换，系统外和系统内的能量也可能进行交换，转换时都以功作为量度，或者说以作功的形式加以实现。 刚体动力学回顾：动力学中的基本量的定义与质心相关的动力学量动力学中的定理守恒定律变结构动力学问题由于碰撞、接触、摩擦问题的存在，动力学分析过程中，描述系统的动力学模型往往是不连续的。这时，需要根据系统动力学过程的特点分段进行描述。导致系统动力学过程不连续的原因主要有:约束的单边性质；如支撑面约束，柔索约束等只能承受单向作用力。多尺度动力学问题，如碰撞问题干摩擦问题，由于接触点处速度的变化导致摩擦力性质的变化处理变结构动力学

3、应注意的问题：描述每一分段过程中的动力学问题，并确定采用恰当的动力学原理。各分段动力学过程中的衔接条件，位形条件，速度条件等。基于牛顿力学的三个基本动力学原理动量定理动量矩定理动能定理例子1台秤由重为P的盘子和刚性系数为K的弹簧组成。现有一个面团重为Q，无初速 地自高h处落到台秤盘上，问台秤的读数是多少？ 例子1面团的下落；能量守恒， 面团到达台秤平面时的速度碰撞过程；动量守恒（e=0），碰撞后台秤和面团具有的共同速度冲击后的动能将转化为弹簧的压缩势能；冲击结束时的动能 当弹簧压缩量时，弹簧力为例子1弹簧的初始变形为0，弹簧最大压缩量max，指针对应度数的变形量为到达最大压缩量max时的弹性势

4、能根据机械能守恒，秤上最大读数 例子2复摆支点为O，质心，OC=l，总质量为m，相对质心的回转半径为k。求支点对复摆的约束力R。 例子2设在t时刻的摆角为，最大摆角为。 t时刻单摆的角速度为上式对时间求一次导数机械能守恒：例子2质心C的运动微分方程 结果讨论摆是均质杆：单摆: k=0 例子3质量为m的两个相同的小珠，串在光滑圆环上，无初速地自最高处滑下，圆环竖直地立在在面上。问环的质量M和小珠质量m有什么关系时，圆环才可能从地面跳起。 y零势面例子3y零势面过程分析：圆环跳起的条件（与地面的接触力为零；如何求出接触力的表达式） 能量守恒条件：设在t时刻小珠偏离竖直线的夹角为。在圆环脱离地面之前

5、，圆环的速度为零。根据机械能守恒（一个小珠）对上式微分，可得到小珠的角加速度例子3y零势面运动学分析：小珠竖直方向的加速度分量（相对惯性系的绝对加速度） 根据质心定义：系统的质心加速度应用质心运动定理例子3y零势面极值条件 圆环跳起的条件为：当=arccos(1/3)时，If M/m 2/3, 圆环有可能跳起，跳起的条件为 N=0对应的转角为例子3y零势面考虑余弦函数的特性，故只能取加号。也可以单独分析小珠的动力学方程小珠沿径向的平衡方程为：对圆环进行受力分析，竖直方向上的平衡方程为结果相同。例题4均质杆直立在光滑水平面上，受到微小干扰后地竖直平面内倒下。证明杆子在倒下的过程中，其下端受到的反

6、力的最小值是杆重的0.165倍。 例题4运动学分析：因为水平方向动量守恒，机械能守恒 对上式微分例题4质心动量矩定理 令当杆躺平之前的瞬间，反力是杆重的四分之一 ，地面对杆的支持力并不是mg。例子5均质杆AB原为水平，其三分之一放在桌子上，悬空端B用手托着。突然将手放开，杆绕桌边转过个角度后开始有滑动。证明：桌边与杆之间的摩擦系数满足关系 例子5过程分析：滑动以前，杆可当作复摆处理，桌子对杆的作用力就是支座反力。根据复摆的动力学方程悬挂点到质心之间的距离临界条件为例子6圆环质量为M，放在光滑水平面上。有一质量为m的小虫在圆环上爬行。求证，小虫在圆环上相对地爬行一周时，圆环的自身转角度不超过180。设初始时系统静止 例子6定义如下的变量： 小虫在环上的相对转角 圆环的自转角 O系统的质心 P小虫的位置动量守恒：质心不动关于质心的动量矩小虫相对于质心的动量矩圆环相对于质心的动量矩例子6动量矩守恒初始条件积分以上方程有当=2时极限情况讨论例题7放在光滑水平面上的半径为R的半个均质球壳，原先靠在光滑墙面上，底平面竖直，（由于重力作用而无初速地滑下。求证在脱离墙以后的运动中，质心的水平速度 且底面与水平面的夹角不超过 例题7存在两个约束的情况：球壳绕O做定轴转动. 能量守恒（可根据初始条件列出方程）运动学关系：质心C的坐标和速度 例题7根