艺术生高考数学专题讲义：考点46抽样方法

1、考点四十六 抽样方法知识梳理.简单随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取 n个个体作为样本(nWN),且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽样.常用方法：抽签法和随机数法.(2)简单随机抽样特点总体个数较少；简单随机抽样是逐个不放回抽样；每个个体被抽到的概率相等，都为N.抽签法一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，充分搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取 n次，这样就得到一个容量为n的样本.抽签法适用于总体中个体数较少的情况，一个抽样实验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便

2、； 二是号签是否易搅匀. 一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽 签法.随机数法随机数法也就是利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样.随机数法的步骤：将总体中的N个个体编号；在随机数表中选择开始数字；按某个方向读数获取样本号码.随机数法适用于总体中个体数较多的情况，简单易行，它很好地解决了抽签法在总体个数较多时制签难的问题， 但是当总体中的个体很多，需要的样本容量也很大时，用随机数法抽取样本仍不方便.系统抽样(1)步骤：先将总体的 N个个体编号；根据样本容量n,当N是整数时，取分段间隔 k=N;nn在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(lWk);按照一定的规则抽取样本.

3、(2)适用范围：适用于总体中的个体数较多时.(3)系统抽样是等距离抽样.分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取 一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样.(2)适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时.样本容量n(3)分层抽样中，每层抽取的个体的比例是相同的，即 巧林不用.6.三种抽样方法的比较类别各自特点相互联系适用范围共同点简单随机抽样从总体中逐个抽取最基本的抽样方法总体中的个体数较少系统抽样将总体平均分成几部 分，按班先确定的规 则分别在各部分中抽 取在起始部分抽样时，采用简单随机抽样总体中

4、的个体数较多抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等分层抽样将总体分成几层，按 各层个体数之比抽取各层抽样时米用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成典例剖析题型一简单随机抽样例1 (2013高考江西卷)总体由编号为01, 02,，19, 20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第 1行的第5列和第6列数字开始由左到右 依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 .7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481答案 01解析 由随机数表法的随

5、机抽样的过程可知选出的5个个体是08, 02, 14, 07, 01,所以第5个个体的编号是01.变式训练下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有 .从无限多个个体中抽取 50个个体作为样本；箱子里有100支铅笔，今从中选取 10支进行检验.在抽样操作时，从中任意拿出一支检 测后再放回箱子里；从50个个体中一次性抽取 5个个体作为样本.答案 0个解析 不满足样本的总体数较少的特点；不满足不放回抽取的特点；不满足逐个抽取的特点.解题要点简单随机抽样特点：总体个数较少；简单随机抽样是逐个不放回抽样；每个个体被抽到的概率相等.题型二系统抽样例2为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚鼠胺，要从编号依次为1

6、到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是 .(填序号) 5, 10, 15, 20, 25; 2, 4, 8, 16, 32; 1, 2, 3, 4, 5; 7, 17, 27, 37, 47.答案解析 利用系统抽样，把编号分为 5段，每段10袋，每段抽取一袋，号码间隔为10,故选.变式训练将参加夏令营的600名学生编号为：001, 002,，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在A营区，从301到495在B营区，从496到600在C营区，三个营区被抽中的人数依次为.

7、答案 25, 17, 8解析 依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成 50组，每一组各有12名学生，第 k(kCN*)组抽中的号码是 3+12(k-1),令3+12(k 1)300,得k 143,因103此A营区被抽中的人数是 25;令3003+12(k 1)495,得二“kw 42,因此B营区被抽中的人数是4225= 17.解题要点系统抽样是等距离抽样，假设第 1段抽取的个体编号为l(lWk),分段间隔为k(kCN*),则将l加上间隔k得到第2个个体编号(l+k),再加上k得到第3个个体编号(1 + 2k),依次进行下去，直到获取整个样本.题型三分层抽样例3 (1)某大学

8、为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4 ： 5 ： 5 ： 6,则应从一年级本科生中抽取名学生.(2)某高级中学共有学生 3 000名，各年级男、女生人数如下表:高一年级高二年级高三年级女生523xy男生487490z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.17.若现需对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为 .答案(1)60(2) 99解析 (1)根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为4+

9、5+5+6* 300 = 60.(2)由题设可知 7Jx=0.17，-x=510.3 000高三年级人数为 y+z=3 000 (523+ 487 + 490 + 510) = 990,现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，应在高三年级抽取的人数为500X 990= 99.3000变式训练某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3： 5： 7,现用分层抽样的方法抽出容量为 n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n =.答案 90 3解析 依题意得o 1 3X n=18,解得n=90,即样本容量为90. 3+5 + 7解题要点分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式计算：*湍=*

10、需*5数；(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.题型四抽样方法选取问题例4某学校有男、女学生各 500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 答案分层抽样法解析 从全体学生中抽取100名应用分层抽样法，按男、女学生所占的比例抽取.变式训练 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150,120,180,150个销售点.公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查

