第三章有限元法基础通常将有限元法分为两大类变分法和加权余量法

1、 第三章有限元法基础通常将有限元法分为两大类：变分法和加权余量法。两种方法的出发点不同, 但最后都归结为：离散化：用若干个子区域（即单元）代替整个连续区域， 算子解析方程，即偏微分方程转化为代数方程组：区域的物理性质可以用节点上 有限个自由度来描述，再应用离散系统分析方法将其汇集在一起。 3-1算子方程及变分原理3.1.1算子的概念（1）静电场中，泊松方程、；- - 可以写为L =二，其中L -八称为算子1（2） 稳态磁场中，双旋度方程丄i A = J = LA二J11其中算子是L八A（3） 时变场中，波动方程：、 - k2H二八 J = LH二八 J1 其中算子L _ 八 -k2 ,-二3.

2、1.2泛函1、泛函的概念泛函是函数空间H中，函数到数的映像，女口y x有一个I值与之对应,lx = Iy x 1 也可以说泛函是函数的函数，函数空间中的某一函数 变量I就是D空间的函数y x的泛函。 例如求y x所表示的曲线长度及所围面积。曲线长度I+ dx为ya丿曲线所围面积 Iy x I X2 y x dx*x1不同的y x ,有不同的I与之对应，不同的图3-1求曲线长度及所围面积i y x构成了函数空间耳2、泛函连续若对于y x的微小改变，有泛函I ly x 1的微小改变与之对应，就称泛函是连 续的。3、线性泛函若泛函满足 I by x 1二cly x丨c 为常数或I 虬 X 丫2 X

3、I - I M X 丨 I 仪2 x 1则称其为线性泛函。4、函数的变分、号泛函Iy x 的宗量y x的变分；y是y x的微小增量y 二 y x - yi x5、泛函的变分I对于宗量y x的变分y，泛函的增量为I = Iy x、y-Iy x 1 =、I 、2I、31二 Lyx 厂 y 丨oyx ,、y 1式中，Lyx,y是对y的线性泛函，是I的主要部分，称为一阶（或一次）变 分I = Ly x ,、y Io Ly x , y】是误差项。y与dy的区别：当自变量x的增量3 = X - Xi充分小时，可用dx来表示，dx称为x的微分 相应地，函数y的增量=y = y x =x - y x 二 A

4、x Lx o上x当h充分小时，可用dy来表示，dy称为y的微分，dy是x的变化引起的微分,是函数增量：y的线性主要部分A x :x，即可记为dy 二 A x dx 二 y x dx在泛函中，当宗量y x的增量足够小，即有变分：.y时，泛函的增量二I = Iy x 、yI Ly x 丨-、I 、2| 丄心3| 二 Ly x 厂 y L：； oy x ,、y 1其中，L Iy x，:吗1对;y而言为线性，称为一阶变分j.I。6泛函的极值设y二y* x时泛函取得极值，那么，泛函在极值函数y二y* x上的变分等于0, 即卩I =0当泛函是多元函数的泛函I ly X1,X2，Xn 1，泛函在y Xi,X

5、2，Xn上有极值 时，变分I =0。因此，泛函取得极值的必要条件是使变分I =0。3.1.3算子(微分、积分、矩阵方程)方程的变分原理各种类型电磁场的微分方程都可对应于 D空间中的算子方程Lu = f它可以转化为与之等价的变分问题，即泛函求极值问题。定理：若L为正算子，而Lu = f在D上有解，则此解必然使泛函I(u )=2(Lu,u)(u,f)取极小值。反之，在 D上使泛函I取得极小值的函数，必是方程Lu = f的解。（证明略，参见颜威利电气工程电磁场数值分析P24-25.也就是说，当L为正算子时，求解算子方程Lu = f的问题与求泛函的极小值 问题等价，即与泛函的变分问题等价。3.1.4算

6、子方程的泛函公式 1、静态场11 u =2 Lu,u - u,f,；- - f对于静电场和恒定磁场，泛函I有明确的物理意义，它代表场域中的总位能, 即当总位能最小时，场是稳定的（汤姆逊定理），因此，对应于无界空间中的算 子方程的泛函形式应该为（1）泊松方程的变分公式泊松方程 为了得到正算子L，改写上式对应的算子方程式中，L-八 入，若材料为均匀,；为常数。边界条件:二 q1相应的泛函为IL. f有内积的定义（在单元中可以认为 ；是常数）根据格林定理2 :尹门d一 .；d】泛函可以写为11叶2 /但2I次丿 创）I也丿-9_q1 ：22-qd】21 砂血匚fPdO J訓一drG2 C n-肿 一

