梁的弯曲问题的强度计算PPT

1、梁的弯曲问题的强度计算内容提要 主要介绍弯曲变形的基本概念和弯曲变形的内力，以及内力图的绘制和等截面直梁平面弯曲正应力和切应力的计算。重点是内力图的绘制和梁的弯曲强度条件及其计算。1 平面弯曲的概念工程实例1.1 平面弯曲的概念 建筑结构中很多杆件承受的荷载，是一组作用线垂直于杆件轴线的力（我们称这种力为横向力），或者是通过杆件轴线平面内的外力偶。在这些外力的作用下，杆件的横截面要发生相对的转动，杆件的轴线也要变弯，这种变形称为弯曲变形。凡是以弯曲变形为主要变形的构件，通常称为梁。 梁的轴线方向称为纵向，垂直于轴线的方向称为横向。梁的横截面是指垂直于梁轴线的截面，一般都具有对称性，存在着至少一

2、个对称轴。常见的横截面形状有圆形、矩形、工字形和T形等。梁的纵平面是指通过梁轴线的平面，有无穷多个。我们在这里只讨论有纵向对称面的梁。所谓纵向对称面，是指梁的横截面的对称轴与梁的轴线这两条正交直线所构成的平面。如果梁的外力和外力偶都作用在梁的纵向对称面内，那么梁的轴线变形后所形成的曲线仍在该平面（即纵向对称面）内。这样的弯曲变形，我们称之为平面弯曲，如图8-1所示。产生平面弯曲变形的梁，称为平面弯曲梁。本章只讨论平面弯曲梁 如果梁只受集中力的作用，不受集中力偶的作用，且集中力的作用线都垂直于梁的轴线，这些外力称为横向外力。平面弯曲梁在横向外力作用下发生的弯曲变形称为横力弯曲，如图8-2(a)所

3、示。如果平面弯曲梁只受平面力偶的作用，且平面力偶都作用在梁的纵平面内，这时梁的变形称为纯弯曲，如图8-2(b)所示。 (a) (b)图8-21.2 工程实例梁是在工程结构中应用的非常广泛的一种构件。例如图8-3(a)、(b)、(c)所示的梁式桥的主梁、火车车轴、房屋建筑中的梁等。它们的主要变形就是弯曲变形。1.3 梁的计算简图 在进行梁的工程分析和受力计算时，不必把梁的复杂工程图按实际画出来，而是以能够代表梁的结构、荷载情况及作用效果的简化的图形来代替，这种简化后的图形称为梁的计算简图。 梁的计算简图也可称为梁的受力图。在计算简图上应包括梁的本身、梁的荷载、支座或支座反力。梁的本身可用其轴线来

4、表示，但要在图上标明梁的结构尺寸数据，有时也需要把梁的截面尺寸表示出来。梁上的荷载因其作用在梁的纵向对称面内，可以认为就作用在轴线上，因而可以直接画在轴线上，并标明荷载的性质和大小。一般来讲，梁的荷载有均布荷载、集中力和集中力偶，分别用q、F、Me表示，如图8-4所示。梁的支座最常见的有三种，即固定端支座、固定铰支座和活动铰支座。 图8-4 图8-5(a)、(b)就是图8-3(a)、(b)所示的的梁式桥的主梁、火车车轴的计算简图。图8-5(a)表示的公路桥梁，用轴线代表梁体。支座为典型的固定铰支座和活动铰支座，梁的自重简化为均布荷载，汽车前后轮给路面的作用力简化为集中力。图8-5(b)表示的火

5、车车轴，因主要承受横向荷载，当作梁看，用轴线代表车轴。为了反映钢轨能对车轴产生横向约束和轴向约束，梁的支座用一个固定铰支座和一个活动铰支座表示。q图 8-5 1.4 静定梁的基本形式 作为工程中主要承受弯曲的构件，梁具有多种形式。如果只从梁的支座反力（即约束）的个数与梁的静力平衡方程的个数之间的关系上来划分梁，梁可以分为静定梁和超静定梁。 1静定与超静定的基本概念 一般来讲，梁上的荷载和支座反力构成的是一个平面一般力系，至多有三个静力平衡方程（如果梁上的荷载和支座反力构成了平面平行力系或平面汇交力系，则只有两个静力平衡方程）。如果梁的支座反力的数目等于梁的静力平衡方程的数目，就可以由静力平衡方

