2017年中考数学综合题复习讲义

1、2014年中考数学综合题复习（动点问题详细分层解析，尖子生首选资料 ）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解

2、决问题的能力图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于

3、我们教师在教学中研究对策，把握方向只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例 1 )如图 1,在半径为 6,圆心角为 90的扇形 OAB的弧

4、AB上,有一个动点 P,PHOA,垂足为 H,OPH的重心为 G.(1)当点 P在弧 AB上运动时,线段 GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设 PH x ,GP y ,求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量 x 的取值范围).(3)如果PGH是等腰三角形,试求出线段 PH的长.解:(1)当点 P在弧 AB上运动时,OP保持不变,于是线段 GO、GP、GH2 12BO中,有长度保持不变的线段，这条线段是 GH= NH= OP=2.33 2POH OP2 PH 2 36 x2(2)在 Rt POH中 ,yNx112G

5、MH OH 36 x 2.2AMH在 RtMPH中,图 11 1 36 3xMP PH2 MH2 x2 9 x2242.第 1 页 共 48 页213 y =GP= MP=36 3x2(0 6).x3(3)PGH是等腰三角形有三种可能情况:12GP=PH时,GP=GH时,36 3x x ,解得 x 6 . 经检验, x 6 是原方程的根,且符合题意.3136 3x2 2 ,解得 x 0. 经检验, x 0是原方程的根,但不符合题意.3PH=GH时,x 2 .综上所述,如果PGH是等腰三角形,那么线段 PH的长为 6 或 2.二、应用比例式建立函数解析式例 2 如图 2,在ABC中,AB=AC=

6、1,点 D,E在直线 BC上运动.设 BD=x, CE=y .(1)如果BAC=30,DAE=105,试确定 y 与 x 之间的函数解析式；(2)如果BAC的度数为 ,DAE的度数为 ,当 , 满足怎样的关系式时,(1)中 y 与 x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.A解:(1)在ABC中,AB=AC,BAC=30,ABC=ACB=75,ABD=ACE=105.BAC=30,DAE=105, DAB+CAE=75,又DAB+ADB=ABC=75,DECAE=ADB,BCADBEAC, ABBD ,图 2CE AC1x 1 , y .1 xy(2)由于DAB+CAE= ,又DAB+ADB=A

7、BC=90 ,且2F3(1)E函数关系式成立,90 = , 整理得 90.B221当 90时,函数解析式 y 成立.P2x例 3(2005年 上 海 )如 图 3(1),在 ABC中 , ABC=90,AB=4,BC=3. 点 O是边 AC上的一个动点,以点 O为圆心作半圆,与边AB相切于点 D,交线段 OC于点 E.作 EPED,交射线 AB于点 P,交射线CB于点 F.DACE O(1)求证: ADEAEP.PB(2)设 OA=x ,AP=y ,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定F义域.D(3)当 BF=1时,求线段 AP的长.第 2 页 共 48 页COA3(2)解:(1)连结

8、 OD.根据题意,得 ODAB,ODA=90,ODA=DEP.又由 OD=OE,得ODE=OED.ADE=AEP, ADEAEP.ODxADx(2)ABC=90,AB=4,BC=3, AC=5. ABC=ADO=90, ODBC, , ,35453438OD= x ,AD= x. AE=x x= x .555585y4 x5x25).8AE AD165ADEAEP, ,. yx (0 x AP AE8x5(3)当 BF=1时，若 EP交线段 CB的延长线于点 F,如图 3(1)，则 CF=4.ADE=AEP, PDE=PEC. FBP=DEP=90, FPB=DPE,F=PDE,8F=FEC,

9、 CF=CE.55- x =4,得 x .可求得 y 2,即 AP=2.58若 EP交线段 CB于点 F,如图 3(2), 则 CF=2.类似,可得 CF=CE.8155- x =2,得 x .58可求得 y 6,即 AP=6.综上所述, 当 BF=1时,线段 AP的长为 2或 6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例 4 如图,在ABC中,BAC=90,AB=AC=2 2 ,A的半径为 1.若点 O在 BC边上运动(与点 B、C不重合),设 BO=x ,AOC的面积为 y .A(1)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点 O为圆心,BO长为半径作圆 O,求当O与A