11、为，则完成，这两项调查宜采用的抽样方法依次是 .答案分层抽样法，简单随机抽样法解析一般甲、乙、丙、丁四个地区会存在差异，采用分层抽样法较好.在丙地区中抽取的 样本个数较少，易采用简单随机抽样法.解题要点正确把握三种抽样方法的适用范围及特点是解题的关键.当总体中的个体个数较少时，通常采用简单随机抽样，一般可用从总体中逐个抽取的方法；当总体中的个体个数较多且均衡时，通常采用系统抽样， 将总体平均分成几部分，按一定的规则分别在各部分中抽取；当总体是由差异明显的几部分组成时，则采用分层抽样，将总体按差异分成几层，按分层个体数之比抽取.当堂练习（2015四川文）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个

12、年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是.答案分层抽样法解析 结合几种抽样的定义.（2015北京文）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为类别人数老年教师900中年教师1 800青年教师1 600合计4 300答案 180解析 由题意抽样比为 普 =1, .该样本的老年教师人数为900X=180（人）.1 600 55（2015湖南文）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示13 0034566S8891

13、4 1112223344555667815 0 12 2 3 3 3若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是.答案 4解析 由题意知，将135号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间139,151的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取 4名.从编号为150的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是答案 3,13,23,33,43解析间隔距离为10,故可能编号是3,13,23,33,43.甲校有3 600名学生，乙校有5 40

14、0名学生，丙校有1 800名学生.为统计三校学生某方 面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90的样本，应该在这三校分别抽取的学生人数是.答案 30,45,15解析抽取比例是903 600 + 5 400+ 1 800111故二校分别抽取的学生人数为3 600 盒=30,5 400 1方=45,1 800苍0= 15.课后作业一、填空题. （2014四川文）在“世界读书日”前夕，为了了解某地 5 000名居民某天的阅读时间，从 中抽取了 200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是.答案总体解析 5 000名居民的阅读时间的全体是总体，每名居民的阅

15、读时间是个体，200是样本容量.为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 .答案按学段分层抽样解析因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样. （2014年重庆卷）某中学有高中生3 500人，初中生1 500人.为了解学生的学习情况， 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为.答案 100解析由分层抽样的特点可知n70_3 500+ 1 5003 500得 n = 100

16、.为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是.答案 7,17,27,37,47解析 利用系统抽样，把编号分为5段，每段10个，每段抽取1个，号码间隔为10.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3 ： 5： 7,现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n =.答案903解析 依题意彳导o 3 Jn=18, 3+ 5+ 7解得n= 90,即样本容量为90.用系统抽样法（按等距离的规则），要从160名学生中抽取容量为 20的样本，

17、将160名学 生从1160编号.按编号顺序平均分成 20组（18号，916号，153160号），若第 16组应抽出的号码为125,则第一组中按抽签方法确定的号码是 .答案 5解析 设第一组确定的号码是 x,则x+ （16 1）X8=125,解得x=5.某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取 1名， 抽到二年级女生的概率是 0.19,现用分层抽样的方法在全校抽取 64名学生，则应在三年级 抽取的学生人数为 .一年级二年级三年级女生373Xy男生377370z答案 16解析 由题意得X=0.19,得x= 380.64 _ n2 000 5002 000三年级的人

18、数为 2 000 373 377 380 370= 500,由分层抽样的特点可知得 n= 16.采用系统抽样方法从 960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,，960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间1,450的人做问卷A,编号落入区间451,750的人做问卷B,其余的人做问卷 C,则抽到 的人中，做问卷 B的人数为 .答案10解析 由已知条件可知，应该把总体分成32组，每组嘿=30人，根据系统抽样的方法可知， 32i = 9, k=30,在第1组到第32组依次抽取到的是 9,9+30, 9+2X30,，9+31 X30,由于

19、9+15X30 = 459,而 9+24X30=729,故而有 2415+1 = 10 人. (2015福建文)某校高一年级有 900名学生，其中女生 400名.按男女比例用分层抽样 的方法，从该年级学生中抽取一个容量为 45的样本，则应抽取的男生人数为 . 答案 25解析 由题意知，男生共有 500名，根据分层抽样的特点，在容量为45的样本中男生应抽取人数：45X500=25.900.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3 ： 3 ： 4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生.答案15解析 高二年级学生人数占总学生人数的130,样本容量为50,则50端=15,所以从高二年级抽取15名学生.已知某商场新进 3 000袋奶粉，为检查某维生素是否达标，现采用系统抽样的方法从中 抽取150袋检查，若第1组抽出的号码是11,则第61组抽出的号码为 .答案1 211解析3 000150= 20,需把3 000袋奶粉按0,1,2,3,，2 999编号，然后分成150组，每组20个号码.第61组抽出的号码为 11+(61 1)X20=1 211.二、解答题12.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