6、程来完全确定支座反力，这样的梁称为静定梁，如图8-6(a)所示。反之，如果梁的支座反力的数目多于梁的静力平衡方程的数目，就不能用静力平衡方程来完全确定支座反力，这样的梁称为超静定梁，如图8-6(b)所示。本章所讨论的主要是静定的平面弯曲梁。 (a) (b) 图 8-62静定梁的三种基本形式工程上常用的梁按支座对其约束情况可分为三种结构形式：简支梁、外伸梁和悬臂梁，其计算简图如图8-7(a)、(b)、(c)所示。 (a) (b) (c) 图 8-72 梁的弯曲内力2.1 剪力与弯矩1.剪力与弯矩的概念 梁在横向荷载作用下，将同时产生变形和内力。梁横截面处的内力是指横截面以左、以右梁段的相互作用，

7、内力专指横截面上分布内力的合力。当作用在梁上的外力（荷载和支座反力）已知时，可用截面法求梁某截面处的内力。以图8-8(a)所示简支梁为例，梁上作用有集中力荷载，现利用截面法求任意截面mm的内力。2 梁的弯曲内力2.1 剪力与弯矩 第一步，取梁整体为截离体，求出两端支座的约束反力和。 第二步，用mm截断杆件，取左半部分或右半部分为截离 体，并在截离体上以正的方向标出截面的内力，如图8-8(b)、(c)所示。 第三步，在截离体上建立平衡方程，根据静力平衡条件求出截面的内力。 称为剪力，是作用在截离体相应截面上分布内力向截面形心简化的主矢。 得 得 力偶矩称为弯矩，是作用在截离体相应截面上分布内力向

8、截面形心简化的主矩。取右半部分为截离体，可求得：取左半部分为截离体，可求得： 从上述的计算中可以看出，无论是取截面的左半部分还是右半部分为截离体，截面内力的计算结果都是一致的。但图8-8中取左、右截离体为研究对象求得的剪力和弯矩是大小相等、方向相反的作用力与反作用力。为使同一截面的剪力和弯矩不仅大小相等，而且正负号一致。根据变形规定剪力和弯矩的正负号，如图8-9所示。图 8-9 剪力使截离体产生顺时针方向旋转时为正，反之为负；弯矩使截离体产生上侧纤维受压、下侧纤维受拉，即截离体的轴线产生上凹下凸的变形时为正，反之为负。【例8-1】求图8-10(a)所示简支梁C、D截面的剪力和弯矩。 (b) (

9、c) 图 8-10解:（1）求支座反力 取梁整体为截离体，建立静力平衡方程。（2）求C截面的剪力和弯矩假想沿C截面把梁截成两段，取受力较简单的左段为研究对象，如图8-10(b)所示。 计算结果表明，截面的剪力和弯矩为正值，与图中所画的方向相同。 （3）求D截面的剪力和弯矩 假想沿D截面把梁截成两段，取受力较简单的右段为研究对象，如图8-10(c)所示。 计算结果表明，截面的弯矩为正值，与图中所画的方向相同，截面的剪力为负值，与图中所画的方向相反。【例8-2】求图8-11(a)所示简支梁1-1、2-2截面的剪力和弯矩。解:（1）求支座反力 取梁整体为截离体，建立静力平衡方程。 计算结果表明，截面

10、的剪力和弯矩为正值，与图中所画的方向相同。（3）求2-2截面的剪力和弯矩 假想沿2-2截面把梁截成两段，取受力较简单的右段为研究对象，如图8-11(c)所示。 计算结果表明，截面的弯矩为正值，与图中所画的方向相同，截面的剪力为负值，与图中所画的方向相反。 综上所述可知：1.横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。2.横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。1)不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。2)截

11、面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。2.2 剪力图和弯矩图 梁在外力作用下，各截面上的剪力和弯矩沿轴线方向是变化的。如果用横坐标x (其方向可以向左也可以向右)表示横截面沿梁轴线的位置，则剪力和弯矩都可以表示为坐标x的函数，即这两个方程分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。与绘制轴力图或扭矩图一样，可用图线表示梁的各横截面上剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况，称为剪力图和弯矩图。剪力图的绘制与前面章节中所讲的轴力图和扭矩图的绘制方法基本相同，正剪力画在x轴的上方，负剪力画在x轴的下方，并标明正负号。弯矩图绘制的