10、相切时,AOC的面积.C解:(1)过点 A作 AHBC,垂足为 H.BOH1BAC=90,AB=AC=2 2 , BC=4,AH= BC=2. OC=4-x .图 821 SAOC OC AH , y x 4 (0 x 4 ).2(2)当O与A外切时,在 RtAOH中,OA=x 1,OH=2 x ,(x 1)2 22 (2 x)2.解得x 7.6717此时,AOC的面积 y =4 .66当O与A内切时,第 3 页 共 48 页在 RtAOH中,OA=x 1,OH=x 2,(x 1)2 22 (x 2)2.解得x 7.271此时,AOC的面积 y =4 .221761或 .2综上所述,当O与A相

11、切时,AOC的面积为专题二：动态几何型压轴题动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、以动态几何为主线的压轴题（一）点动问题1（09年徐汇区）如图， ABC 中， AB AC 10 ， BC 12 ，点 D 在边 BC 上，且 BD 4，以点 D 为顶点作 EDF B ，

12、分别交边 AB 于点 E ，交射线CA 于点 F （1）当 AE 6 时，求 AF 的长；（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的C 和以点 A 为圆心 AE 长为半径的 A 相切时，求 BE 的长；（3）当以边 AC 为直径的O 与线段 DE 相切时，求 BE 的长题型背景和区分度测量点A本题改编自新教材九上相似形24.5(4)例六,典型F的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,当 E点在 AB边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位

13、置关系,从而利用方程思想来求解EDBC区分度性小题处理手法1直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用 d=r建立方程2圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用 d=Rr(R r )建立方程3解题的关键是用含 x 的代数式表示出相关的线段. 略解CF CD解：（1） 证明 CDF EBD ，代入数据得CF 8，AF=2BD BE32（2）设 BE=x ,则 d AC 10, AE 10 x, 利用（1）的方法CF ，x32相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，10 10 x ， x 4 2 ；x32内切，10 10 x x ， x 10 2 17 0 x 10当C 和 A 相切时，

14、BE 的长为 4 2 或10 2 17 第 4 页 共 48 页203（3）当以边 AC 为直径的O 与线段 DE 相切时， BE 类题 一个动点：09杨浦 25题（四月、五月）、09静安 25题、两个动点：09闸北 25题、09松江 25题、09卢湾 25题、09青浦 25题（二）线动问题在矩形 ABCD中，AB3，点 O在对角线 AC上，直线 l过点 O，且与 AC垂直交 AD于点 E.(1)若直线l过点 B，把ABE沿直线 l翻折，点 A与矩形 ABCD的对称中心 A重合，求 BC的长；1(2)若直线 l与 AB相交于点 F，且 AO AC，设 AD的长为 x ，五边形4lBCDEF的面

15、积为 S.求 S关于 x 的函数关系式，并指出 x 的取值范AED围；3O探索：是否存在这样的 x ，以 A为圆心，以 x 长为半径的圆A4与直线 l相切，若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由题型背景和区分度测量点BC本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线 l 沿 AB边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二区分度性小题处理手法lAEDO1找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法F2直线与圆的相切的

16、存在性的处理方法：利用 d=r建立方程3解题的关键是用含 x 的代数式表示出相关的线段. 略解BC1(1)A是矩形 ABCD的对称中心ABAA AC2ABAB，AB3AC6 BC 3 3 9 ， AO 1x 9 ， AF 1 (x 9) ， AE x2 9(2) AC x2224124x SAEF 1 AE AF (x2 9)2， S 3x (x2 9)2296x96xS x4 270 x2 8196x( 3 x 3 3 )314 9 ， x1 0 (舍去)， x2 8 x 38x x2不存在若圆 A与直线 l相切，则2455这样的 x ，使圆 A与直线 l相切类题09虹口 25题（三）面动问

17、题如图，在 ABC 中， AB AC 5, BC 6 ， D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上A第 5 页 共 48 页DEB GF C的两个动点（ D 不与 A 、 B 重合），且保持 DEBC ，以 DE 为边，在点 A 的异侧作正方形 DEFG.（1）试求 ABC 的面积；（2）当边 FG 与 BC 重合时，求正方形 DEFG 的边长；（3）设 AD x ， ABC 与正方形 DEFG 重叠部分的面积为 y ，试求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；（4）当 BDG 是等腰三角形时，请直接写出 AD 的长题型背景和区分度测量点例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，

18、在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当 D点在 AB边上运动时，正方形 DEFG 整体动起来，GF边落在 BC边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段 AD的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二区分度性小题处理手法AKAADADAEFEFDEFDEFDEFC BCB GKCC B G KCBUGBGG图3-3图3-4图3-1图3-2图3-51找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图 3-1、3-2重叠部分分别为正方

