有限单元法：杆系结构有限元（PPT62页）

1、有限单元法第1章 杆系结构有限元 1第1章 杆系结构有限元 1.1 有限单元法及其发展概况1.2 有限元方法及解题步骤1.3 单元分析 1.4 整体分析1.5 按单元定位向量形成总刚度方程 1.6 约束处理及求解2第1章 概论1.1 有限单元法及其发展概况1.2 有限元方法及解题步骤1.3 单元分析 1.4 整体分析1.5 按单元定位向量形成总刚度方程 1.6 约束处理及求解31.1.1 力学问题的解法力学问题的求解方法可分为：解析法、数值法、半解析法解析法（连续、精确）：问题的求解可以得到具体的数学表达式，可以计算任意位置的问题的精确解答。如悬臂梁求挠度等。数值法（离散、近似）：得不到具体表

2、达式，只能得到某些离散点处的近似值。 半解析法：是将解析法和数值法结合起来形成的一种方法。4连续问题一般都是通过数学方程式的运算和求解获得精确解。但在实际工程中，可用的数学方法通常使得能用连续化处理的问题极为有限，或者使其过于简化。相反，由于计算机的出现，使得求解离散问题比较容易。计算力学：是根据力学中的理论，利用现代电子计算机和各种数值方法，解决力学中的实际问题的一门新兴学科。它横贯力学的各个分支，不断扩大各个领域中力学的研究和应用范围，同时也逐渐发展自己的理论和方法。包括：有限元单元法、有限差分法、边界元法等5常用的数值解法有下列几类：（1）有限差分法将微分方程化为差分形式，求近似解。（2

3、）加权残值法将微分方程化为加权积分形式，求近似解（加权残值法的五种常用做法是配点法，子域法，加辽金法，最小二乘法，矩法）。（3）有限单元法将微分方程问题化为能量驻值问题，采用插值函数，求近似解。（4）边界元法只在边界上进行离散。 常用的半解析法主要有：有限条法和有限元线法、薄层法等方法。其中应用最广泛的方法就是有限单元法。几乎可以说，一切弹性力学问题都可以利用有限元法求解。6有限单元法(Finite Element Method)(FEM)是计算力学的重要分支，是一种将连续体离散化，以求解各种力学问题的数值方法。有限元方法的基本思想：将结构物看成由有限个人为划分的单元组成的整体，以单元结点上的

4、解代表整体的解。它是一种化整为零、集零为整、化未知为已知的方法。不同的学科，所求解的参数不同。在计算力学中，主要有以下三种： 位移型：以结点位移为未知量。 力型：以结点力为未知量。 混合型：某些地方以结点位移为未知量，另外一些以结点力为未知量。我们主要就“位移型”有限元进行讲解。7结构力学位移法单跨超静定梁利用已知的单跨超静定梁的内力计算公式的成果（固定求固端力，放松求单元的杆端力）结点的平衡条件附加约束上的反力=0建立求解未知位移的平衡方程组8结构力学位移法位移法：建立求解未知位移的平衡方程组矩阵位移法，并利用计算机求解1956年，Turner，Clough，Martin和Toop ，刚架的

5、矩阵位移法推广用于弹性力学平面问题作近似分析有限单元法的刚度法9有限单元法的刚度法单元，结点单元，结点分析各单元的特性，得到物理条件（节点力与节点位移关系）利用在结点相交的平衡条件、变形协调条件建立求解各结点位移(ui、vi)的联立方程101.1.2 有限单元法发展概况产生构想：20世纪40年代，麦克亨利（McHenry）、雷尼柯夫（Horenikoff）、纽马克（Newmark）等首次提出用框架方法求解力学问题，用简单弹性杆排列代替连续体的各个小部分，能够得到连续问题的相当好的解答。1943年，柯兰特（Courant）第一次假设饶曲函数在一个划分的三角形单元集合体的每个单元上为简单线性函数。

