第二部分集合论简介

1、集合论简介1集合论简介集合论是用公理化或朴素直观的方法研究集合性质的一个数学分支。整个纯粹数学的其它分支几乎都可建立在满足各种不同条件的集合之上，都可以在集合论的范围内形式地加以定义；集合论的许多基本思想、方法、定理、符号已广泛地渗透到数学的各个领域；许多涉及数学基础的根本性问题都可以归结为集合论的问题，因此法国布尔巴基学派把集合论称为“数学的基础结构”。2集合论简介19世纪，集合论的创始人康托尔提出了基数、序数的概念以及连续统假设等，为集合论奠定了基础。随后，集合悖论的相继发现，特别是罗素悖论的产生，使人们对数学理论的正确产生了怀疑，形成了数学最严重的一次危机。Zermelo在1908年把集

2、合加以公理化，后来形成了今天称之为ZFC的公理体系(Zermelo, Fraenkel, Cohen,九个公理) ，排除了这些悖论。可是根据哥德尔的不完备定理，集合公理系的相容性问题在本系统内是无法解决的，如何解决这一问题，至今仍是数学研究的最根本、最核心的问题之一。康托尔、罗素、 策梅洛、哥德尔3集合论简介康托尔，G.F.L.Ph（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp）1845年3月3日生于俄罗斯圣彼得堡；1918年1月6日卒于德国萨克森的哈雷。他的成就不是一直在解决问题，他对数学最重要的贡献是他询问问题的特殊方法，从而开创了大量新的研究领域。这使他成为

3、数学史上最富于想象力，也是最有争议的人物之一。4集合论简介1874年，29岁的康托尔就在克雷儿数学杂志上发表了关于超穷集合论的第一篇革命性文章，引入了震撼知识界的无穷的概念。这篇文章的题目叫：“关于一切代数实数的一个性质”。1879年至1884年间，康托尔相继发表了六篇系列文章，并汇集成关于无穷线性点集，其中前四篇直接建立了集合论的一些重要的数学结果。随后他又发表了第五和第六两篇文章，简洁而系统地阐述了超穷集合论。他在第三篇文章里，还专门讨论了由集合论产生的数学和哲学问题。这篇文章非常重要，后来曾以集合通论基础，无穷理论的数学和哲学的探讨简称集合论基础为题作专著单独出版。康托尔最著名的著作是1

4、8951897年出版的超无穷数理论基础。5集合论简介康托尔利用集的概念，通过严密的逻辑推理获得了一些用常规数学方法所不能获得的重大成果。例如他令人信服地证明了超越数不仅存在，而且比代数数多得多。这使集合论风靡了整个数学界，也使集合论的语言流行于数学的各个分支，大家逐渐习惯于用集来为其他数学概念下定义。但集合论却一再暴露严重的逻辑缺陷。首先是定义问题。“集”和“属于”可以用来说明其它数学概念，但按照传统定义方式，它们本身当然不能用自已定义。康托尔是用非数学语言说明集合这个概念的，他的定义经不起精密推敲，他的含糊的定义引起不能容许的混乱。6集合论简介康托尔的定义：一些东西的全体叫做集合。 A= x

5、 | P(x) 罗素(Russell英国哲学家)悖论： A= x | x x A不是集合一天,萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发,我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。罗素悖论提出了一个更加广泛得多的问题不好解决。 什么样的 x | P(x) 可以算集合。7集合论简介有限和无穷的这个特点可以从下面的小故事反映出来，这个故事据说是希尔伯特说的。某一个市镇只有一家旅馆，这个旅馆与通常旅馆没有不同，只是房间数不是有限而是无穷多间，房间号码为1，2，3，4，我们不妨管它叫希尔伯特旅馆。这个旅馆的房间可排成一列的无穷集合(1，2

6、，3，4，)，称为可数无穷集。8集合论简介有一天开大会，所有房间都住满了。后来来了一位客人，坚持要住房间。旅馆老板于是引用“旅馆公理”说：“满了就是满了，非常对不起！”。正好这时候，聪明的旅馆老板的女儿来了，她看见客人和她爸爸都很着急，就说：“这好办，请每位顾客都搬一下，从这间房搬到下一间”。于是1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到3号房间依此类推。最后1号房间空出来，请这位迟到的客人住下了。9集合论简介第二天，希尔伯特旅馆又来了一个庞大的代表团要求住旅馆，他们声称有可数无穷多位代表一定要住，这又把旅馆经理难住了。老板的女儿再一次来解围，她说：“您让1号房间客人搬到2号，2号房间客人

7、搬到4号，k号房间客人搬到2k号，这样，1号，3号，5号，房间就都空出来了，代表团的代表都能住下了。”过一天，这个代表团每位代表又出新花招，他们想每个人占可数无穷多间房来安排他们的亲戚朋友，这回不仅把老板难住了，连女儿也被难住了。聪明的女儿想了很久，终于也想出了办法。10集合论简介希尔伯特旅馆越来越繁荣，来多少客人都难不阅聪明的老板女儿。后来女儿进了大学数学系。有一天，康托尔教授来上课，他问：“要是区间0，1上每一点都占一个房间，是不是还能安排？”她绞尽脑汁，要想安排下，终于失败了。康托尔教授告诉她，用对角线方法证明一切想安排下的方案都是行不通的。11集合论简介由康托尔的定理，可知无穷集合除了

8、可数集台之外还有不可数集合，可以证明：不可数集合的元素数目要比可数集合元素数目多得多。为了表示元素数目的多少，我们引进“基数”也称“势”的概念，这个概念是自然数的自然推广。可以与自然数集合N一一对应的所有集合的共同性质是它们都具有相同的数目，这是最小的无穷基数记做0 （是希伯来文字母第一个，读做阿列夫)。同样，连续统(所有实数或0，1区间内的所有实数集合)的基数是C。康托尔还进一步证明，C2 0 ，问题是C是否紧跟着0的第二个无穷基数呢？这就是所谓连续统假设。12集合论简介第一次危机发生在公元前580568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，

9、该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。13集合论简介该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为l的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第

10、一次数学危机。这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。14集合论简介第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。微积分的形成给数学界带来革命性变化，在各个科学领域得到广泛应用，但微积分在理论上存在矛盾的地方。无穷小量是微积分的基础概念之一。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。15集合论简介焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的