从Durer魔方跨入线性代数思维之门课件

1、 主讲: 关秀翠 东南大学数学系 东 南 大 学 线 性 代 数 课 程 讲 座从Drer魔方跨入线性代数思维之门Drer魔方：4阶，每一行之和为34，每一列之和为34，对角线（或次对角线）之和是34，每个小方块中的数字之和是34，四个角上的数字加起来也是34.版画创造时间：1514年 多么奇妙的魔方！4. 向量空间的应用一、应用背景 什么是Drer魔方 该魔方出现在德国著名的艺术家 Albrecht Drer于1514年创造的版画Melancolia。4阶Drer魔方：行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和= 四个角之和.铜币铸造时间：1514年 多么奇妙的魔方！你想构造Dre

2、r魔方吗？Drer魔方有多少个？如何构造所有的Drer魔方？4. 向量空间的应用一、应用背景 什么是Drer魔方 110 17 201126 5616314152009127和为48.4阶Drer魔方：行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和= 四个角之和.你想构造Drer魔方吗？Drer魔方有多少个？如何构造所有的Drer魔方？4. 向量空间的应用一、应用背景 什么是Drer魔方 A=B=设A,B是任意两个Drer 魔方，对任意实数k，kA 是Drer魔方吗？A+B 是Drer魔方吗？110 17 201126 5616314152009127你想构造Drer魔方吗？Drer魔方

3、有多少个？如何构造所有的Drer魔方？4. 向量空间的应用一、应用背景 设A,B是任意两个Drer 魔方，对任意实数k，kA 是Drer魔方吗？A+B 是Drer魔方吗？松驰问题的讨论允许构成魔方的数取任意实数任意两个Drer魔方的任意的线性组合仍是Drer魔方。记 D=A=(aij)R44|A为Drer魔方 将A看成16维列向量，则D构成一个向量空间，称为Drer魔方空间.无穷多个求出魔方空间的一组基,基的任意线性组合都构成一个Drer魔方.令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和类似于n维空间的基本单位向量组，利用0和1来构造一些R=C=D=S=1的最简单的方阵。求Drer魔方空间

4、的基1在第一行中有4种取法，第二行中的1还有两种取法。当第二行的1也取定后，第三、四行的1就完全定位了，故共有8个不同的最简方阵，称为基本魔方Q1,Q8 令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和类似于n维空间的基本单位向量组，利用0和1来构造一些R=C=D=S=1的最简单的方阵。求Drer魔方空间的基Q1=00000000000000001111求Drer魔方空间的基1在第一行中有4种取法，第二行中的1还有两种取法。当第二行的1也取定后，第三、四行的1就完全定位了，故共有8个不同的最简方阵，称为基本魔方Q1,Q8 显然， Drer空间中任何一个魔方都可以用Q1,Q2,Q8来线性表示，但

5、它们能否构成D空间的一组基呢？求Drer魔方空间的基求Drer魔方空间的基Q1,Q8线性相关 显然， Drer空间中任何一个魔方都可以用Q1,Q2,Q8来线性表示，但它们能否构成D空间的一组基呢？Q1,Q2,Q8能否构成D空间的一组基？求Drer魔方空间的基Q1,Q8线性相关由线性无关。Q1,Q7构成D空间的一组基，任意Drer魔方都可由其线性表示.Q1,Q2,Q8能否构成D空间的一组基？Q1,Q7构成D空间的一组基，任意Drer魔方都可由其线性表示.构造Albrecht Drer的数字魔方=16321351011896712415141=Q1,Q2,Q8能否构成D空间的一组基？Q1,Q7构成

6、D空间的一组基，任意Drer魔方都可由其线性表示.随心所欲构造Drer魔方=？=dij所得的线性方程组有 个方程？ 个变量？1623如何求解该线性方程组呢？随心所欲构造Drer魔方=(dij) 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1