6、由于计算机尚未出现，这篇论文没有引起应有的注意。 (1945年，世界上出现了第一台电子数字计算机“ENIAC”，用于计算弹道。1956年，晶体管电子计算机。1959年，集成电路计算机。）一、起源113）1955年，德国斯图加特大学的J.H. Argyris教授发表了一组能量原理与矩阵分析的论文，奠定了有限元方法的理论基础。 4）第一个尝试：1956年，特纳（Turner）、克拉夫（Clough）等将刚架分析中的位移法扩展到弹性力学平面问题，并用于飞机的结构分析和设计，系统研究了离散杆、梁、三角形的单元刚度表达式，并求得了平面应力问题的正确解答。第一次命名：1960年，克拉夫（Clough），建

7、立在虚位移原理或最小势能原理的基础上。在处理剖面弹性问题时，第一次提出并使用“有限元方法”的名称12O.C.Zienkiewize在他的“The Finite Element Method”一书中（参考书6），一开头便称： “人类大脑是有限的，以致不能一次就弄清周围许多（自然存在的和创造出的）复杂事物的特性。因此，我们先把整个系统分成特性容易了解的单个元件或单元，然后由这些元件重建原来的系统以研究其特性，这是工程师、科学家甚至经济学家都采用的一种自然的方法。许多经典的数学近似方法以及工程师们用的直接近似法都属于这一范畴。” 因此，从这一意义上说确定有限单元法的准确起源时间是困难的。尽管如此,

8、有限单元法从应用意义上讲，它的发展始于20世纪60年代。13二、 三个黄金时代第一个黄金时代： 1960年起。最重要的工作来自结构工程师，第一次解决了诸如汽车、飞机、水坝等复杂结构的力学分析。尽管当时有限元法的数学基础尚未完全建立（尽管与今天相比,当时的成就十分有限），但该方法获得了巨大成功。论文统计：1961年10篇、1965年67篇、1968年303篇。 14第二个黄金时代：始于1965年前后，属于数值分析研究者。1963年开始出现数值分析家的论文，他们终于认识了有限元法的基本原理，事实上是逼近论、偏微分方程及变分形式和泛函分析的巧妙结合。 并得出结论：直接刚度法（即有限元法）的基础是变分

9、原理，它是基于变分原理的一种新型里兹法（采用分区插值方案的新型里兹法）。这样就使数学界与工程界得到沟通，获得共识。从而使有限元法被公认为既有严密理论基础、又有普遍应用价值的一种数值方法。在有限元的这一发展时期，还有必要说明两件事：一个是有限单元法与变分原理之间的关系，另一个是我国学者对有限单元法的贡献。 15从有限元法的创立过程看两者的关系：1956年，Turner，Clough，Martin和Toop ，刚架的矩阵位移法推广用于弹性力学平面问题作近似分析1963年的交汇融合(直接刚度法，即有限元法的基础是变分原理 )，这正是有限元创立的真实和曲折过程。通过这种曲折，正好看出两者关系的密切难分

10、。 1943年，Courant ，变分原理和分片插值方法来求扭转问题的近似解，“变分解法”16各种变分原理以及其对应的有限元不同性质的单元对应于不同的变分原理。（1）协调位移元（采用的位移插值函数在单元间精确协调）最小势能原理。（2）非协调位移元（采用的位移插值函数在单元间不精确协调）分区势能原理。（3）广义协调位移元（采用的位移插值函数在单元间广义协调）分区势能原理的退化形式。（4）应力杂交元（采用应力试函数，满足平衡微分方程）最小余能原理。（5）混合元（采用混合试函数，含位移、应力和应变）广义变分原理。（6）分区混合元（部分单元采用位移试函数，其余单元采用应力试函数）分区混合能量原理。17

11、我国学者对有限单元法的贡献我国数学家冯康等人从1960年前后开始，也创造了系统化的有限元算法（1965年文“基于变分原理的差分格式”）编写了程序，解决了当时国防和经济建设中的一些重大课题，并奠定了数学理论基础。因此可以说，有限元法是在欧、美和中国被独立发展的。 有限元及变分原理的研究领域是我国学者的研究强项。胡海昌于1954年提出的弹性力学广义变分原理为有限元法的发展提供了理论基础。冯康提出的基于变分原理的差分格式实质上就是今天的有限元法。龙驭球提出的分区和分项能量原理(1980)，分区混合有限元 (1982)，样条有限元(1984)，广义协调元(1987)和四边形面积坐标理论(1997)等，