7、 f d一丄d：2 F n由于算子方程L f与变分；.I二0等价，最后一项是在泛函的H空间的边界r上积分，因此，D空间（即u,x空间）边界条件不能直接代入。应该将泛函的被积函数写成D空间的积分形式，再代入边界条件，即i .；：:因此泛函可以写为丿丿i氐丿也可以写成能量泛函22A jd泛函的一般表达式为,iI AA A d - A Jd 1 -根据矢量恒等式:二：A nd因此a b c =b c aA ： ： : A n - I A n A同上理由，边界条件不能直接代入泛函，将被积函数写成积分形式后再代入边界条件，则有第三项1 1A 八 A n drA n A dr=卜g A5 %(f(XA q

8、2A dr1 1，A q A2=H-3泛函可以写为I A = g 八 A A 一 .A Jd：； - ! f A2 一 qA d r也可写成能量泛函形式11 A 二 Q- vBdQ、A JdQ ：爲入AqAdr2、简谐时变场（现代计算电磁学基础王长清）简谐时变场分析中，场量可以用复数形式表示。泛函没有明确的物理意义， 不是能量泛函。由于波动方程的算子都是自伴的，因此存在泛函。（1）标量波动方程设r为位函数或场分量，算子方程2L r 八 p 八：r 亠 k p r r 二 s r算子L.p r i k2p r，如果媒质是无耗的（p和k2为实数），且r满足第一、第二类齐次边界条件，那么 L是自伴的

9、，等价的变分问题的泛函为I=fs - s,=dv+（k2p闿 dv_ 3s*+*sdvI（申）=伙2屮_卩可旳2dv_2 0s* dv（上述推导利用了格林定理及第二类齐次边界条件。）（2）矢量波动方程算子方程:刁：E -.k2E - - jJ若媒质是无耗的，在齐次边界条件下，与算子方程等价的变分问题的泛函为I E = LE, E - E，-j J 一 - j J, E二 E *？ v E-k2 E dv-j E J * - E * J dvvv利用格林定理和矢量恒等式（細 xa Rxb_a 況dv=%可汇 b bV 乂 a nds利用齐次边界条件I EE E *-、k2 E E * dv- p

10、 E J * - E * J dvVLV若媒质是有耗的（略）。如果边界条件是非齐次的，所对应的算子是非自伴 的，可采用修正变分原理。总结上述可以看到，只有算子是自伴算子（或是修正后的自伴算子），才有泛函的极值问题， 因此，不是所有微分方程都有其对应的泛函极值问题；泊松方程、拉普拉斯方程、波动方程一可用基于变分原理的FEM扩散方程、非简谐波动方程一可用基于伽辽金法的FEM为什么要将微分方程定解问题转化为变分问题微分方程定解问题要求解具有二阶连续导数，而变分方程只要解的一阶导数 平方积分即可，既引入变分是为了降低对解的光滑性要求， 使得一些原来不具备 连续二阶导数的解的微分方程在变分意义上有可能存

11、在条件稍弱的解， 既扩大了 求解范围。解微分方程定解问题时，第二、三类边界条件是作为定解条件必须列出， 而在等价变分问题时，齐次的第二、三类边界条件是自然满足极值解的， 无需作 为定解条件列出，因此称为自然边界条件。第一类边界条件必须作为定解条件列 出，因此称为强加边界条件。3.1.5基于变分原理（里茨（Rayleign-Ritz ）方法）的有限元离散方法以静电场为例，暂不考虑边界条件，泛函为(3-1)(3-2)I （半L右列可旳2 _ pd dv构造一个函数空间M， x,y,z为近似解，设为nx,y,z Ni x, y,z iT式中， i =1,2n是待定位函数值，即电位在节点上的值，Ni

12、i =1,2n是n个线性无关的已知坐标函数，因为它与节点的坐标有关，故称为形状函数， 或坐标函数，也称为基函数。将式（3-2）代入（3-1）, 1（ ）成为卩/ 2严n）的多元函数也称为里茨函数，多元函数取极值的条件是：I ；这样，可以得到n个未知数的n阶方程组，称为Ritz方程组，解出 代入式（3-2），便可得到变分问题的近似解。以泊松方程的边值问题为例-.0Lcn其等价变分问题为2dVD域内DfMminn设近似解iNj，代入泛函后得到I二:“笃,n ,令对i的偏导数为i 4零，即求极值.:Ii = 1 , 2 , 3 ,n得到+ =V 2 i 2 dV-vfdV二八 、dV- f dVV厂

