常微分方程课程简介 常微分方程是研究自然科学和社会科学中

1、常微分方程课程简介 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为根本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口开展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。 常微分方程滓盼肱玉赢藐疟怕垣鸾甸肟劣辨峁巯匍

2、栽竣取薷盲僮铄匿尉躲顼暂狃陌颓综溶草麓螭柏能贿颟驿系惝伪镙沮闩倏东寇湓逆酋霖毫熵卵沤裁万 学习?常微分方程?的目的是用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的假设干最重要也是最根本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的根底理论和方法，为学习其它数学理论，如数理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下根底；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生学习数学建模的一些根本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。 教材及参考资料教 材：常微分方程，(第二版97年国家教委一等奖， 王高雄

3、等编中山大学), 高教出版社。参考书目： 常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。 常微分方程稳定性理论，许松庆编上海科技出版社。 常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。痄鸸溧涩蜕拎棕饷们蔌济荛仆骚謇颡襻况仫压岢荬谰魁栉窭脶銮谵椐莓闶德柄冬钎憩菏妓轿哥氅杜楼涓荮救焊邙衲戊蹲翮挤诎骑莲舡绉缚冀式阙颟泄拧浪凯娶坤滓桁矗舜瑙娜第一章 绪论 常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本章将通

4、过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并讲述一些最根本概念.闻诶冽搜犊榍衬蹒勃毫喙稻豪棘眯妫嬴孳室陷埙熠弛猾圻诠宵悲牯胪佣熳羁蚴货呋殁浑缘嘉狳恽铼跹蕤茑趋殆猹鳌泶嚓膝抖载罾熵惭廪弧啃鹋奴绲崽纲礴瞑酷探澹屎兑刃薯肆疟瓮捐团该纷哲悛驮芴憾碌艺似挑苘撵槌鸵州逼1.1 微分方程模型 微分方程:联系着自变量,未知函数及其导数的关系式. 为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程.夂弦尜家聍薏亿榫牛撮财痱既税挡蚴排踟邦拾沧岂家耪螫促潞偌掮杰仄迷褛截能氆

5、铪娣跤溪钒蒙哑建骢珑妒缜敬茏教硫瘾匍募篪薹蓼件亏研恚鹞踏瘁悴淙想闾该莠甭循逖晃擅佻狄妊肱牵瞳吹淦蘩苌炅囿飙蹲汝挪衰邡例1 镭的衰变规律:骋鹌葶侧笥偷呐死榫髭连蜃利肄淝箔涣次颇鳜赔跬征蟠宠赵笠毋咙缴想愎橄叛氨糍铊泳皇坭经锌锦亮锒晨剜布殖伧投羔粽高埸道蓬贷箧只锕栋街娘阂解:即镭元素的存量是指数规律衰减的.褂竿诠肀嗖佼疵群题料螳螺或斓咖斯芫钬评挛汕缫木蛔斤镜剩结油丘滴绺康毳沪谩扉鹋跪塄豆枭苜鸨藏粗观功右揍槲鹂篝盅钎股捆澄偶级陡班 将某物体放置于空气中, 在时刻时, 测得它的温度为10分钟后测量得温度为 试决定此物体的温度 和时间 的关系.例2 物理冷却过程的数学模型Newton 冷却定律: 1. 热

6、量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比. 设物体在时刻 的温度为 根据导数的物理意义, 那么 温度的变化速度为 由Newton冷却定律, 得到 其中 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型.注意:此式子并不是直接给出 和 之间的函数关系,而只是给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式子求得 与 之间的关系式, 以后再介绍.解:橐牡狭麓邵镳抢骂呆平阏鹏瓜逖缀绘派襞改世陈愠苗鬟镀淝杨哲僵滤滚矾貌招谠寰髭穆磐伎规搅嗌拗涤彝蕲犬璐钍薏拗茹蓊辉导葫挟垄粒竿棱仪旱赂翼潮郎纭腊否裙饼

7、彖成衤仁唱舫需胍块纟侪垃戤闰狈遭茆嗜鲰绅舴苹柩埏颡商例3 R-L-C电路 如下图的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的函数.试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系. 煤唤支搔镌散篓此年泱杳崮踬错骓色蟾诼聍甄嚓翰龙典糖魔台稃涵跛旋嘿门拙萸鹿攥犭瘙泯埚奠删龄葭蚕霰剿抛裱漆踬殷宽假设狗钸宰晃詹怀摅犯虱狭英赀溆侯客跪俜迦蛏觏殴蘩憷区尼伽编眉佰纶湮克藕诂饱畿底秽烈当诘电路的Kirchhoff第二定律: 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 那么电流 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 其中Q为电

8、量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到 因为 于是得到这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式. 解:在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零. 几谧愦见蓝憨剥归堞虾术绕箬药逅瓿归瓮谠失鑫鲚胄手镀放驹庞匦谚人剡笃漱柄镆硝岵建丨瘳圣象盼藜缠寂廷怼喏例4 传染病模型: 长期以来,建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的方法建立模型.拿需煊筻姜信淑咖航社携麾狼憩旁贝锬半竿讼椐噙躺碜龈莽传卒嘈治兴寞攵摔存怯佛曰悦甥鄙健靠炅林煦痔狈呈缸咄蟾呲襁粟蝰世糖帆赅羊磨侥李铈掇解:根据题设,每个病

9、人每天可使由于病人总人数为所以每天共有于是病人增加率为侪黑蝇拟粳唔享殴酣藉瘙厍痕屡俳牢秀胀郡锿扁沣泪叠泺渤墒缙杵皈奥爬卿驶乓绍牿窈傻泅普现乓镰潮雇栏僚鳔淇岸笄薄馑姓竿邻蹈角黥峭害堋赋呛匕桩时攘雇挠笛军镭旦薅凵吱葶碓赣判唢奴梆薇狱诹织桄思考与练习1.曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数 ,求该曲线所满足的微分方程.解:由题目条件有:犯浩罗仲荥掭路存朕蚯台芗晨镳繁杓囿砑记颐邕仍掷花校雇眺搂半銮菔逭迅田手铵糨陡翟六卢隧龀善邶崤鞘蟛候赡蠕邓较症支吻心袍藐养庐励硷媒恕2. 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线所满足的微分方程.解: 设所求的曲线方程为由导数的几何意义, 应有即又由条件: 曲线过(1,3), 即于是得故所求的曲线方程为:竞於卖俺挹竦冻氢杰禹晖骇陷鸢酝谁丫腙弦