12、使有限元方法的分析能力和应用领域得到很大提升。18在学术界影响广泛的国内著作钱伟长，变分法与有限元. 北京: 科学出版社, 1980胡海昌，弹性力学的变分原理及其应用. 北京: 科学出版社, 1981朱伯芳，有限单元法原理与应用. 北京: 中国水利水电出版社, 第1版1979, 第2版1998）是兼备科学性和实用性的巨著。龙驭球，有限元法概论. 北京: 高等教育出版社, 第1版, 1978, 第2版, 1991,龙驭球，新型有限元引论. 北京: 清华大学出版社, 1992等19第三个黄金时代：有限单元法的广泛应用。自1970年代开始,有限元法被迅速应用到各领域。钢结构接头的应力分析汽车碰撞分析

13、20三、有限单元法的现状与发展趋势1 变分原理与数值方法 针对有限元发展需要而提出的变分原理的新形式，例如分区势能、余能、混合能量变分原理，分区变分原理的退化形式及其应用，含参数变分原理及其应用，压电复合材料结构变分原理，基于应变梯度理论的细观力学变分原理。 2 新型单元构造方法 对单元构造的现有模式作进一步开拓，如杂交元、混合元、拟协调元、应变元、样条元、无限元、 高精度单元（带转角元）、大单元、超（巨型）单元 ,子结构、土壤结构流体的相互作用等。发展新的构造模式，如基于广义协调理论的广义协调元、基于分区混合变分原理的分区混合元，理性有限元，基于四边形面积坐标的四边形元，基于解析试函数的有限

14、元等。213疑难现象及破解对策 有限元学科发展中，还遗留一些疑难现象和问题，有的长期未得到破解。这些尚待破解的疑难问题自然就成为关注的焦点。例如多种闭锁现象（剪切闭锁、薄膜闭锁、不可压缩闭锁）； 网格畸变敏感现象； 有的非协调元不收敛现象； 虚假零能模式现象； 解的晃动现象； 精度损失现象（位移元的应力，层合板的层间应力）； 应力奇点现象； 数值计算病态现象。224复杂深层问题 材料非线性和几何非线性有限元分析； 壳体结构屈曲稳定性分析； 塑性成型有限元分析； 撞击破坏过程数值模拟； 基于应变梯度理论的有限元法。 解的精度的研究：数值方法的误差估计、收敛性、可靠性、自适应性和优化； 自适应有限

15、元方法 。23有限元的数学理论原理表明，若单元构造适当，当网格无限加密时其解应收敛到精确解，但对于一个特定网格（含单元）在缺乏精确解的情况下很难估计其精度，此问题近十来年所进行的研究已取得重要进展。其方法思路是:在求得给定网格下的有限元位移解和应力解后，采用应力恢复法得到结点应力的改进值，然后利用形函数求改进估计，或称为最佳猜测应力。当按此求得的误差大于允许值时，可根据误差预测出结构各区域中单元的合理尺寸（网格尺寸）。据此，重新划分网格（由计算机自动完成），可反复多次近似于迭代过程。245 耦合交叉问题 耦合问题有流固耦合、气液固耦合、土结构流体耦合、力电耦合等。学科交叉问题有生物力学、微电子

16、科学、材料科学中的数值模拟与优化设计等。6与其他方法的联合沟通例如：有限元边界元；有限元有限差分；有限元法无网格法；数值法解析法。7. 向新领域的扩展已由弹性力学平面问题扩展到空间问题和板、壳问题等整个固体力学，能对原子能反应堆、堤坝、飞机、船体、齿轮叶片等复杂结构进行应力分析。 由静力平衡问题扩展到稳定与动力问题，由弹性力学扩展到弹塑性、粘弹性、断裂力学等，由结构分析扩展到结构优化。258 软件开发与CAD/CAE技术 有限元软件与有限元理论几乎是同时诞生的。只有得到工程应用，理论才会具有生命力，这就是软件的作用往往大于论文的理由。计算力学要不断吸收计算机科学技术的成果，与CAD/CAE技术

