复件中考二次函数综合题25题分类训练

1、(一)求线段最大值及根据面积求点坐标1、（2013重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MNy轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标2.如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为

2、（3，0）（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点若点P在抛物线上，且SPOC=4SBOC求点P的坐标；设点Q是线段AC上的动点，作QDx轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值（二）求三角形周长及面积的最值问题3.（2013雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点

3、E的横坐标为m，ADF的面积为S求S与m的函数关系式；S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由4. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求ACE的最大面积及E点的坐标（三）为等腰或直角三角形是求点坐标5.（2013铜仁地区）如图，已知直线y=3x3分别交x轴、

4、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）（1）求抛物线的解析式；（2）求ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标6、如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PEAC，交BC于E，连接CP，求PCE面积的最大值（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且OMD为等腰三角形，求M点的坐标7、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A

5、（3，0），B（1.0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DEx轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由（四）四边形与二次函数问题8、如图，抛物线经过A（1，0），B（5，0），C（0，）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若

6、不存在，请说明理由9.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作 y轴的平行线，交直线AD于点M，作DEy轴于点E探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PNAD于点N，设PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值10. 如图，抛物线经过A（1，0），B（5，

7、0），C（0，）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由1. 分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系

8、式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；（3）先求出ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形证明EBD为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=x1，然后解方程组，即可求出点P的坐标解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=x+5；将B（5，0），C（0，

9、5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x26x+5；（2）设M（x，x26x+5）（1x5），则N（x，x+5），MN=（x+5）（x26x+5）=x2+5x=（x）2+，当x=时，MN有最大值；（3）MN取得最大值时，x=2.5，x+5=2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）解方程x26x+5=0，得x=1或5，A（1，0），B（5，0），AB=51=4，ABN的面积S2=42.5=5，平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BCBDBC=5，BCBD=30，BD=3过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，

10、交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形BCBD，OBC=45，EBD=45，EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，B（5，0），E（1，0），设直线PQ的解析式为y=x+t，将E（1，0）代入，得1+t=0，解得t=1直线PQ的解析式为y=x1解方程组，得，点P的坐标为P1（2，3）（与点D重合）或P2（3，4）点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识点，综合性较强，考查学生运用方程组、数形结合的思想方法（2）中弄清线段MN长度的函数意义是关键，（3）中确定P

11、与Q的位置是关键2. 分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；（2）a=1时，先由对称轴为直线x=1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x3），根据SPOC=4SBOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x3，再设Q点坐标为（x，x3），则D点坐标为（x，x2+2x3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最

12、大值解答：解：（1）对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴相交于A、B两点，A、B两点关于直线x=1对称，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（1，0）；（2）a=1时，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，=1，解得b=2将B（1，0）代入y=x2+2x+c，得1+2+c=0，解得c=3则二次函数的解析式为y=x2+2x3，抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，3），OC=3设P点坐标为（x，x2+2x3），SPOC=4SBOC，3|x|=431，|x|=4，x=4当x=4时，x2+2x3=16+83=21；当x=4时，x2+2x3=1683=5所以点P的坐标为（4

13、，21）或（4，5）；设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（3，0），C（0，3）代入，得，解得，即直线AC的解析式为y=x3设Q点坐标为（x，x3）（3x0），则D点坐标为（x，x2+2x3），QD=（x3）（x2+2x3）=x23x=（x+）2+，当x=时，QD有最大值点评：此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想3. 分析：（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即

14、可；（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，m22m+3），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可解答：解：（1）由题意可知：解得：抛物线的解析式为：y=x22x+3；（2）PBC的周长为：PB+PC+BCBC是定值，当PB+PC最小时，PBC的周长最小，点A、点B关于对称轴I对称，连接AC交l于点P，即点P为所求的点AP=BPPBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BCA（3，0），B（1，0），C（0，3），AC=3，BC=；故PBC周长的最小值为3+（3）抛物线y=x22x+3顶点D的坐标为（1，4）A（3，0）直线AD的解析式为

15、y=2x+6点E的横坐标为m，E（m，2m+6），F（m，m22m+3）EF=m22m+3（2m+6）=m24m3S=SDEF+SAEF=EFGH+EFAG=EFAH=（m24m3）2=m24m3；S=m24m3=（m+2）2+1；当m=2时，S最大，最大值为1此时点E的坐标为（2，2）点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，根据点的坐标表示出线段的长是表示出三角形的面积的基础4. 分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；（3）根据直线AC的解析式

16、，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式=0时，ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），解得，所以，抛物线的解析式为y=x24x+3；（2）点A、B关于对称轴对称，点D为AC与对称轴的交点时BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k0），则，解得，所以，直线AC的解析

17、式为y=x1，y=x24x+3=（x2）21，抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=21=1，抛物线对称轴上存在点D（2，1），使BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x25x+3m=0，=（5）241（3m）=0，即m=时，点E到AC的距离最大，ACE的面积最大，此时x=，y=，点E的坐标为（，），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），AF=1=，直线AC的解析式为y=x1，CAB=45，点F到AC的距离为=，又AC=3，ACE的最大面积=3=，此时E点坐标为（，）点评：本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数

