内蒙古自治区平煤2021-2022学年高考数学一模试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平

2、均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为ABCD2已知点P在椭圆：=1(ab0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆的另一个交点为B，若PAPB，则椭圆的离心率e=（ ）ABCD3已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）ABCD4已知等差数列的前n项和为，则A3B4C5D65直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，则的最小值是A10B9C8D76如图，中，点D在BC上，将沿AD旋

3、转得到三棱锥，分别记，与平面ADC所成角为，则，的大小关系是（ ）ABC，两种情况都存在D存在某一位置使得7已知椭圆（ab0）与双曲线（a0，b0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（）ABCD8一个空间几何体的正视图是长为4，宽为的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD9若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为( )A2BCD10将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）ABCD11设双曲线（a0,b0）的右焦点为F，右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点

4、D若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）ABCD12已知双曲线：的焦点为，且上点满足，则双曲线的离心率为ABCD5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13记实数中的最大数为，最小数为.已知实数且三数能构成三角形的三边长，若，则的取值范围是.14在中，角、所对的边分别为、，若，则的取值范围是_15一个村子里一共有个人，其中一个人是谣言制造者，他编造了一条谣言并告诉了另一个人，这个人又把谣言告诉了第三个人，如此等等在每一次谣言传播时，谣言的接受者都是在其余个村民中随机挑选的，当谣言传播次之后，还没有回到最初的造谣者的概率是_16某校为了解学生学习的情况，采

5、用分层抽样的方法从高一人、高二 人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，在正四棱柱中，过顶点，的平面与棱，分别交于，两点（不在棱的端点处）.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）求证：与不垂直；（3）若平面与棱所在直线交于点，当四边形为菱形时，求长.18（12分）如图,三棱柱中,底面是等边三角形,侧面是矩形,是的中点,是棱上的点,且.（1）证明：平面；（2）若,求二面角的余弦值.19（12分）已知函数.（1）若函数，求的极值；（2）证明：. （参考数据： ）20（12分）

6、在直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）在曲线上取一点，直线绕原点逆时针旋转，交曲线于点，求的最大值.21（12分）设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为（1）求椭圆的方程；（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由22（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知：，：，：.（1）求与的极坐标方程（2）若与交于点A，与交于点B，求的最大值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5

7、分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.2C【解析】设，则，设，根据化简得到，得到答案.【详解】设，则，则，设，则，两式相减得到：，即， ，故，即，故，故.故选：.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考

8、查学生的计算能力和转化能力.3B【解析】利用复数的除法运算化简z, 复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解.【详解】由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为故选：B【点睛】本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.4C【解析】方法一：设等差数列的公差为，则，解得，所以.故选C方法二：因为，所以，则.故选C5B【解析】根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得；再由基本不等式可求得的最小值【详解】由抛物线标准方程可知p=2因为直线l过抛物线的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知 所以 因为 为线段长度，都大于0，由基本不

9、等式可知，此时所以选B【点睛】本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题6A【解析】根据题意作出垂线段，表示出所要求得、角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案【详解】由题可得过点作交于点，过作的垂线，垂足为，则易得，设，则有，可得，；，；，综上可得，故选：【点睛】本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平7A【解析】由题意可得，即，代入双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意椭圆与双曲线即的焦点相同，可得：，即，可得,双曲线的渐近线方程为：,故选：A【点睛】本题考查椭圆和双曲线

10、的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题8B【解析】由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积【详解】由题意原几何体是正三棱柱，故选：B【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积解题关键是由三视图不愿出原几何体9C【解析】利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为，故圆心到渐近线的距离等于1，即，所以，.故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.10B【解析】由余弦的二倍角公式化简函数为，要想在括号内构造变为正弦函数，至少需要向左平移个单位长度，即

11、为答案.【详解】由题可知，对其向左平移个单位长度后，其图像关于坐标原点对称故的最小值为故选：B【点睛】本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题.11A【解析】由题意,根据双曲线的对称性知在轴上，设，则由得：，因为到直线的距离小于，所以，即，所以双曲线渐近线斜率，故选A12D【解析】根据双曲线定义可以直接求出，利用勾股定理可以求出，最后求出离心率.【详解】依题意得，因此该双曲线的离心率.【点睛】本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】试题分析：显然，又，当时，作出可行区域，因抛物线与直