17、共同发展。（1） 通用程序的进一步完善 增加(强)前、后处理功能，重新包装(用户界面,多媒体)，扩充单元库、动力及非线性等。（2） 大型有限元程序微机化、网格化。（3） 由专业研究转向普及应用（科学成果转化成生产力）（4） 向高层次发展26结构分析通用程序简介 自1980年代开始，世界各国，特别是发达国家，都花费巨大的人力和物力开发大型、通用的结构分析程序。 27ANSYS是由美国ANSYS公司开发的大型通用有限元分析软件，ANSYS公司自1970年成立以来，不断吸取世界最先进的计算方法和计算机技术，引导世界有限元分析软件的发展，以其先进性、可靠性、开放性等特点，被全球工业界广泛认可，拥有全球

18、最大的用户群。1995年，在分析设计类软件中第一个通过ISO9001国际质量体系认证。 ANSYS采用三维实体描述法建立几何模型，几十种图素库可以模拟任意复杂的几何形状，强大的布尔运算实现模型的精雕细刻；提供多种网格划分方法，可以实现网格密度及形态的精确控制。具体划分方法有拉伸网格划分，智能自由网格划分，映射网格划分，自适应网格划分等。 ANSYS28SAPSAP是Structural Analysis Program 的英文缩写，SAP程序由美国加里福尼亚大学伯克利分校的威尔逊（Wilson）、巴瑟(Bath)和彼特森（Pertson)等人在1970年代初开始研制完成的，经过二十多年的不断发

19、展、完善，成为一个在国际上普遍受欢迎的通用结构分析软件。（80年代由北大几位老师引入我国，SAP）。SAP200029ADINA ADINA是由国际上著名的美国麻省理工学院K.J. Bathe教授领导的，ADINA R & D公司研究开发的商用工程软件。全世界有很多家企业、市政单位在使用ADINA。ADINA八十年代初进入中国以来，在国内各个领域得到了大量应用。 广泛的适用领域，如所有机械工业领域，建筑工程，水利电力，航空、航天，电子，生物医学等全集成环境下建模、解算、广泛的结果可视化后处理广泛的工程问题求解类型：线性、非线性，静力、动力，传热，计算流体动力学，流-固耦合等大型工程问题的高效求

20、解，以及多CPU并行处理求解功能丰富的单元库、材料模式库 Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis30MARCMARC Analysis Research Corporation（简称MARC）始创于1967年，总部设在美国加州的Palo Alto，是全球第一家非线性有限元软件公司。创始人是美国著名布朗大学应用力学系教授，有限元分析的先驱Pedro Marcel。MARC 公司在创立之初便独具慧眼，瞄准非线性分析这一未来分析发展的必然，致力于非线性有限元技术的研究、非线性有限元软件的开发、销售和售后服务。对于学术研究机构，MARC公司的一

21、贯宗旨是提供高水准的CAE分析软件及其超强灵活的二次开发环境，支持大学和研究机构完成前沿课题研究。对于广阔的工业领域，MARC软件提供先进的虚拟产品加工过程和运行过程的仿真功能，帮助市场决策者和工程设计人员进行产品优化和设计，解决从简单到复杂的工程应用问题。经过三十余年的不懈努力，MARC 软件得到学术界和工业界的大力推崇和广泛应用，建立了它在全球非线性有限元软件行业的领导者地位。 31NASTRAN在美国宇航局的资助下，于1969年开始使用的、花费数百万美圆完成的 NASTRAN 结构分析程序，因为和NASA（National Aeronautics and Space administra

22、tion，国家航空和宇宙航行局）的特殊关系，NASTRAN (又名MSC NASTRAN)在航空航天领域有着崇高的地位。MSC.NASTRAN 是世界上功能最全面、应用最 广泛的大型通用结构有限元分析软件之一，同时也是工业标准的FEA原代码程序及国际合作和国际招标中工程分析和校验的首选工具,，可以解决各类结构的强度、刚度、 屈曲、模态、动力学、热力学、非线性、声学、流体-结构耦合、气动弹性、超单元、惯性释放及结构优化等问题。通过MSC.NASTRAN的分析可确保各个零部件及整个系统在合理的环境下正常工作。此外，程序还提供了开放式用户开发环境和DMAP语言，及多种CAD接口，以满足用户的特殊需要

