人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第八章第3节　椭　圆

1、第3节椭圆知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练椭圆的定义及其应用3,4,5椭圆的标准方程2,7,1011椭圆的几何性质1,8,912,13直线和椭圆的位置关系6综合问题14,15,16,17181.已知椭圆C:x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为(C)A.13 B.12 C.22 D.223解析:因为a2=4+22=8,所以a=22,所以e=ca=222=22.故选C.2.“2m0,6-m0,m-26-m,所以2m6,且m4.故“2mb0)相交于两点A,B,线段AB的中点为M(1,1),则椭圆的离心率是(A)A.12 B.22C.32D.34解析:设A(x1,y1)

2、,B(x2,y2),则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,作差得x12-x22a2+y12-y22b2=0,即(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0,两边同时除以x1-x2,得x1+x2a2+y1+y2b2y1-y2x1-x2=0,因为x1+x2=2,y1+y2=2,y1-y2x1-x2=-34,代入得2a2+2(-34)b2=0,所以b2a2=34,e=12.故选A.7.设F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若F2AB是面积为43的等边三角形,则椭圆C的方程为.解析:由题意知

3、,|AF2|=|BF2|=|AB|=|AF1|+|BF1|,又由椭圆的定义知|AF2|+|AF1|=|BF2|+|BF1|=2a,联立,解得|AF2|=|BF2|=|AB|=43a,|AF1|=|BF1|=23a,所以SF2AB=12|AB|AF2|sin 60=43,所以a=3,|F1F2|=32|AB|=23,所以c=3,所以b2=a2-c2=6,所以椭圆C的方程为x29+y26=1.答案:x29+y26=18.(2021浙江临海高三模拟)已知C,F分别是椭圆:x2a2+y2b2=1的左顶点和左焦点,A,B分别是椭圆的下、上顶点,设AF和BC交于点D,若CD=2DB,则椭圆的离心率为.解析

4、:设椭圆的左焦点为F(-c,0),由题意得A(0,-b),B(0,b),C(-a,0),由CD=2DB可得,CB=3DB,则D(-a3,2b3),AF=(-c,b),AD=(-a3,5b3),因为向量AF,AD共线,所以-5bc3+ab3=0,解得e=ca=15.答案:159.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=3(x+c)与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1,则该椭圆的离心率为. 解析:由y=3(x+c)知直线的倾斜角为60,所以MF1F2=60,MF2F1=30,所以F1MF2=90.所以|MF1|=c,|MF2|=3c.又|M

5、F1|+|MF2|=2a,所以c+3c=2a,即e=23+1=3-1.答案:3-110.分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)与椭圆x24+y23=1有相同的离心率且经过点(2,-3);(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P到两焦点的距离分别为5,3,过点P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点.解:(1)由题意,设所求椭圆的方程为x24+y23=t1或y24+x23=t2(t1,t20),因为椭圆过点(2,-3),所以t1=224+(-3)32=2或t2=(-3)42+223=2512.故所求椭圆的标准方程为x28+y26=1或y2253+x2254=1.(2)由于焦点的位置不确

6、定,所以设所求的椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0)或y2a2+x2b2=1(ab0),由已知条件得2a=5+3,4c2=52-32,解得a=4,c=2,所以b2=12.故椭圆方程为x216+y212=1或y216+x212=1.11.已知圆O:x2+y2=4,从圆上任意一点M向x轴作垂线段MN,N为垂足,则线段MN的中点P的轨迹方程为(A)A.x24+y2=1B.x2+y24=1C.x216+y24=1D.x24+y216=1解析:设线段MN的中点P(x,y),M(x0,y0),所以x=x0,y=y0+02,解得x0=x,y0=2y,又点M在圆O:x2+y2=4上,则x2+(2y)2=

7、4,即x24+y2=1.故选A.12.已知A,B,C是椭圆:x2a2+y2b2=1(ab0)上不同的三点,且原点O是ABC的重心,若点C的坐标为(3a2,b2),直线AB的斜率为-33,则椭圆的离心率为(B)A.13 B.223C.23D.73解析:设AB的中点为点D,因为原点O是ABC的重心,所以C,O,D三点共线,所以kO D=kO C,由于kOCkAB=-b2a2b3a(-33)=-b2a2ba=13,所以e=223.故选B.13.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率