7、 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0A = Ar y = 016维变量 y (A, E) = 0ry第四章 n维向量 4.5 线性方程组的解的结构 A=1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 1 0;0 1 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 1 0; %变量r对应的系数矩阵 C=A,-eye(16); %系数矩阵(A,E ) C1=rref(C) %求行最简形C1=1 0 0 0 0

8、 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

9、0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 -1 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0

10、 -1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 1 0 -1 1 0 0 -10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 -1 -10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 -1 0 0 第四章 n维向量 4.5 线性方程组的解的结构 d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44随心所欲构造Drer魔方=(dij) Ar y = 016维变量 y (A, E) = 0ry自由变量可取为d24, d32, d34, d41, d42,d43, d441632

11、1351011896712415141110 17 201126 5616314152009127第四章 n维向量 4.5 线性方程组的解的结构 %程序mymagic.m%输入d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44，得到整个Drer魔方 d=input(please input a vector d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44:) A=1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0 0

12、;0 0 0 1 0 1 0;0 1 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 1 0; %变量r对应的系数矩阵 C=A,-eye(16); %系数矩阵(A,E ) x=null(C,r); %求齐次方程组的基础解系 y=d(1)*x(:,1)+d(2)*x(:,2)+d(3)*x(:,3)+d(4)*x(:,4) +d(5)*x(:,5)+d(6)*x(:,6)+d(7)*x(:,7); %基础解系的线性组合 y=y(8:23,:); %y为16维魔方向量 D=vec2mat(y,4,4) %将y转化为4阶魔方阵mymagicplease input a vector d24,d32,d34,

13、d41,d42,d43,d44:6 3 15 20 09 12 7随心所欲构造Drer魔方110 17 201126 5616314152009127第四章 n维向量 4.5 线性方程组的解的结构 (2)任给d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44的一组值，就可得唯一确定Drer魔方的其他值.110 17 201126 5616314152009127还不够随心所欲？赋予魔方更大的威力吧！自由变量的选取不唯一(3)任给d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一组值，也可得唯一确定Drer魔方的其他值.6798597125861146710还不够

14、随心所欲？(3)任给d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一组值，也可得唯一确定Drer魔方的其他值.6798597赋予魔方更大的威力吧！自由变量的选取不唯一125861146710由d43+26=d43+62+d13.6149488711如何选取自由变量？36由x+26=x+24+d14.33xx+22x+3x+46x39x+54由x+26=3x+24.可得 x = 1.还不够随心所欲？(3)任给d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一组值，也可得唯一确定Drer魔方的其他值.6798597赋予魔方更大的威力吧！自由变量的选取不唯一12

15、5861146710由d43+26=d43+62+d13.如何选取自由变量？由x+26=x+24+d14.33由x+26=3x+24.可得 x = 1.61494887113613244755-38还不够随心所欲？能否将Drer魔方“和相等”的限制再增强吗？赋予魔方更大的威力吧！令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和(1) 7维Drer魔方空间D：R=C=D=S令H为主对角线和，N为付对角线和(类似于三阶行列式的对角线法则) R=C=H=N(2) 5维泛对角方的向量空间B:(3) 要求所有数都相等:一维向量空间G = rE,rR，其中eij=1, i,j.(4) 特别的，当r =0:

16、0维向量空间 O和为46.Drer空间的子空间能否将Drer魔方“和相等”的限制再增强吗？赋予魔方更大的威力吧！令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和(1) 7维Drer魔方空间D：R=C=D=S令H为主对角线和，N为付对角线和.R=C=H=N(2) 5维泛对角方的向量空间B:(3) 要求所有数都相等:一维向量空间G = rE,rR.(4) 特别的，当r =0:0维向量空间 OO G B D魔方空间 维 数 0 1 5 7Drer空间的子空间和扩张令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和(1) 7维Drer魔方空间D：R=C=D=SR=C=H=N(2) 5维泛对角方的向量空间