23、 32ABAQUSABAQUS是国际上最先进的大型通用有限元分析软件之一，具有惊人的广泛的模拟性能。它拥有大量不同种类的单元模型、材料模型、分析过程等。无论是分析 简单的线弹性问题，还是包括几种不同材料、承受复杂的机械和热载荷过程、变化接触条件的非线性组合问题，应用该软件计算分析都能得到满意的结果。自1970年代开始，国内多家单位也开发出了若干很好的通用结构分析软件，这些单位有：中科院、大连理工、上海工业建筑设计院、建研院以及湖南大学等 33LS-DYNA1976年，由美国Lawrence Livemore实验室开发1988年成立Livemore Software Technology Cor

24、poration (LSTC)1996年与ANSYS公司合作，用ANSYS作为DYNA的前后处理LS-DYNA的主要应用领域 汽车碰撞，武器研究，铸造成型，跌落分析， 振动和动力仿真，爆炸34OPENSEES （UCB，开放源代码）OpenSees的全称是Open System for Earthquake Engineering Simulation （地震工程模拟的开放体系）。它是由美国国家自然科学基金（NSF）资助、西部大学联盟“太平洋地震工程研究中心”（Pacific Earthquake Engineering Research Center，简称PEER）主导、加州大学伯克利分校为

25、主研发而成的、用于结构和岩土方面地震反应模拟的一个较为全面且不断发展的开放的程序软件体系。 35四、有限单元法的优点1. 物理概念清晰 有限单元法一开始就从力学角度进行推导（平衡、几何、物理方程）研究，使初学者易于入门。可以从不同的水平上得出相同的有限元法成果 例如，梁单元可以从通俗易懂的结构力学方法出发，阐述其基本原理和公式的推导，也可利用变分原理为其建立起严格的数学解释。 为什么有限元得到比有限差分法更为广泛得多的应用？36平面杆系单元刚度矩阵，可从转角位移方程出发获得单刚的每列元素 Kij 在第j个自由度上发生单位位移，在第i个自由度上需要施加的力372、建立于严格理论基础上的可靠性在数

26、学上已证明是其可靠性。只要原问题的数学模型是正确的，同时用来求解有限元方程的算法是稳定、可靠的，则随着单元数目的增加或者单元自由度数目的增加及插值函数阶次的提高，有限元解的精度提高。3、有极强的灵活性与适用性适应一切连续介质和场问题4、适合计算机实现的高效性采用矩阵表达式、适应计算机编程，随着计算机软硬件技术的高速发展，以及新的数值计算方法的不断出现，大型复杂问题的有限元分析已成为工程技术领域的常规工作。 38本课程的目的本课程的目的是通过学习有限元的基本原理和方法，学会编制计算机程序来解决结构工程中的力学分析问题。因此，本课程实际上包括两方面：1）有限元原理2）计算机程序设计。 39五、本课

27、程的要求 1. 完成一定数量的习题，以巩固对有限元基本方法的理解 2. 完成一个包含以下所列部分的完整的有限元程序( Project) 须提供如下内容的文字材料（1500字以上）： 程序编制说明； 方法的基本理论和基本公式； 程序功能说明； 程序所用主要标识符说明及主要流程框图； 40 13 个考题：考题来源、输出结果、与他人成果的对比结果（误差百分比）； 对程序的评价和结论（包括正确性、适用范围、优缺点及其他心得等）。 须提供源程序、可执行程序和算例的电子文档或文字材料。选题可根据各自的论文选题等决定。 3. 笔试。41六、课程主要内容 有限元法所涉及的领域极为广泛，土木、机械、电机、化工等

28、几乎无所不包，就土木工程而言亦包括上十个学科，甚至就结构工程领域也不可能一一介绍，只能就基本的和应用较广的内容加以介绍，其讲授内容和参考书如下。42第1章 概 论 1.1 有限元发展概况 1.2 有限元法及解题步骤 1.3 单元分析 1.4 整体分析 1.6 按单元定位向量形成总刚度方程第2章 弹性力学平面问题有限元法 2.1 三角形单元 2.2 三角形单元中几个问题的探讨 2.3 程序设计 2.4 矩形单元 2.5 六结点三角形单元 2.6 四结点四边形单元 2.7 八结点曲线四边形等参元 43第3章 空间问题有限元 3.1 四节点四面体常应变单元 3.2 八节点六面体单元 3.3 二十节点