19、形和矩形包括两种情况2正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图 3-3、3-4、3-5用方程思想解决3解题的关键是用含 x 的代数式表示出相关的线段. 略解解：（1） SABC 12 .a4 a12（2）令此时正方形的边长为 a ，则 ，解得 a .6452 6 5 36（3）当 0 x 2 时，y x x，22564245x 24当 2 x 5时，y x 5 x x2.5525125 25 20, .73 11 7（4） AD ,类题 改编自 09奉贤 3月考 25题，将条件（2）“当点 M、N分别在边 BA、CA上时”,去掉，同时加到第（3）题中.F已知：在ABC中，AB=AC，B=30

20、，BC=6，点 D在边 BC上，点 E在线段 DC上，DE=3，DEF是等边三角形，边ANDF、EF与边 BA、CA分别相交于点 M、NM第 6 页 共 48 页BDEC （1）求证：BDMCEN；（2）设 BD=x ，ABC与DEF重叠部分的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域（3）当点 M、N分别在边 BA、CA上时,是否存在点 D，使以 M为圆心, BM为半径的圆与直线 EF相切,如果存在，请求出 x的值；如不存在，请说明理由例 1：已知O的弦 AB的长等于O的半径，点 C在O上变化（不与 A、B）重合，求ACB的大小 .分析：点 C的变化是否影响ACB的大小的变化

21、呢?我们不妨将点 C改变一下,如何变化呢？可能在优弧 AB上，也可能在劣弧 AB上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点 C在优弧 AB上变化时，ACB所对的弧是劣弧 AB，它的大小为劣弧 AB的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结 AO、BO，则由于 AB=OA=OB，即三角形 ABC为等边三角形，则AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系1得出：ACB=2 AOB=300，当点 C在劣弧 AB上变化时，ACB所对的弧是优弧 AB，它的大小为优弧 AB的一半，由AOB=600得，优弧 AB的度数为 3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：ACB=15

22、00，AB因此，本题的答案有两个，分别为 300或 1500.反思：本题通过点 C在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。从C而需要分类讨论。这样由点 C的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常ABC出现。O变式 1：已知ABC是半径为 2的圆内接三角形，若 AB 2 3 ，求C的大O小.本题与例 1的区别只是 AB与圆的半径的关系发生了一些变化,其解题方法与上1AB13122sin AOB AOB 6002OB2 ,则面一致,在三角形 AOB中,即AOB 1200,C 600从而当点 C在优弧 AB上变化时，C所对的弧是劣弧 AB，它的大小为劣弧 AB的一半，即,当点 C在劣弧 AB上变化

23、时，C所对的弧是优弧 AB，它的大小为优弧AB的一半，由AOB=1200得，优弧 AB的度数为 3600-1200=2400，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：C=1200，BAAC 600或C=1200.因此变式 2: 如图,半经为 1的半圆 O上有两个动点 A、B，若 AB=1，判断AOB的大小是否会随点 A、B的变化而变化，若变化，求出变化范围，若不变化，求出它的值。CCDDOBE四边形 ABCD的面积的最大值。FH O G第 7 页 共 48 页解：（1）由于 AB=OA=OB，所以三角形 AOB为等边三角形，则AOB=600，即AOB的大小不会随点A、B的变化而变化。3（2）四

24、边形 ABCD的面积由三个三角形组成，其中三角形 AOB的面积为 4 ，而三角1211OD AF OC BG (AF BG)22形 AOD与三角形 BOC的面积之和为，又由梯形12(AF BG) EH的中位线定理得三角形 AOD与三角形 BOC的面积之和，要四边形3ABCD的面积最大，只需 EH最大，显然 EHOE= 2 ，当 ABCD时，EH=OE，因此33 3 3四边形 ABCD的面积最大值为 4 + 2 =4.对于本题同学们还可以继续思考:四边形 ABCD的周长的变化范围.变式 3: 如图,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的两个顶点分C别为 A、B，另一个顶点 C在半圆

25、上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？要求说明理由（广州市 2000年考题）分析：要使三角形 ABC的面积最大，而三角形 ABC的底边 AB为圆的直径为常量，只需 AB边上的高最大即可。过点 C作 CDAB于点 D，连结 CO，AOBCD由于 CDCO，当 O与 D重合，CD=CO，因此，当 CO与 AB垂直时，即 C为半圆弧的中点时，其三角形 ABC的面积最大。本题也可以先猜想，点 C为半圆弧的中点时，三角形 ABC的面积最大，故只需另选一个位置 C1（不与 C重合），证明三角形 ABC的面积大于三角形 ABC1的面积即可。如图AOB121212显然三角形 ABC1的面积= ABC1D