17、B:(3) 要求所有数都相等:一维向量空间G = rE,rR.(4) 特别的，当r =0:0维向量空间 OO G B D魔方空间 维 数 0 1 5 7(5) 8维魔方空间Q：R=C=D(6) 10维魔方空间U：R=C(7) 16维数字空间M：数字可任意取值 Q U M 8 10 16从Drer魔方跨入线性代数思维之门2. 培养观察问题分析问题的能力1. 培养化繁为简的思考模式(1) 转换思考角度，训练思维的求异性(2) 探讨变换问题的条件 3. 培养发散思维(4) 将结论作为条件倒退 (3) 培养多角度看问题 (5) 利用精炼的语言比拟4. 培养归纳总结的能力根据1的取法，确定了8个基本魔方

18、Q1,Q8 求Drer魔方空间的基1. 培养化繁为简的思考模式类似于n维空间的基本单位向量组，利用0和1来构造一些R=C=D=S=1的最简单的方阵。但是，Q1,Q8线性相关，而任意7个都线性无关.可取Q1,Q7构成D空间的一组基，任意Drer魔方都可由其线性表示.凭空构造魔方空间的一组基是很难的分阶段处理复杂问题的“水泵”思维化繁为简1. 培养化繁为简的思考模式定理1.2. |A| = ai1Ai1+ai2Ai2+ ainAin, i=1,2, , n.1.3 行列式的性质及计算 证明： (1) (2) (3) 第一章 行列式和线性方程组的求解 = a11A11= aijAij= ai1Ai1

19、+ai2Ai2+ ainAin.4阶Drer魔方：行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和= 四个角之和.你想构造Drer魔方吗？Drer魔方有多少个？如何构造所有的Drer魔方？4. 向量空间的应用一、应用背景 允许构成魔方的数取任意实数任意两个Drer魔方的任意的线性组合仍是Drer魔方。D=AR44|A为Drer魔方 构成Drer魔方向量空间.求Drer魔方空间的一组基, 任意一个Drer魔方都可由这组基线性表示.2. 培养观察问题分析问题的能力29十秒钟加数3455891442333776109871597+2584?时间到！答案是 6710。请用十秒，计算出左边一列数的和

20、。30“斐波那契数列”若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即：1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 意大利数学家斐波那契的算盘书（1202年）31“十秒钟加数”揭密右式的答案是：3455891442333776109871597+2584?610 11 = 6710数学家发现：连续 10个斐波那契数之和，必定等于第 7个数的 11 倍！32Fibonacci兔子问题 假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对(雌雄)兔子，那么，由一对初生兔子开始，12 个月后会有多少对兔子呢？33解答1 月1 对34解

21、答1 月1 对2 月1 对35解答1 月1 对2 月1 对3 月2 对36解答1 月1 对2 月1 对3 月2 对4 月3 对37解答1 月1 对2 月1 对3 月2 对4 月3 对5 月5 对38解答1 月1 对2 月1 对3 月2 对4 月3 对5 月5 对6 月8 对39解答1 月1 对2 月1 对3 月2 对4 月3 对5 月5 对6 月8 对7 月13 对40 1) 分析问题、抓住本质、简化。 本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，简称为大兔子；新生的兔子不能生殖，简称为小兔子；小兔子一个月就长成大兔子.求的是大兔子与小兔子的总和。 2）深入观察发现规律 每月小兔对数 =上个月大兔对

22、数. 每月大兔对数 =上个月大兔对数 +上个月小兔对数.=上个月大兔对数 +上上个月大兔对数.2. 培养观察问题分析问题的能力41 1) 分析问题、抓住本质、简化。 本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，简称为大兔子；新生的兔子不能生殖，简称为小兔子；小兔子一个月就长成大兔子.求的是大兔子与小兔子的总和。 2）深入观察发现规律 每月小兔对数 =上个月大兔对数. 每月大兔对数 =上个月大兔对数 +上个月小兔对数.= 前两个月大兔对数之和.2. 培养观察问题分析问题的能力42 月 份 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13

