全国100所名校2022年高三（最后冲刺）数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡

2、一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则（ ）ABCD2根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设u= lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为=0.5v+2，则变量y的最大值的估计值是（ ）AeBe2Cln2D2ln23现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为ABCD4 “”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件5已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线E上的一

3、点，且.若直线与双曲线E的渐近线交于点M，且M为的中点，则双曲线E的渐近线方程为( )ABCD6执行如图所示的程序框图，若输出的，则处应填写（ ）ABCD7设是等差数列，且公差不为零，其前项和为则“，”是“为递增数列”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8已知集合，则元素个数为( )A1B2C3D49将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（ ）ABCD10若复数（）在复平面内的对应点在直线上，则等于( )ABCD11若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月

4、退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）. A6500元B7000元C7500元D8000元12设，则的大小关系是( )ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知随机变量，且，则_14在中，点在边上，且，设，则_（用，表示）15函数的值域为_.16已知正方形边长为，空间中的动点满足，则三棱锥体积的最大值是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很

5、多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位行家认为质量不过关，

6、则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立.（1）求一件手工艺品质量为B级的概率；（2）若一件手工艺品质量为A，B，C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元.求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.18（12分）已知三棱锥P-ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥P-ABC中：（1）证明：平面平面ABC；（2）若点M在棱PA上运动，当直线BM

7、与平面PAC所成的角最大时，求直线MA与平面MBC所成角的正弦值.19（12分）已知函数有两个零点.(1)求的取值范围；(2)是否存在实数， 对于符合题意的任意，当 时均有?若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由20（12分）某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修工厂规定当日损坏的元件A在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作每个工人独立维修A元件需要时间相同维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日

8、 10 日 元件A个数 9 15 12 18 12 18 9 9 24 12 日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日 元件A个数 12 24 15 15 15 12 15 15 15 24 从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数（）求X的分布列与数学期望；（）若a，b，且b-a=6，求最大值；（）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）21（12分）在直角坐标系中，直线l过点，且倾斜角为，以直角坐标系的原点

9、O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程，并判断曲线C是什么曲线；设直线l与曲线C相交与M，N两点，当，求的值22（10分）已知抛物线的顶点为原点，其焦点关于直线的对称点为，且.若点为的准线上的任意一点，过点作的两条切线，其中为切点.（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线恒过定点，并求面积的最小值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】根据集合的基本运算即可求解.【详解】解：，则故选：D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题2B【解析】将u

10、= lny，v=(x-4)2代入线性回归方程=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值.【详解】解：将u= lny，v=(x4)2代入线性回归方程=0.5v+2得：，即，当时，取到最大值2，因为在上单调递增，则取到最大值.故选：B.【点睛】本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,.3B【解析】求得基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,

11、所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选B.【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4A【解析】首先利用二倍角正切公式由，求出，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：，可解得或，“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题5C【解析】由双曲线定义得，OM是的中位线，可得，在中，利用余弦定理即可

12、建立关系，从而得到渐近线的斜率.【详解】根据题意，点P一定在左支上.由及，得，再结合M为的中点，得，又因为OM是的中位线，又，且，从而直线与双曲线的左支只有一个交点.在中.由，得. 由，解得，即，则渐近线方程为.故选：C.【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.6B【解析】模拟程序框图运行分析即得解.【详解】；.所以处应填写“”故选：B【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7A【解析】根据等差数列的前项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】是等差数列，且公差不为零，其前项和为，充分性：，则对任意的恒成

13、立，则，若，则数列为单调递减数列，则必存在，使得当时，则，不合乎题意；若，由且数列为单调递增数列，则对任意的，合乎题意.所以，“，”“为递增数列”；必要性：设，当时，此时，但数列是递增数列.所以，“，”“为递增数列”.因此，“，”是“为递增数列”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前项和公式是解决本题的关键，属于中等题8B【解析】作出两集合所表示的点的图象，可得选项.【详解】由题意得，集合A表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B表示函数的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A和点B，所以两个集合有

14、两个公共元素，所以元素个数为2，故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题.9C【解析】根据三角函数的变换规则表示出，根据是奇函数，可得的取值，再求其最小值.【详解】解：由题意知，将函数的图像向右平移个单位长度，得，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，因为是奇函数，所以，解得，因为，所以的最小值为.故选：【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.10C【解析】由题意得，可求得，再根据共轭复数的定义可得选项.【详解】由题意得，解得，所以，所以，故选：C.【点睛】本题考查复数的几