12、规定和弯矩正负号的规定，弯矩画在梁的受拉侧，即正弯矩画在x轴的下方，负弯矩却画在了x轴的上方，而不须标明正负号。下面举例说明建立剪力方程、弯矩方程以及绘制剪力图、弯矩图的方法。【例8-3】 作图8-12(a)所示简支梁的剪力图和弯矩图。解:（1）求支座反力（3）画剪力图和弯矩图 由剪力方程和弯矩方程中可以看出，C点是分段函数的分界点，也是剪力图和弯矩图的分界点。剪力图是两条水平线，在集中力F作用点C处剪力图产生突变，突变值等于集中力的大小，弯矩图是两条斜率不同的斜直线，在集中力F的作用点C处相交，形成向下凸的尖角。梁剪力图和弯矩图分别如图8-12(b)、(c)所示。 如果 ，最大剪力发生在的集

13、中力F的左侧一段梁内， ；最大弯矩发生在集中力F的作用点C处， 。 根据求出的各值，画出梁剪力图和弯矩图分别如图8-13(b)、(c)所示。 最大剪力发生在A、B两支座的内侧截面上， , 而该处的弯矩为0； 最大弯矩发生在梁的中点截面上， ， 而该处的剪力为0。【例8-5】 作图8-14(a)所示悬臂梁的剪力图和弯矩图。 解：此题是悬臂梁承受端部集中荷载的问题。悬臂梁问题的求解有一定的特殊性，这是因为悬臂梁有自由端存在，在进行受力分析时，可以不求支座反力，而从自由端直接计算。（1）取如图所示的B点为坐标原点，以x为坐标轴，取x的右侧截面为截离体，列出剪力方程和弯矩方程 （2）画剪力图和弯矩图从

14、内力方程可以看出，剪力图是一条水平线，弯矩图是一条斜线。梁的剪力图和弯矩图分别如图8-14(b)、(c)所示。 最大剪力和最大弯矩发生在悬臂端(a)的右侧截面上，分别为 和 。【例8-6】 作图8-15(a)所示简支梁的剪力图和弯矩图。解: （1）求支座反力 （2）列剪力方程和弯矩方程取图中的A点为坐标原点，建立x坐标轴。因为AC、CB段的内力方程不同，所以应分别列出。两段的内力方程分别为： AC段：CB段：（3）画剪力图和弯矩图 从剪力方程中可以看出，剪力图是一条与x轴平行的直线。从弯矩方程中可以看出，C点是分段函数的分界点，也是弯矩图的分界点，弯矩图是两条互相平行的斜直线，C点处弯矩出现突

15、变，突变值等于力偶矩的大小。梁剪力图和弯矩图分别如图8-15(b)、(c)所示。 如果，最大弯矩发生在集中力偶Me的作用处稍右的截面上， 。不管集中力偶Me作用在梁的任何截面上，梁的剪力都与8-15(b)一样， 。 由以上例题可总结出弯矩、剪力和荷载集度之间的关系，从而得出剪力图和弯矩图的分布规律：（1）梁上无均布荷载作用的区段，即q(x)=0的区段，FS图为一条平行于梁轴线的水平直线，M图为一斜直线，当FS(x)=0时，弯矩图为水平直线；当FS(x)0时，弯矩图为向右下倾斜的直线；当FS(x)0（荷载向上）时，剪力图为向右上倾斜的直线，弯矩图为向上凸的抛物线；当q(x)t的材料，例如铸铁，如

16、果采用对称于中性轴的横截面，则由于弯曲拉应力达到材料容许拉应力t时，弯曲压应力没有达到容许压应力c，在受压一侧材料没有充分利用。因此，应采用不对称于中性轴的截面，并使中性轴偏向受拉的一侧，即使得最大拉压应力同时达到材料的允许应力值。3.采用等强度梁 按正应力设计梁的截面时，是以梁的最大弯矩为依据的。对于等截面梁，当梁危险截面危险点的应力值达到容许应力时，其余弯矩小的截面上的材料没有充分利用。为提高材料的利用率、提高梁的强度，可以设计成各截面应力值均同时达到容许应力值的“等强度梁”。其弯曲截面系数WZ，可按下式确定： 工程中为了加工方便和满足结构上的需要，常用阶梯状的变截面梁（阶梯轴）来代替理论