26、，而 C1D C1O=CO,则三角形 ABC1的面积= ABC1D ABC1O=三角形 ABC的面积,因此,对于除点 C外的任意点 C1,都有三角形 ABC1的面积小于三角形三角形 ABC的面积,故点 C为半圆中点时,三角形 ABC面积最大.本题还可研究三角形 ABC的周长何时最大的问题。C1C提示：利用周长与面积之间的关系。要三角形 ABC的周长最大，AB为常数，只需 AC+BC最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2ACBC=AB2+4ABC的面积，因此ABC的面积最大时，AC+BC最大，从而ABC的周长最大。从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现,解决动态几何问题的常见方法有:A

27、DOB一、特殊探路，一般推证例 2：如图，O1和O2内切于 A，O1的半径为 3，O2的半径为第 8 页 共 48 页BPPC2，点 P为O1上的任一点（与点 A不重合），直线 PA交O2于点 C，PB切O2于点 B，则的值为326232（D）（A）（B）（C）分析：本题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是正确的，因此可以取一个特殊位置进行研究，当点 P满足 PBAB时，可以通过计算得出 PB=BO2A3 1 2 22 2O1BCAP=BPAB，因此CPAB BP8 2 8 2 4 216 8 2 6 6 ，AB2 BP2BC=2 6BP BC 2 23BA在三角形 BPC中，PC=，O1

28、 O2BP所以， PC =3选（B）CPBP APPC BP ，即可计算出结论。当然，本题还可以根据三角形相似得作为一道选择题，到此已经完成，但如果是一道解答题，我们得出的结论只是一个特殊情况，还要进一步证明对一般情况也成立。例 3：如图，在等腰直角三角形 ABC中，斜边 BC=4，OA BC于 O,点 E和点 F分别在边 AB、AC上滑动并保持 AE=CF,但点 F不与 A、C重合，点 E不与 B、A重合。A判断 OEF的形状，并加以证明。E判断四边形 AEOF的面积是否随点 E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.F AEF的面积是否随着点 E、F的变化而变化，若变化

29、，求其变化范围CBO，若不变化，求它的值。分析：本题结论很难发现，先从特殊情况入手。最特殊情况为 E、F分别为 AB、AC中点，显然有EOF为等腰直角三角形。还可发现当点 E与 A无限接近时，点 F与点 C无限接C近，此时EOF无限接近AOC，而AOC为等腰直角三角形，几种特殊情D况都可以得出EOF为等腰直角三角形。一般情况下成立吗？OE与 OF相等B吗？EOF为直角吗？能否证明。如果它们成立，便可以推出三角形 OFC与三角形 OEA全等，一般情况下这两个三角形全等吗？A不难从题目的条件可得：OA=OC，OCF=OAE，而 AE=CF，则OEAOFC， 则 OE=OF， 且 FOC= EOA，

30、 所 以 EOF= EOA+ AOF= FOC+FOA=900，则EOF为直角，故EOF为等腰直角三角形。第 9 页 共 48 页二、例 4 ）在O中，C为弧 AB的中点，D为弧 AC上任一点（与 A、C不重合），则（A）AC+CB=AD+DB (B) AC+CBAD+DB (D) AC+CB与 AD+DB的大小关系不确定分析:本题可以通过动手操作一下,度量 AC、CB、AD、DB的长度，可以尝试换几个位置量一量，得出结论（C）例 5：如图，过两同心圆的小圆上任一点 C分别作小圆的直径 CA和非直径的弦 CD，延长 CA和CD与大圆分别交于点 B、E，则下列结论中正确的是（ * ）DE AB

31、（B） DE AB（A）EDE, AB 的大小不确定（C） DE AB （D）D分析：本题可以通过度量的方法进行，选（B）本题也可以可以证明得出结论，连结 DO、EO，则在三角形 OED中，CBA由于两边之差小于第三边，则OEODDE,即 OBOA3).动点 M，N同时从 B点出发，分别沿 BA，BC运动，速度是 1厘米/秒.过 M作直线垂直于 AB，分别交 AN，CD于 P，Q.当点 N到达终点 C时，点 M也随之停止运动.设运动时间为 t秒.(1)若 a=4厘米，t=1秒，则 PM=厘米；(2)若 a=5厘米，求时间 t，使PNBPAD，并求出它们的相似比；(3)若在运动过程中，存在某时刻