13、jV 厂jdV- f广n迟毋jNj dV lj二丿I n=(瓦申畀叫 ENjdV-l fNidV lj m 丿可写为即式中7 j、j虫/ A Nj I NjdV- v fNidV =0：In1K厂 i j，j U-Fi =0na IK. jij二 Fj Tni 二 1,2,3,ni =1 , 2 ,3, n& = 刃NjdV ,Fi = . fNidV对换i,j的位置，Kj不变，表示刚度矩阵的对称性KU =FLUjNjdV矩阵形式 解之，可得到离散解 3-2加权余量法3.2.1加权余量法设方程Lu = f的近似解为，那么方程的余量（即任一点的余量）为R u = L - f边界余量Ru = B

14、u式中，第一类R-! =Uo 或八一q第三类点nu最佳的值应能使余量在D域内所有的点上有最小值，如果D域内有m个节点, 是这m个节点坐标的函数（若为子域：e是剖分单元节点坐标的函数），其中 有n个节点不受约束（即节点不在第一类边界上），那么，要选择n个不同的权 函数Wi，强使每一个权函数与余量的乘积在整个区域积分后为零仃二 d WiRdV 亠！-WjR d】=0i =1,2, nn个权函数线性无关，是完备函数系中线性独立函数，这是某种平均意义下的误 差为零。这样，可以得到n个方程，从中解出。这就是加权余量法。n设近似解为 Ni x,y,z Uii =1式中，Ui为待求系数（函数值），Ni是一组

15、线性无关的直交基序列，那么（不考 虑边界）DWiUj是节点上的值，与积分无关，提出积分号外n u j Dwi L Nj dV 二 d wi fdVi =1,2, n即或矩阵形式系数矩阵n Uj Wj 丄 Nj = Wi，f jn、UjKj 二 Fji = 1 ,2 nj4KU =F他丄小行(wL(N2F(wMNnjlW2,L(Ni(W2 ,L(N2) W2 丄(NnUliU2UnL(Wn 丄(NjWn 丄(N (Wn,L(Nn.注：（1）加权余量法可以用于微分方程，也可以用于积分方程，前者对整个定义 域剖分，后者只要对边界及源区剖分。（2）选取不同的权函数，构成不同的计算方法，在微分方程中经常

16、采用若权函数取为形状函数，即 Wj =Nj，称为伽辽金法；若权函数取为Dirac函数，即Wj，称为点匹配法；若权函数取为1,即Wj =1，称为子域配置法。（3）加权余量法不需要找到问题的泛函便可得到离散的代数方程组，因此 应用范围更广，使用更方便。（4）用加权余量法时，离散的代数方程组的系数阵不一定是对称、稀疏。它取决于是用于微分方程，还是积分方程（如边界积分方程）；权函数的选取。322伽辽金有限元法当权函数Wj二M时，可以得到对称、稀疏系数矩阵，因此，广泛用于有限元法中，称为伽辽金有限元法。设近似解为 八 N ju jj由于基函数Ni是完备函数系，因此，方程的余量 Ru二L_f也是连续的，只

17、有当RU与完备函数系Wi中每一个元素正交时，内积才为零DNiRdV =N，R=0i =1,2; ,n因此，伽辽金有限元法可以解释为使方程余量正交于完备函数系的每一个函数。基函数特性，”1i = jNi（Pj）c.i,j = 1,2；,n0 F J表明节点i处的余量R u =0 （因为在节点i处的Nj=1，若R u = 0，积分后也不i =1,2, ；n为零），其它地方余量很小。这样保证了误差限制在单元之内。 重写伽辽金公式:pNiRCT dV 二。比 L - f dV =0移项后d NiL dV 二。汕 f d Vi =1 ； 2 ； ；nNjuj代入上式，得到n uj N i L N i dVDJ吕二 N i fdVDi =1,2,n以泊松方程为例:=0：2n用伽辽金有限元法，设 = 7N j 1，则根据D NiL dV = qM fdV i = 1,2, ,nM (-可 B dV = J Nj f d V i = 1 , 2，,nt)bD由格林定理（降阶连续性处理