复数相乘 对应的向量相乘

1、复数相乘黄对应的向量相乘l=J甘志国（该文已发表 中学数学（高中）2011（7）： 10-11）高考题（2010 浙江理5）对任意复数z =尤+ yi（X, y e R），i为虚数单位，则下列 结论正确的是（）z - z = 2yB. z2 = x2 + y2C. z - z 2xD.|z| |x| + |y|笔者在教学中，发现有不少学生是这样解答的：设点O是坐标原点，在复平面上点z的坐标是（x, y），则复数z对应的平面向量是OZ （以下说“复数z与平面向量OZ 一一对应”时，对应法则就是这样的）.所以 z2 = OZ2 = |oZ|2 = （、（x2 + y2 ）2 = x2 + y2.而

2、正确答案是D（读者也容易理解该答案正确无疑）.那么，以上解法错在哪里呢？我们知道，复数z与平面向量OZ是一一对应的，且两个复数相加减就是把它们对应的 平面向量相加减.能否把此法则类比到复数的乘法中去呢？即能否有“因为复数z与平面向 量OZ是一一对应的，所以两个复数相乘就是把它们对应的平面向量相乘”？从这道高考题的解法来看，显然不能这样类比！即一一对应与互相代换还是两回事.比 如，复数z与平面向量OZ是一一对应的，在进行复数加减法时，可以把复数z与平面向量OZ互相代换；在进行复数乘法时，一般来说，不能把复数z与平面向量OZ互相代换；在进行复数除法时，一定不能把复数z与平面向量OZ互相代换，因为复

3、数之间有除法而平面 向量之间没有定义除法.根据复数的三角形式的乘法法则，可以给出复数的乘法与这两个复数对应的向量之间的 联系（即复数乘法的几何意义，见高级中学课本代数下册（必修）（人民教育出版社，1990）（下 简称代数（下册）第204页），但绝对不是“两个复数相乘就是把它们对应的复数相乘” 这么简单.普通高中课程标准实验教科书（俗称新课标教材）数学选修1-2 A版（人民教育出 版社，2007年第2版）（下简称选修1-2）第56-57页“3.2.1复数代数形式的加、减运算 及其几何意义”一节中写道：我们规定，复数的加法法则如下：设z1 = a + bi, z2 = C + di是任意两个复数，

4、那么（a + bi） + （c + di） = （a + c） + （b + d ）i很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数.探究复数与复平面内的向量有一一对应关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能 由此出发讨论复数加法的几何意义吗？设OZ , OZ2分别与复数a + bi,c + di对应，则OZ = (a,b),OZ2 = (c,d).由平面向量 的坐标运算，得OZ + OZ = (a + c, b + d)这说明两个向量OZ与OZ2的和就是与复数(a + c) + (b + d)i对应的向量.因此，复数 的加法可以按照向量的加法来进行(图1)，这是复数加法的几何意义.y心o图1与选修

5、1-2配套使用的教师教学用书第60页也写道：“复数加法的几何意义， 就是复数的加法可以按照向量的加法来进行，在学习了平面向量的知识后，这是容易被学生 接受的.教学中应让学生把复数的加法与向量的加法是怎样联系起来并得到统一的过程作出 探究.”数学选修2-2 - A版(人民教育出版社，2007年第2版)及与之配套使用的教师 教学用书也有以上叙述.笔者认为，以上叙述想阐明的观点就是：因为复数z与平面向量是OZ是一一对应的，所以两个复数相加减，就是把它们对应的平面向量相加减这也是不妥的，应当对“两个复数相加减=它们对应的平面向量相加减”予以严格证明.早年的教科书代数(下册)第188-189页就是这样证

6、明的：复数用向量来表示，如果与这些复数对应的向量不在同一直线上，那么这些复数的加法 就可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.下面我们来证明这个事实.设OZ1,.分别与复数a + bi及c + di对应，且0Z1,OZ2不在同一直线上(图2)，以OZ1及OZ2为两条邻边画平行四边形0VZZ2，画X轴的垂线PZ1 QZ2及RZ，并且画Z 1 S 1 RZ .容易证明AZZ 1 S 兰 Z2 OQ并且四边形Z 1PRS是矩形，因此OR = OP + PR = OP + Z 1 S = OP + OQ = a + cRZ = RS + SZ = PZ 1 + QZ 2 = b + d于是，点Z的坐标

7、是（a + c,b + d）,这说明OZ就是与复数（a + c） + （b + d）i对应的向量.由此可知，求两个复数的和，可以先画出与这两个复数对应的向量OZ1,OZ2，如果hhOZ1,OZ2不在同一直线上，再以这两个向量为两条邻边画平行四边形，那么与这个平行四边形的对角线OZ所表示的向量OZ对应的复数，就是所求两个复数的和.如果OZ ,OZ2在同一直线上，我们可以画出一个“压扁”了的平行四边形，并据此画出它的对角线来表示OZ ,OZ2的和.总之，复数的加法可以按照向量的加法法则来进行，这是复数加法的几何意义虽然代数（下册）对于“OZ1,OZ2不在同一直线上”的情形也只证明了a,b,c,d

8、eR + 的情形（其他情形均可类似证出），但是这种处理方法才是严谨的，而新课标教材对这部分的 处理是有瑕疵的，容易产生“若一一对应，则可互相代换”的误导新课标教材数学必修4A版（人民教育出版社，2007年第2版）第12页、全日 制普通高级中学教科书（必修）（俗称大纲教材）数学第一册（下）（2006年人民教育出版社） 第17页及高级中学课本代数上册（必修）（人民教育出版社，1990）第134页中均有这样 的叙述：“由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量 为实数的函数.”笔者认为，这也犯了 “若一一对应，则可互相代换”的错误.笔者在中学 数学杂志2010年第3期第13-17页发表的文章对人教版教科书数学 A版必修3的 几点建议的第6节中就指出了这种错误：因为sin2是2弧度的正弦值，是一个实数；而cos（sin2）要有意义的话，sin2必须是 角的大小.所以，cos（sin2）无意义！笔者认为必修4第12页例1上方写的“由于角的集合与实数集之间可以建立一一 对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数”也没道理：邹是实数时，sin a没 有意义；只有当a