32、使梯形 PMBN与梯形 PQDA的面积相等，求 a的取值范围；(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形 PMBN，梯形 PQDA，梯形 PQCN的面积都相等?若存在，求 a的值；若不存在，请说明理由. 评析 本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进，将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3)，解决此题的关键是运用相似三角形的性质用 t的代数式表示 PM，进而利用梯形面积相等列等式求出 t与 a的函数关系式，再利用 t的范围确定的 a取值范围. 第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的

33、过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握.4 以双动点为载体，探求函数最值问题 例 4 )如图 9，在边长为 82cm的正方形 ABCD中，E、F是对角线 AC上的两个动点，它们分别从点A、C同时出发，沿对角线以 1cm/s的相同速度运动，过 E作 EH垂直 AC交 RtACD的直角边于 H；过 F作 FG垂直 AC交 RtACD的直角边于 G，连结 HG、EB.设 HE、EF、FG、GH围成的图形面积为 S1，AE、EB、BA围成的图形面积为 S2(这里规定：线段的面积为 0).E到达 C，F到达 A停止.若 E的运动时间第 13 页 共 48 页为 x(s)，解答下列问题：(1)当 0X(

34、2)若 y是 S1与 S2的和，求 y与 x之间的函数关系式； (图 10为备用图)求 y的最大值.解 (1)以 E、F、G、H为顶点的四边形是矩形，因为正方形 ABCD的边长为 82，所以 AC=16，过 B作BOAC于 O，则 OB=89，因为 AE=x，所以 S2=4x，因为 HE=AE=x，EF=16-2x，所以 S1=x(16-2x)，当 S1=S2时， 4x=x(16-2x)，解得 x =0(舍去)，x =6，所以当 x=6时， S1=S2.12(2)当 0 x8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20 x，当 8x16时，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16

35、-x)=2x-16，所以 S1=(16-x)(2x-16)， 所以 y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.当 0 x8时，y=-2x2+20 x=-2(x-5)2+50，所以当 x=5时，y的最大值为 50.当 8x16时，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82，所以当 x=13时，y的最大值为 82.综上可得，y的最大值为 82.评析 本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式. 本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查

36、，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用.专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题例题 如图 1，已知抛物线的顶点为 A（2，1），且经过原点 O，与 x轴的另一个交点为 B。y 1x x2）4求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为若点 C在抛物线的对称轴上，点 D在抛物线上，且以 O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D点的坐标；连接 OA、AB，如图 2，在 x轴下方的抛物线上是否存在点 P，使得OBP与OAB相似？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，说明理由。yyAABOBOx

37、x图 1图 2例 1 题图分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以 O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按 OB为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径第 14 页 共 48 页 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示

38、各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 5 3 bx c经过 P( 3，3)， E y ax2，0及原点O(0，0)练习 1、已知抛物线225 3x ）3y x2（1）求抛物线的解析式（由一般式得抛物线的解析式为3（2）过 P 点作平行于 x 轴的直线 PC 交 y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线 PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA平行于 y 轴交 x 轴于 A 点，交直线 PC 于 B 点，直线QA与直线 PC 及两坐标轴围成矩形 OABC 是否存在点 Q ，使得OPC 与PQB 相似？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，说明理由（3）如果符合（2）中的Q 点

39、在 x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形yOPC，PQB，OQP，OQA 之间存在怎样的关系？为什么？PBCOQEAx练习 2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A在 x轴上，点 C在 y轴上，将边 BC折叠，使点 B3落在边 OA的点 D处。已知折叠CE 5 5 ，且 tan EDA 。4（1）判断OCD 与ADE 是否相似？请说明理由；（2）求直线 CE与 x轴交点 P的坐标；（3）是否存在过点 D的直线 l，使直线 l、直线 CE与 x轴所围成的三角形和直线 l、直线 CE与 y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直

40、线；如果不存在，请说明理由。第 15 页 共 48 页练 习 3、 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 二 次 函 数yy ax2 bx c(a 0)的图象与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 BBCO的左边），与 y 轴交于点 C ，其顶点的横坐标为 1，且过点 (2，3) 和E(3，12) A xD（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为练习 2 图y x2 2x 3）（2）若直线l : y kx(k 0) 与线段 BC 交于点 D （不与点 B，C 重合），则是否存在这样的直线l，使得以 B，O，D 为顶点的三角形与 BAC 相似？若存在，求出该