18、解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题5. 分析：（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式；（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（1，m），分三种情况讨论，MA=BA，MB=BA，MB=MA，求出m的值后即可得出答案解答：解：（1）直线y=3x3分别交x轴、y轴于A、B两点，可得A（1，0），B（0，3），把A、B两点

19、的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，解得：抛物线解析式为：y=x2+2x3（2）令y=0得：0=x2+2x3，解得：x1=1，x2=3，则C点坐标为：（3，0），AC=4，故可得SABC=ACOB=43=6（3）抛物线的对称轴为：x=1，假设存在M（1，m）满足题意：讨论：当MA=AB时，解得：，M1（1，），M2（1，）；当MB=BA时，解得：M3=0，M4=6，M3（1，0），M4（1，6）（不合题意舍去），当MB=MA时，解得：m=1，M5（1，1），答：共存在4个点M1（1，），M2（1，），M3（1，0），M4（1，1）使ABM为等腰三角形点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待

20、定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解6. 分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论解答：解：（1）把点C（0，4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中，得，解得该抛物线的解析式为y=x2+x4（2）令y=0，即x2+x4=0，解得x1=4，x2=2，A（4，0），SABC=ABOC=12设P点坐标为（x，0），则PB=2xPEAC，BPE=BAC，BEP=BCA，PBEABC，即，化简得：SPBE=（2

21、x）2SPCE=SPCBSPBE=PBOCSPBE=（2x）4（2x）2=x2x+=（x+1）2+3当x=1时，SPCE的最大值为3（3）OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM=DO时，如答图所示DO=DM=DA=2，OAC=AMD=45，ADM=90，M点的坐标为（2，2）；（II）当MD=MO时，如答图所示过点M作MNOD于点N，则点N为OD的中点，DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又AMN为等腰直角三角形，MN=AN=3，M点的坐标为（1，3）；（III）当OD=OM时，OAC为等腰直角三角形，点O到AC的距离为4=，即AC上的点与点O之间的最小距离为2，OD=OM的情况不

22、存在综上所述，点M的坐标为（2，2）或（1，3）点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想第（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏7. 分析：（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x，x2+2x3），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据SPAC=SPAN+SPCN就可以表示出P

23、AC的面积，运用顶点式就可以求出结论；（3）分三种情况进行讨论：以A为直角顶点；以D为直角顶点；以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可解答：解：（1）由于抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x1），将C点坐标（0，3）代入，得：a（0+3）（01）=3，解得 a=1，则y=（x+3）（x1）=x2+2x3，所以抛物线的解析式为：y=x2+2x3；（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得，解得，直线AC的解析式为：y=x3设P点坐标为（x，x2+2x3）

24、，则点N的坐标为（x，x3），PN=PENE=（x2+2x3）+（x3）=x23xSPAC=SPAN+SPCN，S=PNOA=3（x23x）=（x+）2+，当x=时，S有最大值，此时点P的坐标为（，）；（3）在y轴上是存在点M，能够使得ADM是直角三角形理由如下：y=x2+2x3=y=（x+1）24，顶点D的坐标为（1，4），A（3，0），AD2=（1+3）2+（40）2=20设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：当A为直角顶点时，如图3，由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，解得t=，所以点M的坐标为（0，）；当D为直角顶

25、点时，如图3，由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t0）2，解得t=，所以点M的坐标为（0，）；当M为直角顶点时，如图3，由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，解得t=1或3，所以点M的坐标为（0，1）或（0，3）；综上可知，在y轴上存在点M，能够使得ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，）或（0，1）或（0，3）点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，难度适中运用数形结

26、合、分类讨论及方程思想是解题的关键8. 分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），再把A（1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），A（1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，解得抛物线的解析式为：y=x22x；（2）抛物线的解析式为：y=x22x，其对称轴为直线x=2，连接BC，如图1所示，B（5，0），C（0，），设直线BC的解析式为

27、y=kx+b（k0），解得，直线BC的解析式为y=x，当x=2时，y=1=，P（2，）；（3）存在如图2所示，当点N在x轴下方时，抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，），N1（4，）；当点N在x轴上方时，如图，过点N2作NDx轴于点D，在AN2D与M2CO中，AN2DM2CO（ASA），N2D=OC=，即N2点的纵坐标为x22x=，解得x=2+或x=2，N2（2+，），N3（2，）综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，），（2+，）或（2，）点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论

28、9. 分析：（1）将A，B两点分别代入y=x2+bx+c进而求出解析式即可；（2）首先假设出P，M点的坐标，进而得出PM的长，将两函数联立得出D点坐标，进而得出CE的长，利用平行四边形的性质得出PM=CE，得出等式方程求出即可；（3）利用勾股定理得出DC的长，进而根据PMNCDE，得出两三角形周长之比，求出l与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可解答：解：（1）y=x2+bx+c经过点A（2，0）和B（0，）由此得 ，解得抛物线的解析式是y=x2x+，直线y=kx经过点A（2，0）2k=0，解得：k=，直线的解析式是 y=x，（2）设P的坐标是（x，x2x+），则M的坐标是（x，x）PM=（x2x+）（x）=x2x+4，解方程 得：，点D在第三象限，则点D的坐标是（8，7），由y=x得点C的坐标是（0，），CE=（7）=6，由于PMy轴，要使四边