23、 21 34 55 89 兔子总数 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233二阶递推公式 2）深入观察发现规律 每月小兔对数 =上个月大兔对数. 每月大兔对数 =上个月大兔对数 +上个月小兔对数.= 前两个月大兔对数之和.Fn2. 培养观察问题分析问题的能力43 3）深入研究问题二阶递推公式由可得2. 培养观察问题分析问题的能力44 3）深入研究问题二阶递推公式因此2. 培养观察问题分析问题的能力45 1） 花瓣数中的斐波那契数 大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数。例如，兰花3个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植

24、物有21个花瓣，雏菊属植物有34、55或89个花瓣。生活中的斐波那契数462）树杈的数向日葵花盘内葵花子排列的螺线数 种子按顺、逆时针的螺线排列，两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55; 89和144; 144和233条螺线。48松果种子的排列的螺线数(8-13)49菜花表面排列的螺线数（5-8）50 4） 电路中的斐波那契数列 加在电阻上的电压，从右至左，恰是斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21,51 5） 股票指数增减的“波浪理论” 完整周期3上2下（或5上3下或3上5下），常是相继两斐波那契数； 每次股指增长幅度（8，13等）或回调

25、幅度（8，5），常是相继两斐波那契数。 股指变化有无规律？回答是肯定的。52 可以说，斐波那契以他的兔子问题，猜中了大自然的奥秘，而斐波那契数列的种种应用，是这个奥秘的不同体现。妙哉数学！问题的提出：设 A 是n阶方阵 , 求Ak ?分析：(1) 若A是对角阵，则易求 Ak =k.A = P1Q1 (2)一般方阵A可与对角阵相抵，即存在n阶可逆阵P,Q, 使得 PAQ =. Ak = (P1Q1) (P1Q1)(P1Q1)若Q1 =P ,则 Ak =P1 k Q1 = Qk Q1(3) 因此，当存在n阶可逆阵Q, 使得 Q1AQ =(对角阵 )时, 易求方阵Ak.此时称方阵A可与对角阵相似。2

26、. 培养观察问题分析问题的能力 3）深入研究问题问题：当A可与对角阵相似, Q 与的关系如何 ?当方阵A可与对角阵相似，即存在n阶可逆阵Q, 使得 Q1AQ =(对角阵 )时, 易求方阵Ak.Q1AQ =, 设Q 的列向量为q1, q2, , qn. 显然它们线性无关.即A(q1, q2, , qn) = (1q1, 2q2, , nqn), 即 A qi = i qi, i=1,n 特征值 特征向量 对应 qi 2. 培养观察问题分析问题的能力则AQ = Q = Qdiag(1, 2, , n), 3）深入研究问题(1)任给d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44的一

27、组值，就可唯一确定Drer魔方.Drer魔方空间是7维的.110 17 201126 5616314152009127(1) 转换思考角度，训练思维的求异性自由变量还有其他的选取方式吗？只要选取系数矩阵23列中16个线性无关的列，其余7列对应的变量就可取为自由变量.16 314 152009127x32xx+4x117xx523x26x3.培养发散思维例5. 设 , 求A1.求逆阵的方法：(1) 定义法：AB=BA=E(1) 转换思考角度，训练思维的求异性(2) 公式法：A1=A*/ |A|(3) 初等变换法：(A,E) (E,A1)解：注意到 A =AT，且 A AT = A2 = 4E所以 A1 = A/ 43.培养发散思维Drer空间的子空间和扩张(4) 7维Drer魔方空间D：R=C=D=SR=C=H=N(3) 5维泛对角方的向量空间B:(2) 要求所有数都相等:一维向量空间G = rE,rR.(1)0维向量空间 OO G B D魔方空间 维 数 0 1 5 7(5) 8维魔方空间Q：R=C=D(6) 10维魔方空间U：R=C(7) 16维数字空间M：数字可任意取值 Q U M 8 10 16(2) 探讨变换问题的条件 (2) 探讨变换问题