41、直线的函数表达式及点 D 的坐标；若不存在，请说明理由； A(1，0)，B(3，0),C(0，3)（3）若点 P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角 PCO 与ACO 的大小（不必证明），并写出此时点 P 的横坐标 x 的取值范围pyxlCPAByoOAB xCx 1练习 4 图练习 3 图与 轴交于 A、B两点，与x y 轴交于点 Cy x21练习 4 (2009广东湛江市) 如图所示，已知抛物线（1）求 A、B、C三点的坐标（2）过点 A作 APCB交抛物线于点 P，求四边形 ACBP的面积（3）在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M作 MG x

42、轴于点 G，使以 A、M、G三点为顶点的三角形与 PCA相似若存在，请求出 M点的坐标；否则，请说明理由练习 5、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形， ACB 90 ，点 A，C 的坐标分3别为 A(3，0) ，C(1，0) ， tan BAC y4B（1）求过点 A，B 的直线的函数表达式；点 A(3，0) ， C(1，0) ，第 16 页 共 48 页xAOC394B (1，3) ， y x 4（2）在 x 轴上找一点 D ，连接 DB ，使得 ADB 与 ABC 相似（不包括全等），并求点 D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如 P，Q 分别是 AB 和 AD 上的动点

43、，连接 PQ ，设 AP DQ m，问是否存在这样的 m 使得APQ 与ADB 相似，如存在，请求出 m 的值；如不存在，请说明理由参考答案例题、解:由题意可设抛物线的解析式为 y a(x 2)2 1抛物线过原点， 0 a(0 2)2 11 a .4抛物线的解析式为 y 1(x 2)21,即 y 1x2 x44y如图 1,当 OB为边即四边形 OCDB是平行四边形时,CDOB,ABO由 0 1(x 2)21得 x 0, x 4,x124B(4,0),OB4.D点的横坐标为 6D 1(x 2)21,得 y3,C图 1将 x6代入 y4D(6,3);根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存

44、在点 D,使得四边形 ODCB是平行四边形,此时 D点的坐标为(2,3),y当 OB为对角线即四边形 OCBD是平行四边形时,D点即为 AA点,此时 D点的坐标为(2,1)BOE如图 2，由抛物线的对称性可知:AOAB,AOBABO.若BOP与AOB相似,必须有POBBOABPO设 OP交抛物线的对称轴于 A点,显然 A(2,1)1xA直线 OP的解析式为 y x图 2P2 1x x 241 x ,由2得 x 0, x 612.P(6,3)过 P作 PEx轴,在 RtBEP中,BE2,PE3,PB 13 4.PBOB,BOPBPO,第 17 页 共 48 页PBO与BAO不相似,同理可说明在对

45、称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 P点.所以在该抛物线上不存在点 P,使得BOP与AOB相似.练习 1、解：（1）由已知可得：3a 3b 3755 3225 33a b 0 解之得， a ，b ， c 0 43c 025 3y x2x 因而得，抛物线的解析式为：（2）存在3325 33设Q 点的坐标为 (m， n) ，则n m2m ，325 333 m2mBQ PB ，则有 3 n m 3m 33要使OCP PBQ,，即CP OC3333解之得， m 2 3， m 2 12当 m 2 3 时， n 2 ，即为Q 点，所以得Q(2 3，2)123 m5 332mBQ PB ，则有 3 n m

46、 3m 33要使OCP QBP,，即OC CP3333解之得， m 3 3， m 3 ，当 m 3 时，即为 P 点，12y当 m 3 3 时， n 3，所以得Q(3 3， 3) 1BCO故存在两个Q 点使得OCP 与PBQ 相似Q 点的坐标为 (2 3，2)，(3 3， 3) CP3E12DA x3所以 COP 30 3图 1（3）在 RtOCP 中，因为 tan COP OC当Q 点的坐标为 (2 3，2) 时， BPQ COP 30 所以 OPQ OCP B QAO 90 第 18 页 共 48 页因此，OPC，PQB，OPQ，OAQ 都是直角三角形QAAO3又在 RtOAQ 中，因为

47、tan QOA 所以 QOA 30 3即有 POQ QOA QPB COP 30 所以OPC PQB OQP OQA ，又因为QPOP， QAOA POQ AOQ 30 ，yl所以OQAOQP NBECOMG练习 2解：（1）OCD 与ADE 相似。P理由如下：DAx由折叠知， CDE B 90 ，1 2 90 ， 1 3 90 2 3.，又COD DAE 90 ，OCD ADE 。AEAD34（2）tan EDA ，设 AE=3t，F则 AD=4t。图 2由勾股定理得 DE=5t。OC AB AE EB AE DE 3t 5t 8t 。OC CD由（1）OCD ADE ，得，AD DE8tC

