高等动力学课件：lecture5_planar dynamics

1、 Lecture 4 平面刚体动力学动量矩定理：内容回顾质点系的动量矩：质点系的动量矩定理：动点的动量矩定理：刚体绕某一轴做定轴转动例子2：复摆MgOA设刚体可绕一水平轴O转动，C为刚体的质心。求此复摆的微振动周期。 例子2：复摆动量矩定理令质点单摆的振动微分方程复摆的折合长度 摆动中心的可逆性：沿OC方向取OA=lo, A点为摆动中心。如果以A为转动中心，则OMg单摆折合长度loA可见，以A为转动中心时的折合长度等于以O为转动中心时的折合长度。C三线摆三条长度均为l 的坚直绳子，等距离地与圆盘相联，将圆盘水平地悬挂起来。在圆盘上放一质量为M1的物体，它绕中心坚直轴的转动惯量为J。通过圆盘的扭

2、转振动周期求出J。已知圆盘的质量为M0，它绕中心坚直轴的转动惯量为J0，它单独作扭转振动时的周期为T0。 三线摆单根绳作用在z轴上的外力矩：在竖直方向上，力系的主向量为零， 圆盘单独作扭转振动时 作用在刚体上绕z轴的合外力矩被测量物体绕z轴的转动惯量动量矩守恒一薄板放在光滑水平面上，它可绕一固定点O转动。板的质量为m，绕过O点的竖直轴转动惯量为mk。有一甲虫P，其质量也是m，从板上的A点沿OA的垂直线AB爬行。设OA=a，开始时板和甲虫都是静止的。求证：薄板的转角不超过 动量矩守恒分析对象：甲虫和板，系统的动量矩守恒 P的速度 对O轴的动量矩守恒 碰撞问题：用锤子击钉子，人手握在O处，锤子在A

3、处受到冲击力的作用。锤子质心在C点，OA=l，OC=b，锤子质量为M，对过O点的垂直轴的转动惯量为J0。问：手握在哪里可以不受冲击力的作用？ 碰撞问题：钉子对锤子的冲击力: 绕O轴转动的微分方程 质心的法向加速度 质心运动定理 常规力可忽略不计定义要使F=0; 手不受冲击力的作用 打击中心A点的位置:刚体平面动力学质心运动定理分量形式：动量矩定理，绕质心的定轴转动一般情况下，力系的简化中心在质心处。设一刚体在平面S内运动，刚体所受到的外力系Fi也在该平面内。建立惯性参考系对应的坐标系为O,i,j,k，刚体在该坐标系下的质心位置表示为xc,yc。例子1日光灯管（当作均匀细杆）在A，B两端用两根平

4、行线挂起。灯管的质量为m，长为l。设B端的线突然中断，求此时A端线中的张力T。 例子1B端线中断的瞬间的受力分析：日光灯管作平面运动。 质心运动定理 运动学分析质心的动量矩定理：（1）（2）（3）例子2设梯子AB的质量为m，长度为l，当作均匀杆处理，靠在光滑的竖直墙和水平地面上。写出梯子的动微分方程。例子2建立恰当的坐标系统，根据刚体平面运动动力学的动量定理和动量矩定理写出动力学方程。分析独立方程的个数，建立附加的运动学关系（平面运动有3个自由度；两个支撑点附加两个约束，故只能有一个独立的方程）例子2设初始条件为,t=0, = 0, dot=0利用如下的运动学关系If sin 2sin0/3,

5、梯子在A点总是保持接触。如果上述条件不满足，则梯子在A点将脱离墙面。例子2注意：注意对应速度瞬心P有问题：能否说对刚体平面运动来说，存在如下的动量矩定理：关于速度瞬心的动量矩定理质心GvcrOGOrPrcP速度瞬心在空间中的位置C证明：做平面运动的刚体相对于速度瞬心C的动量矩定理有如下形式Jc是刚体绕速度瞬心的转动惯量Lc是刚体外力系相对瞬心C的主矩Vc是速度瞬心C在惯性参考系中移动的速度。关于速度瞬心的动量矩定理质心GvcrOGOrPrcP设P是刚体上的点当C为速度瞬心点，则对上式微分:当刚体上的点P与速度瞬心点相对应时aP即为与速度瞬心点相对应的点的加速度。关于速度瞬心的动量矩定理质心Gv

6、crOGOrPrcP在刚体上的P点建立动平动参考系刚体做平面运动，且刚体上的P点与速度瞬心点相重合时，有Discussion:要使关于速度瞬心点的动量矩定理具有应该满足如下条件例子圆盘做纯滚动时，刚体上与速度瞬心点对应点的加速度为直接按照旋轮线方程求接触点处的加速度ijPG圆盘的纯滚动杂技演员使圆盘高速转动，并在地面上向前抛出，不久圆盘可自动返回到演员跟前。分析圆盘的运动 圆盘的纯滚动圆盘上与地面接触点的速度大小If u0, 质心动力学方程为积分后得到：动量矩方程为积分后得圆盘的纯滚动If u=0， 随后圆盘的运动可能存在两种情况：反向滑动，或出现纯滚动库伦摩擦定律的性质如何判断在u=0时，接

7、触点处的摩擦性质？假设u=0时，dotu=0，利用坐标变换可以将动力学方程变换到接触点处建立的接触坐标系中，进而利用该平衡方程可以求出f和N.对该问题来说，由于圆盘不受水平方向上的任何外力作用，故根据Dotu=0f=0, N=Mgf N所以，圆盘做纯滚动。圆盘一旦做纯滚动，圆盘将以等角速度长期滚动下去。圆盘的纯滚动u0 ，圆盘做纯滚动的时刻质心在该时刻t*的速度为圆盘的角速度为显然，当圆盘将在v(t)=0的时刻开始往回滚。当t=t*时，圆盘将以纯滚动的方式往回滚。当圆盘将在(t”)=0的时刻,圆盘的滚动方向发生变化。当t=t*时，圆盘将以纯滚动的方式继续往前滚。当圆盘恰好停止在t*时刻。冲击问题相同杆AC和BC，质量各为m，长各为l,在C点光滑铰接，静止地放在光滑水平面上，且ACB成一直线。A端受到一个垂直于杆的水平冲击力，其冲量为I，求A，B，C三点的速度 冲击问题冲击过程的动量矩定理冲击力矩设两杆受冲击后质心的速度：u1,u2两杆冲击后的角速度 :冲击问题运动学约束条件：AC杆算出的C点速度与由CB杆算出的同一点C的速度应该相等 结合前面的动力学方程，共有5个未知数，5个独立的方程。最后结果：冲击问题A,B,C三点的速度为如果对质点系