8、的取值范围是(C)A. 12,1)B. 22,32C. 22,1)D. 32,1)解析:从椭圆上长轴端点P向圆引两条切线PA,PB,则两切线形成的APB最小.若椭圆C1上存在点P,所作圆C2的两条切线互相垂直,则只需APB90,即=APO45,所以sin =basin 45=22.又b2=a2-c2,所以a22c2,所以e212,即e22.又0e1,所以22eb0)上一点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,焦距为2c(c0),若F1PF2是直角,则(ABC)A.|OP|=c(O为原点)B.SF1PF2=b2C.F1PF2的内切圆半径r=a-cD.|PF1|max=a+c解析:RtF1PF2中,O为

9、斜边F1F2的中点,所以|OP|=12|F1F2|=c,故A正确;设|PF1|=m,|PF2|=n,则有m2+n2=(2c)2,m+n=2a,所以mn=12(m+n)2-(m2+n2)=2b2,所以SF1PF2=12mn=b2,故B正确;SF1PF2=12(m+n+2c)r=b2,r=2SF1PF2m+n+2c=2b22a+2c=2(a2-c2)2(a+c)=a-c,故C正确;|PF1|=a+c,当且仅当P为椭圆右顶点,此时P,F1,F2不构成三角形,故D错误.故选ABC.15.(多选题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,点M(2,1)在椭圆C上,直线l平行于OM且在

10、y轴上的截距为m,直线l与椭圆C交于A,B两个不同的点.下面结论正确的有(ABC)A.椭圆C的方程为x28+y22=1B.kOM=12C.-2m0,解得-2m2,C正确,D错误.故选ABC.16.(2021浙江杭州高三模拟)如图,M(1,0),P,Q是椭圆x24+y2=1上的两点(点Q在第一象限),且直线PM,QM的斜率互为相反数.若|PM|=2|QM|,则直线QM的斜率为.解析:延长PM,交椭圆于点N,由椭圆的对称性和直线PM,QM的斜率互为相反数可知|QM|=|MN|,如图所示.设直线PM的斜率为k,所以直线PM的方程为y=k(x-1)(k0,设P(x1,y1),N(x2,y2),根据根与

11、系数的关系,可得y1+y2=-2k1+4k2,因为|PM|QM|=2,所以y1=-2y2,所以y1+y2=-y2=-2k1+4k2,则y2=2k1+4k2,x2=21+4k2+1,把N(21+4k2+1,2k1+4k2)代入椭圆方程中,得(21+4k2+1)2+4(2k1+4k2)2=4,解得k2=512,所以k=-512=-156,所以直线QM的斜率为-k=156.答案:15617.椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为A,B,且|AB|=52|BF|.(1)求椭圆C的离心率;(2)若斜率为2的直线l过点(0,2),且l交椭圆C于P,Q两点,OPOQ,求直

12、线l的方程及椭圆C的方程.解:(1)由已知|AB|=52|BF|,即a2+b2=52a,4a2+4b2=5a2,4a2+4(a2-c2)=5a2,所以3a2=4c2.所以e=ca=32.(2)由(1)知a2=4b2,所以椭圆C:x24b2+y2b2=1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.由2x-y+2=0,x24b2+y2b2=1,消去y,得x2+4(2x+2)2-4b2=0,即17x2+32x+16-4b2=0,=322+1617(b2-4)0,解得b21717,x1+x2=-3217,x1x2=16-4b217.因为OPOQ,所以

13、OPOQ=0,即x1x2+y1y2=0,x1x2+(2x1+2)(2x2+2)=0,5x1x2+4(x1+x2)+4=0.从而5(16-4b2)17-12817+4=0,解得b=1,满足b21717.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.综上可知,直线l的方程为2x-y+2=0,椭圆C的方程为x24+y2=1.18.已知椭圆C的方程为x2a2+y23=1,斜率为k(k0)的直线与C相交于M,N两点.(1)若G为MN的中点,且kOG=-34k,求椭圆C的方程;(2)在(1)的条件下,若是椭圆C的左顶点,kPMkPN=-14,F是椭圆的左焦点,要使F在以MN为直径的圆内,求k的取值范围.解:(1)设

14、M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点G(x0,y0),代入椭圆方程得x12a2+y123=1,x22a2+y223=1,-得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)3=0,可得kMN=y1-y2x1-x2=-3a2x1+x2y1+y2=-3a22x02y0=-3a2x0y0=k,因为kOG=-34k=y0 x0,所以-3a2(-4k3)=k,所以a2=4,椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)设MN方程为y=kx+m,则3x2+4y2=12,y=kx+m,(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=k(-8km3+4k2)+2m=6m3+4k2,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k24m2-123+4k2+km(-8km3+4k2)+m2=3m2-12k23+4k2,kPMkPN=y1x1+2y2x2+2=y1y2(x1+2)(x2+2)=y1y2x1x2+2(x1+