48、D ，4t 5tCD 10t 。在DCE 中，CD DE CE2 2 2，(10t)2 (5t)2 (5 5)2，解得 t=1。OC=8，AE=3，点 C的坐标为（0，8），第 19 页 共 48 页点 E的坐标为（10，3），设直线 CE的解析式为 y=kx+b，110k b 3， k ，b 8，解得 2b 8，1 y x 8，则点 P的坐标为（16，0）。2（3）满足条件的直线 l有 2条：y=2x+12，y=2x12。如图 2：准确画出两条直线。练习 3解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为 1，且过点 (2，3) 和 (3，12) ， b1，a 1，2a由 4a 2b c 3， 解得 b

49、 2，9a 3b 2 12.c 3.此二次函数的表达式为 y x2 2x 3（2）假设存在直线 l : y kx(k 0) 与线段 BC 交于点 D （不与点 B，C 重合），使得以 B，O，D 为顶点的三角形与BAC 相似y x2 2x 3中，令 y 0，则由 x2 2x 3 0 ，解得 x1 1，x 32在xl A(1，0)，B(3，0)令 x 0 ，得 y 3C(0，3) COD设过点O 的直线l 交 BC 于点 D ，过点 D 作 DE x 轴于点 E 点 B 的坐标为 (3，0) ，点C 的坐标为 (0，3) ，点 A 的坐标为 (1，0)AEBy AB 4，OB OC 3，OBC

50、45 . BC 32 32 3 2 x 1要使BOD BAC 或BDO BAC ，第 20 页 共 48 页BDBCBOBA已有 B B ，则只需，BOBCBDBA或.成立BO BC 33 2 9 24若是，则有 BD BA4而 OBC 45 ， BE DE 29 24在 RtBDE 中，由勾股定理，得 BE2 DE2 2 BE2 BD2解得BE DE 9 （负值舍去）4934 OE OB BE 3 4 3 9 4 4 点 D 的坐标为， 将点 D 的坐标代入 y kx(k 0)中，求得 k 3满足条件的直线l 的函数表达式为 y 3x 或求出直线 AC 的函数表达式为 y 3x 3，则与直线

51、 AC 平行的直线 l 的函数表达式为 y 3x 此时易知BOD BAC ，再求出直线 BC 的函数表达式为 y x 3 联立 y 3x，y x 3 求得 3 9 点 D 的坐标为 ， 4 4 BO BA 34 2 2 3 2若是，则有 BD BC而 OBC 45 ， BE DE 2 2 2 2在 RtBDE 中，由勾股定理，得 BE DE 2 BE BD (2 2)2解得BE DE 2（负值舍去） OE OB BE 3 2 1第 21 页 共 48 页点 D 的坐标为 (1，2) 将点 D 的坐标代入 y kx(k 0)中，求得 k 2 满足条件的直线l 的函数表达式为 y 2x 存在直线

52、l : y 3x 或 y 2x 与线段 BC 交于点 D （不与点 B，C 重合），使得以 B，O，D 为顶点 3 9 的三角形与BAC 相似，且点 D 的坐标分别为 ， 或 (1，2) 4 4 （3）设过点C(0，3)，E(1，0) 的直线 y kx 3(k 0)与该二次函数的图象交于点 P 将点 E(1，0) 的坐标代入 y kx 3中，求得 k 3此直线的函数表达式为 y 3x 3设点 P 的坐标为 (x，3x 3) ，并代入y x2 2x 3，得x25x 0解得 x 5，x 0（不合题意，舍去）x12x 5，y 12C点 P 的坐标为 (5，12)C此时，锐角 PCO ACO又二次函数

53、的对称轴为 x 1，AOEB点C 关于对称轴对称的点C 的坐标为 (2，3) 当 x 5 时，锐角 PCO ACO ；pPx 1当 x 5 时，锐角 PCO ACO；p当 2 x 5时，锐角 PCO ACOyp练习四P解：（1）令 y 0，得令 x 0 ，得 y 1x21 0解得x 1o A(1, 0) B(1, 0) C(0,1)AB xC（2）OA=OB=OC=1 BAC= ACO= BCO=45图 1第 22 页 共 48 页APCB， PAB=45过点 P作 PE x 轴于 E，则 APE为等腰直角三角形令 OE=a ，则 PE=a 1 P(a,a 1)y x2 1上 a 1 a2 1