17、上实等强度梁。 3.3 梁的弯曲切应力及切应力强度条件 梁在横力弯曲时，梁的横截面上同时有弯矩M和剪力FS。因此，横截面上不仅有弯矩M对应的，还有剪力FS对应的切应力。本节主要研究等截面直梁切应力的计算及切应力强度条件。1.矩形截面梁的切应力（1）公式推导图8-33所示的矩形截面梁高度为h，宽度为b，沿截面的对称轴y截面上有剪力FS。因为梁的侧面没有切应力，根据切应力互等定理，在横截面上靠近两侧面边缘的切应力方向一定平行于横截面的侧边。一般矩形截面梁的宽度相对于高度是比较窄的，可以认为沿截面宽度方向切应力的大小和方向都不会有明显变化。所以对横截面上切应力分布作如下的假设：横截面上各点处的切应力

18、都平行于横截面上的剪力FS ，沿截面宽度均匀分布。 用相距dx的两个横截面mm和nn从梁中切一微段(图8-33(a)。为研究方便，设在微段上无横向外力作用，则由弯矩、剪力和荷载集度间的关系可知：横截面mm上和nn上剪力相等，均为FS。但弯矩不同，分别为M和MFSdx(图8-33(b)。由平衡方程FX=0，导出（过程从略）矩形截面梁横截面上切应力公式 （ 8-8） 式中： 横截面上的剪力； 整个截面对中性轴的惯性据； 横截面上求切应力处的水平线以下（以上）部分面积对中性轴的静矩； 矩形截面宽度。（2）切应力分布规律及最大应力2.其它形状截面的切应力（1）工字形截面梁 工字形梁的横截面由上、下翼缘

19、和中间腹板组成（图8-35）。腹板是矩形截面，所以腹板上切应力计算可按(8-8)式进行，翼板上的切应力的数值比腹板上切应力的数值小许多，一般忽略不计。其切应力分布如图8-35所示。 最大切应力仍然发生在中性轴处。在腹板与翼板交接处，由于翼板面积对中性轴的静矩仍然有一定值，所以切应力较大。式中： 半个截面对中性轴的静矩。 （2）圆形截面梁和圆环形截面梁圆形截面梁和和圆环形截面梁如图8-36所示，它们的最大切应力均发生在中性轴处，沿中性轴均匀分布，计算公式分别为图 8-36【例8-13】 如图56 a号工字钢制成的简支梁，试求梁的横截面上的最大切应力和同一横截面上腹板a点处(图(b)的切应力。梁的

20、自重不计。解（1）绘制剪力图如图8-37所示。 存在于除两个端截面A，B和集中荷载F 的作用点处C 以外的所有横截面上。 （2）计算最大弯曲切应力 由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图8-37(b)所示，根据型钢表有Ix=65586 cm4和 。前者就是前面一些公式中Iz，而后者就是我们求 公式中的 ,则最大弯曲切应力为对于一般的跨度与横截面高度的比值较大的梁，其主要应力是弯曲正应力(见例8-14)，因此只需进行梁的弯曲正应力强度条件计算。但是，对于薄壁截面梁，例如自行焊接的工字形截面梁、或者弯矩较小而剪力较大的梁、跨度与横截面高度比值较小的短粗梁和集中荷载作用在支座附近的梁等，应该进行切应力强度计算。【例8-15】 图8-39所示工字形截面外伸梁，已知材料的许用应力=160MPa,=100Pa，截面为20a号工字钢型号，试校核该梁的强度。 小 结（1）梁横向弯曲时横截面上有两个内力分量剪力和弯矩。剪力位于梁的横截面内，对梁有剪切作用。弯矩位于梁的纵向对称面内，由于它的作用而使梁发生弯曲变形。（2）弯矩和剪力正、负规定。剪力使截离体产生顺时针方向旋转时为正，反之为负；弯矩使截离体产生上侧纤维受压、下侧纤维受拉，即截离体的轴线产生上凹下凸的变形时为正，反之为负。（3）截面法是确定横截面上的剪力和弯矩的基本方法。掌握截面法的基础上列出梁的剪力方程和弯矩方程，从而绘