29、六面体等参数单元 3.4 空间轴对称问题有限元 第4章 弹性薄板有限元法 4.1 弹性薄板弯曲问题的基本理论 4.2 弹性薄板弯曲问题有限元分析方法; 4.3 薄板弯曲问题程序设计 44第5章 稳定问题有限元 第6章 动力有限元法 6.1 结构振动微分方程 6.2 单元质量矩阵和单元阻尼矩阵 6.3 结构的自由振动和特征值问题 6.4 地震反应分析的计算机方法 6.5 线性地震反应时程分析法自学：第7章 非线性分析有限元法第8章 钢筋砼结构非线性分析有限元法第9章 高层建筑结构分析的有限元法 45主要参考书 1有限元法及其应用，江见鲸，何放龙，何益斌等，机械社2006版（土木工程研究生系列教材

30、）2有限元法概论 龙驭球, 高教社1978第一版，1991第二版3结构矩阵分析原理 赵超燮, 人教社1982版 4有限单元法原理与应用 朱伯芳, 水电社1979版, 71.211/ZBF5有限元法基本原理与数值方法王勖成,邵敏,清华大学社1988版 6The Finite Element Method Zeinkiewicy O C，Taylor R L,O xford: Butterworth-Heinemann, 2000 467The Finite Element Method (third edition) Zeinkiewicy O C. 52.54/ZOC(3)( 中译本: 有限元

31、法 科学社1985版, 52.4/JKW) 8变分法及有限元上册 钱伟长著，科学出版社1980版9Concepts and Applications of Finite Element AnalisisCook R D，10弹性 塑性 有限元 欧阳鬯、马文华, 湖南科技社1983版11结构分析的有限条法 Y.K.CHEUNG, 王贻荪等译, 交通社1982版12工程结构抗震动力学 李国豪, 上海科技社1980版, 86.213/LGH13有限元法新论原理、程序、进展龙志飞等，中国水利水电社，20014714新型有限元论龙驭球，龙志飞，岑松，清华大学社2004版15有限元法与板壳分析袁驷，崔京浩

32、主编，清华大学社2005版16钢筋混凝土有限元与板壳极限分析 沈聚敏等, 清华大学社1993版17固体力学发展趋势 黄克智等, 北京理工大学社1995版18工程结构计算机仿真分析 江见鲸,贺小岗 清华大学社1997版19钢筋混凝土房屋结构计算机辅助设计尚守平,何放龙,刘光栋，建工社1999版20广义协调元理论与四边形面积坐标法，龙志飞等，中国矿业大学社，2000版 48第1章 杆系结构有限元 1.1 有限单元法及其发展概况1.2 有限元方法及解题步骤1.3 单元分析 1.4 整体分析1.5 按单元定位向量形成总刚度方程 1.6 约束处理及求解49一、有限元的力学分析方法 1.方法特点从方法论看

33、，有限元法是分析综合法的一种应用。先将结构分解为单元，再将单元合成结构，在一分一合中求得结构问题的解答。结构单元分解合成化整为零难化易 分解积零为整复原型 合成50从力学渊源看，有限元法是由刚架计算的矩阵位移法演变而来的。由刚架分析移植到弹性力学，矩阵位移法就变成了有限元法。矩阵位移法与有限元法共同的特点就是分解、合成法 。刚架分析的矩阵位移法弹性力学的有限元法移植 从数学角度看，有限元法是连续问题的一种离散化近似解法。把原来属于无限自由度的问题近似地按有限自由度的问题来处理。把原来的微分方程问题转化为代数方程问题。 连续问题 无限自由度问题 微分方程问题 离散问题 有限自由度问题 代数方程问题离散化51三角形面积圆面积523 有限元推导方法从采用的力学工具分:直接法和变分法 (1)直接法：不拘泥于严格的数学形式，而侧重于易懂的物理概念。典型代表： 刚度法 53(2)变分法：是把