54、点 P在抛物线解得 a 2， a 1（不合题意，舍去）12PE=31111四边形 ACBP的面积 S = ABOC+ ABPE= 21 23 42222(3) 假设存在 PAB= BAC =45PA ACMG x 轴于点 G， MGA= PAC =90y在 RtAOC中，OA=OC=1在 RtPAE中，AE=PE=3设 M点的横坐标为 m ，则 MAC= 2MGPAP= 3 2(m,m 1)2点 M在 y 轴左侧时，则 m 1oABAG MGC() 当 AMG PCA时，有=PA CA图 2m 1 m21AG=m 1，MG=m21即y3 222解得 m 1（舍去） m （舍去）12P3AG M

55、GM() 当 MAG PCA时有=CA PAm 1 m21G解得： m 1（舍去） m 2o即A2B23 2CM(2, 3) 点 M在 y 轴右侧时，则 m 1图 3AG MG() 当 AMG PCA时有=PA CAAG=m 1，MG=m 12第 23 页 共 48 页m 1 m2143解得 m 1（舍去） m 1 23 224 7M( , )3 9AG MG() 当 MAG PCA时有=CA PAm 1 m21即23 2解得： m 1（舍去） m 412M(4,15)存在点 M，使以 A、M、G三点为顶点的三角形与 PCA相似4 7M点的坐标为 (2, 3) ， ( , )， (4,15)3

56、 9练习 5、解：（1）点 A(3，0) ，C(1，0)3 AC 4， BC tanBAC AC 4 3， B 点坐标为 (1，3)4设过点 A，B 的直线的函数表达式为 y kx b ，0 k (3) b由 3 k b39394y得 k ，b 直线 AB 的函数表达式为 y x B444P（2）如图 1，过点 B 作 BD AB ，交 x 轴于点 D ，在 RtABC 和 RtADB 中，BAC DABRtABC RtADB ，O Q CD xA4D 点为所求又 tanADB tanABC ，图 134913 13 4 ，D 4 ，0CD BC tanADB 3 OD OC CD 34（3）

57、这样的 m 存在在 RtABC 中，由勾股定理得 AB 5如图 1，当 PQBD 时，APQ ABDyB13P34 mm259则，解得 m 1353Q O CAD x4图 2如图 2，当 PQ AD 时，APQ ADB第 24 页 共 48 页1334 m，解得 m 12536则m13 534例 1(2008福建福州)如图，已知ABC是边长为 6cm的等边三角形，动点 P、Q同时从 A、B两点出发，分别沿 AB、BC匀速运动，其中点 P运动的速度是 1cm/s，点 Q运动的速度是 2cm/s，当点 Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为 t（s），解答下列问题：（1）当 t2时，判断

58、BPQ的形状，并说明理由；（2）设BPQ的面积为 S（cm2），求 S与 t的函数关系式；（3）作 QR/BA交 AC于点 R，连结 PR，当 t为何值时，APRPRQ？分析:由 t2求出 BP与 BQ的长度,从而可得BPQ的形状;1作 QEBP于点 E,将 PB,QE用 t表示,由 SBPQ = BPQE可得2S与 t的函数关系式;先证得四边形 EPRQ为平行四边形,得 PR=QE,再由APRPRQ,对应边成比例列方程,从而 t值可求.解:(1)BPQ是等边三角形,当 t=2时,AP=21=2,BQ=22=4,所以 BP=AB-AP=6-2=4,即 BQ=BP.又因为B=600,所以BPQ是

59、等边三角形.(2)过 Q作 QEAB,垂足为 E,由 QB=2t,得 QE=2tsin600= 3 t,113 t2+3 3 t；2由 AP=t,得 PB=6-t,所以 SBPQ = BPQE= (6-t) 3 t=22(3)因为 QRBA,所以QRC=A=600，RQC=B=600，又因为C=600,所以QRC是等边三角形,这时 BQ=2t,所以 QR=RC=QC=6-2t.1因为 BE=BQcos600= 2t=t,AP=t,所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,2所以 EP=QR,又 EPQR,所以四边形 EPRQ是平行四边形,所以 PR=EQ= 3 t,AP PR ,即t

60、3t6由APRPRQ,得到,解得 t= ,5PR RQ3t 6 2t6所以当 t= 时, APRPRQ.5点评: 本题是双动点问题.动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.例 2(2008浙江温州)如图，在 RtABC 中， A 90 ， AB 6， AC 8， D，E 分别是边AB，AC 的中点，点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动，过点 P 作 PQ BC 于 Q ，过点 Q 作 QRBA