12、线及在第一象限内的交点分别是（1，1）和，从而当时，作出可行区域，因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是（1，1）和，从而综上所述，的取值范围是考点：不等式、简单线性规划.14【解析】计算出角的取值范围，结合正弦定理可求得的取值范围.【详解】，则，所以，由正弦定理，.因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了正弦定理，正弦函数图象和性质，考查了转化思想，属于基础题15【解析】利用相互独立事件概率的乘法公式即可求解.【详解】第1次传播，谣言一定不会回到最初的人；从第2次传播开始，每1次谣言传播，第一个制造谣言的人被选中的概率都是，没有被选中的概率是次传播是相互独立的，故为故答案为：

13、【点睛】本题考查了相互独立事件概率的乘法公式，考查了考生的分析能力，属于基础题.16【解析】由分层抽样的知识可得，即，所以高三被抽取的人数为，应填答案三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）由平面与平面没有交点，可得与不相交，又与共面，所以，同理可证，得证；（2）由四边形是平行四边形，且，则不可能是矩形，所以与不垂直；（3）先证，可得为的中点，从而得出是的中点，可得.【详解】（1）依题意都在平面上，因此平面，平面，又平面，平面，平面与平面平行，即两个平面没有交点，则与不相交，又与共面，所以，同理可证，所以四边形

14、是平行四边形；（2）因为，两点不在棱的端点处，所以，又四边形是平行四边形，则不可能是矩形，所以与不垂直；（3）如图，延长交的延长线于点，若四边形为菱形，则，易证，所以，即为的中点，因此，且，所以是的中位线，则是的中点，所以.【点睛】本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和线段长的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，属中档题.18（1）见解析（2）【解析】（1）连结BM，推导出BCBB1，AA1BC，从而AA1MC，进而AA1平面BCM，AA1MB，推导出四边形AMNP是平行四边形，从而MNAP，由

15、此能证明MN平面ABC（2）推导出ABA1是等腰直角三角形，设AB，则AA12a，BMAMa，推导出MCBM，MCAA1，BMAA1，以M为坐标原点，MA1，MB，MC为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角ACMN的余弦值【详解】（1）如图1，在三棱柱中，连结，因为是矩形，所以，因为，所以， 又因为，所以平面，所以，又因为，所以是中点，取中点，连结，因为是的中点，则且， 所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（图1） （图2）（2）因为，所以是等腰直角三角形，设，则，.在中，所以.在中，所以，由（1）知，则，如图2，以为坐标原点，的方向分别为轴，

16、轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，.所以，则，设平面的法向量为，则即取得.故平面的一个法向量为，因为平面的一个法向量为，则.因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查了利用空间向量法求解二面角的方法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（1）见解析；（1）见证明【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（1）问题转化为证exx1xlnx10，根据xlnxx（x1），问题转化为只需证明当x0时，ex1x1+x10恒成立，令k（x）ex1x1+x1，（x0），根据

17、函数的单调性证明即可【详解】（1），当，当，在上递增，在上递减，在取得极大值，极大值为，无极大值.（1）要证f（x）+1exx1即证exx1xlnx10，先证明lnxx1，取h（x）lnxx+1，则h（x），易知h（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减，故h（x）h（1）0，即lnxx1，当且仅当x1时取“”，故xlnxx（x1），exx1xlnxex1x1+x1，故只需证明当x0时，ex1x1+x10恒成立，令k（x）ex1x1+x1，（x0），则k（x）ex4x+1，令F（x）k（x），则F（x）ex4，令F（x）0，解得：x1ln1，F（x）递增，故x（0，1ln1时，F（x）0，F（

18、x）递减，即k（x）递减，x（1ln1，+）时，F（x）0，F（x）递增，即k（x）递增，且k（1ln1）58ln10，k（0）10，k（1）e18+10，由零点存在定理，可知x1（0，1ln1），x1（1ln1，1），使得k（x1）k（x1）0，故0 xx1或xx1时，k（x）0，k（x）递增，当x1xx1时，k（x）0，k（x）递减，故k（x）的最小值是k（0）0或k（x1），由k（x1）0，得4x11，k（x1）1+x11（x11）（1x11），x1（1ln1，1），k（x1）0，故x0时，k（x）0，原不等式成立【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于中档题20（1）（2）最大值为【解析】（1）利用消去参数，求得曲线的普通方程，再转化为极坐标方程.（2）设出两点的坐标，求得的表达式，并利用三角恒等变换进行化简，再结合三角函数最值的求法，求得的最大值.【详解】（1）由消去得曲线的普通方程为.所以的极坐标方程为，即.（2）不妨设，则当时，取得最大值，最大值为.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程