[工学]平面问题极坐标解答--10-13-01-0课件2

1、弹性力学第四章 平面问题的极坐标解答极坐标中的平衡微分方程极坐标中的几何方程和物理方程极坐标中的应力函数与相容方程应力分量的坐标变换式轴对称应力和相应的位移圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受分布力极坐标中的平衡微分方程xyOPABC极坐标中的平衡微分方程推导得（极坐标中的平衡微分方程）（径向轴）（切向轴）极坐标中的几何方程和物理方程xyOPAB1. 几何方程(1) 只有径向变形，无环向变形。极坐标中的几何方程和物理方程(2) 只有环向变形，无径向向变形。yxOPBA极坐标中的几何方程和物理方程极坐标中的几何方程和物理方程整理得： 极坐标下的几何方程极坐标中

2、的几何方程和物理方程2. 物理方程平面应力情形：由于与直角坐标同是正交坐标，所以形式相同，但需变换符号。极坐标中的几何方程和物理方程平面应变情形：极坐标中的应力函数与相容方程xyOrxy（1）极坐标与直角坐标间的关系：极坐标中的应力函数与相容方程（2）应力分量与相容方程的坐标变换：极坐标中的应力函数与相容方程（a）极坐标中的应力函数与相容方程（b）极坐标中的应力函数与相容方程将式(a)与(b)相加，得所以极坐标下的相容方程为应力分量的坐标变换式(1) 用极坐标下的应力分量表示直角坐标下的应力分量应力分量的坐标变换式(2) 用直角坐标下的应力分量表示极坐标下的应力分量轴对称应力和相应的位移1.

3、轴对称问题应力分量与相容方程（1）应力分量（2）相容方程假设应力函数只是径向坐标r的函数轴对称应力和相应的位移2. 相容方程的求解其特征方程为方程的特征值引入变换式r=et,即t=lnr轴对称应力和相应的位移方程的特征根为：于是，方程的解为：将 代 回 ：轴对称应力和相应的位移3. 应力分量轴对称应力和相应的位移4. 位移分量圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞1. 圆环或圆筒受均布压力确定应力分量的表达式：圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞边界条件：圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞将应力分量带入边界条件有式中有三个未知常数，二个方程不通用确定。圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞要使多值项单值，须有：B =

4、0 ，由上面边界条件得：对于多连体问题，位移须满足位移单值条件。位移多值项圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞将其代回应力分量式，有：圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞（1）若：（压应力）（拉应力）圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞（3）若：（压应力）（压应力）圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞2. 压力隧洞厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压 q 作用，求圆筒的应力。(1) 圆筒的应力与边界条件应力：边界条件：圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞(2) 无限大弹性体的应力与边界条件应力：边界条件：圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞将应力表达式代入相应的边界条件，得到如下方程：圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞4个方程不能解5

5、个未知量，需由位移连续条件确定。利用：得：圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞要使对任意的 成立，须有：圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞对式（f）整理有，有：其中：圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞联立上述5个方程，解得：圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞当 n 1 时，应力分布如图所示。半平面体在边界上受集中力设有半平面体，在其直边界上受有集中力，与边界法线成角 ，取单位宽度的部分来考虑，并命单位宽度上所受的力为P ,取坐标轴如图。半平面体在边界上受集中力1. 应力分量假设应力函数则应力分量为半平面体在边界上受集中力当P垂直于直线边界时有（极坐标）（直角坐标）PxyO半平面体在边界上受集中力2. 位移分量假

6、设为平面应力情形半平面体在边界上受集中力由问题的对称性，有：代入上式得：于是上式变为：半平面体在边界上受集中力3. 边界沉陷计算PxyOrMBsM 点的下沉量为：半平面体在边界上受集中力由于常数I 无法确定，所以只能求得的相对沉陷量。为此，在边界上取一基准点B，如图所示。M点相对于基准点B的沉陷为半平面体在边界上受集中力简化后得：对平面应变情形：半平面体在边界上受分布力1. 应力分量dP 作用在距原点 时，半平面体在边界上受分布力将此式在 AB 区间上积分，得半平面体在边界上受分布力2. 边界点的相对沉陷量讨论均匀分布的单位力的情形。计算分布力中点 I 相对于 K 点的沉陷量：dP半平面体在边界上受分布力对 r 积分，即可求得 I 点的相对沉陷量。当基准点K位于均布力之外时，沉陷量为为简单起见，假定基点 K 取得很远，即s远大于r，积分时可视其为常数，积分结果为：半平面体在边界上受分布力