15、何表示和共轭复数的定义，属于基础题.11D【解析】设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可【详解】设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：600015%x10%1解得x2故选D【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题12A【解析】选取中间值和，利用对数函数，和指数函数的单调性即可求解.【详解】因为对数函数在上单调递增,所以,因为对数函数在上单调递减,所以，因为指数函数在上单调递增,所以,综上可知,.故选:A【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档

16、题、常考题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。130.1【解析】根据原则，可得，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：随机变量，则期望为所以故答案为：【点睛】本题考查正态分布的计算，掌握正态曲线的图形以及计算，属基础题.14【解析】结合图形及向量的线性运算将转化为用向量表示，即可得到结果【详解】在中，因为，所以，又因为，所以故答案为：【点睛】本题主要考查三角形中向量的线性运算，关键是利用已知向量为基底，将未知向量通过几何条件向基底转化15【解析】利用配方法化简式子，可得，然后根据观察法，可得结果.【详解】函数的定义域为所以函数的值域为 故答案为：【点睛】本题考查的是用配方法求函

17、数的值域问题，属基础题。16【解析】以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，设点，根据题中条件得出，进而可求出的最大值，由此能求出三棱锥体积的最大值.【详解】以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，则，设点，空间中的动点满足，所以，整理得，当，时，取最大值，所以，三棱锥的体积为.因此，三棱锥体积的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）；（2）可能是2件；详见解析【解析】（1）由一件手

18、工艺品质量为B级的情形，并结合相互独立事件的概率公式，列式计算即可；（2）先求得一件手工艺品质量为D级的概率为，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，可知，分别令、，可求出使得最大的整数，进而可求出10件手工艺品中不能外销的手工艺品的最有可能件数；分别求出一件手工艺品质量为A、B、C、D级的概率，进而可列出X的分布列，求出期望即可.【详解】（1）一件手工艺品质量为B级的概率为.（2）由题意可得一件手工艺品质量为D级的概率为，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，则，则，其中，.由得，整数不存在，由得，所以当时，即，由得，所以当时，所以当时，最大，即10件手工艺品中不能外销的手工

19、艺品最有可能是2件.由题意可知，一件手工艺品质量为A级的概率为，一件手工艺品质量为B级的概率为，一件手工艺品质量为C级的概率为，一件手工艺品质量为D级的概率为，所以X的分布列为：X900600300100P则期望为.【点睛】本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查学生的计算求解能力，属于中档题.18（1）见解析（2）【解析】(1) 设的中点为,连接.由展开图可知,，.为的中点,则有,根据勾股定理可证得,则平面,即可证得平面平面(2) 由线面成角的定义可知是直线与平面所成的角，且,最大即为最短时,即是的中点建立空间直角坐标系,求出与平面的法向量利用公式即可求得结

20、果.【详解】（1）设AC的中点为O，连接BO，PO由题意，得，在中，O为AC的中点，在中，平面，平面ABC，平面PAC，平面平面ABC（2）由（1）知，平面PAC，是直线BM与平面PAC所成的角，且，当OM最短时，即M是PA的中点时，最大由平面ABC，于是以OC，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图示空间直角坐标系，则，设平面MBC的法向量为，直线MA与平面MBC所成角为，则由得：.令，得，即.则.直线MA与平面MBC所成角的正弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查线面成角问题,借助空间向量是解决线面成角问题的关键,难度一般.19 (1)；(2).【解析】（1）对求导，对参数

21、进行分类讨论，根据函数单调性即可求得.（2）先根据，得，再根据零点解得，转化不等式得，令，化简得，因此 ，最后根据导数研究对应函数单调性，确定对应函数最值，即得取值集合.【详解】（1），当时，对恒成立，与题意不符，当，时，即函数在单调递增，在单调递减，和时均有，解得：，综上可知：的取值范围；（2）由(1)可知，则，由的任意性及知，且，故，又，令，则，且恒成立，令，而，时，时，令，若，则时，即函数在单调递减，与不符；若，则时，即函数在单调递减，与式不符；若，解得，此时恒成立，即函数在单调递增，又，时，；时，符合式，综上，存在唯一实数符合题意.【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.20（）分布列见解析，；()；()至少增加2人.【解析】（）求出X的所有可能取值为9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解