人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第七章第6节第二课时　求空间角与距离

1、第二课时求空间角与距离 知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练用空间向量求异面直线所成的角1用空间向量求直线与平面所成的角2,4,911用空间向量求二面角312用空间向量求距离6,8综合问题5,7,1013,14,15,1617,181.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,已知M,N分别是BD和AD的中点,则B1M与D1N所成角的余弦值为(C)A.3030B.3015C.3010D.1515解析:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2,则B1(2,2,2),M(1,1,0),D1(0,0,2),N(1,0,0),所以B1M=(-1,-1,-2),D1N=(1,0

2、,-2),所以B1M与D1N所成角的余弦值为|B1MD1N|B1M|D1N|=|-1+4|1+1+41+4=3010.故选C.2.如图,已知长方体ABCDA1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=3,E为线段AB上一点,且AE=13AB,则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为(A)A.33535B.277C.33D.24解析:如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则C1(0,3,1),D1(0,0,1),E(1,1,0),C(0,3,0),所以DC1=(0,3,1),D1E=(1,1,-1),D1C=(0,3,-1).设平面D1EC的法向量

3、为n=(x,y,z),则nD1E=0,nD1C=0,即x+y-z=0,3y-z=0,取y=1,得n=(2,1,3).所以cos =DC1n|DC1|n|=33535,所以DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为33535.故选A.3.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(B)A.12 B.23C.33D.22解析:以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,则A1(0,0,1),E(1,0,12),D(0,1,0),所以A1D=(0,1,-1),A1E=(1,0,-12),

4、设平面A1ED的法向量为n1=(1,y,z),则n1A1D=0,n1A1E=0,即y-z=0,1-12z=0,所以y=2,z=2,所以n1=(1,2,2).又平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),所以cos=231=23,即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为23.故选B.4.如图,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等,E,F,G分别为AB,AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为(A)A.35 B.56C.3310D.3610解析:设正三棱柱ABCA1B1C1的棱长为2,取AC的中点D,连接DG,DB,以D为原点,分别以DA,DB,DG所在的

5、直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,则B1(0,3,2),F(1,0,1),E(12,32,0),G(0,0,2),所以B1F=(1,-3,-1),EF=(12,-32,1),GF=(1,0,-1).设平面GEF的法向量为n=(x,y,z),则EFn=0,GFn=0,即12x-32y+z=0,x-z=0,取x=1,则z=1,y=3,故n=(1,3,1)为平面GEF的一个法向量,所以cos=1-3-155=-35,所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为35.故选A.5.已知棱长为3的正四面体ABCD的底面BCD确定的平面为,P是内的动点,且满足PA2PD,则动点P的集合构

6、成的图形的面积为(B)A.3B.103C.4D.无穷大解析:如图,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,由题意,得A到的距离为6,则A(32,-32,6),D(0,0,0),设P(x,y,0),所以PA2=(x-32)2+(y+32)2+6,PD2=x2+y2,又PA2PD,所以(x-32)2+(y+32)2+64(x2+y2),整理得x2+33x+y2-y3,所以(x+36)2+(y-12)2103,即P的集合是半径为103的圆(含圆内部),所以图形的面积为103.故选B.6.(2021江西南昌调研)已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上,ABC满足AB=22,ACB=90,PA为

7、球O的直径,且PA=4,则点P到底面ABC的距离为(B)A.2B.22C.3D.23解析:因为三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上,且直径PA=4,所以球心O是PA的中点,连接OC,则球O的半径R=OC=12PA=2.过点O作OD平面ABC,垂足为D,则D为ABC外接圆的圆心,连接CD(图略).在ABC中,AB=22,ACB=90,所以D为AB的中点,且AD=BD=CD=2,所以OD=OC2-CD2=4-2=2,所以点P到底面ABC的距离d=2OD=22.故选B.7.(多选题)(2021山东青岛期末)如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,则下列四个结论正确的是(ABD)A.直线B

8、C与平面ABC1D1所成的角为4B.点C到平面ABC1D1的距离为22C.异面直线D1C与BC1所成的角为4D.三棱柱AA1D1BB1C1外接球的半径为32解析:正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,直线BC与平面ABC1D1所成的角为CBC1=4,故A正确;连接B1C(图略),由B1CBC1,B1CAB,BC1AB=B,BC1,AB平面ABC1D1,得B1C平面ABC1D1,所以点C到平面ABC1D1的距离为B1C长度的一半,即22,故B正确;因为BC1AD1,所以异面直线D1C与BC1所成的角为AD1C,连接AC(图略),则AD1C为等边三角形,故异面直线D1C与BC1所成的角为3,故

9、C错误;三棱柱AA1D1BB1C1的外接球也是正方体ABCDA1B1C1D1的外接球,故外接球的半径为12+12+122=32,故D正确.故选ABD.8.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是CD,PC的中点,并且PA=AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中,MN=.解析:连接PD(图略),因为M,N分别为CD,PC的中点,所以MN=12PD,又P(0,0,1),D(0,1,0),所以|PD|=02+12+(-1)2=2,所以MN=22.答案:229.(2021河北承德期末)已知四棱锥PABCD 的底面是菱形,BAD=60,PD平面ABCD,且PD=AB,点E是棱AD的中点,F在

10、棱PC上.若PFFC=12,则直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为.解析:如图,以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设菱形ABCD的边长为2,则D(0,0,0),E(32,-12,0),F(0,23,43),所以EF=(-32,76,43).又平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos =43(-32)2+(76)2+(43)21=43535,即直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为43535.答案:4353510.(2021山东德州模拟)如图,PABC是一个三棱锥,AB是圆的直径,C是圆上的一点,PC垂直于圆所在的平面,D,E分别是棱PB,PC的中点.(1)

11、求证:DE平面PAC;(2)若二面角ADEC是45,AB=PC=4,求AE与平面ACD所成角的正弦值.(1)证明:因为AB是圆的直径,所以BCAC,因为PC垂直于圆所在的平面,BC平面ABC,所以PCBC,又因为ACPC=C,AC平面PAC,PC平面PAC,所以BC平面PAC.因为D,E分别是棱PB,PC的中点,所以BCDE,从而有DE平面PAC.(2)解:由(1)可知,DEAE,DEEC,所以AEC为二面角ADEC的平面角,从而有AEC=45,则AC=EC=12PC=2,又BCAC,AB=4,得BC=23.以C为坐标原点,CB,CA,CP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空

12、间直角坐标系Cxyz,则C(0,0,0),A(0,2,0),E(0,0,2),B(23,0,0),P(0,0,4),D(3,0,2),所以AE=(0,-2,2),CA=(0,2,0),CD=(3,0,2).设n=(x,y,z)是平面ACD的法向量,则nCA=0,nCD=0,即2y=0,3x+2z=0.可取n=(2,0,-3),故|cos |=|nAE|n|AE|=4214,所以AE与平面ACD所成角的正弦值为4214.11.如图,已知圆柱OO1,A在圆O上,AO=1,OO1=2,P,Q在圆O1上,且满足 PQ=233,则直线AO1与平面OPQ所成角的正弦值的取值范围是(A)A.0,3+66B.

13、6-36,3+66C.3-66,1D.0,1解析:取PQ中点M,则O1MPQ,以点O1为坐标原点,MO1所在直线为x轴,OO1所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,-2),P(-63,-33,0),Q(-63,33,0),OP=(-63,-33,2),OQ=(-63,33,2),设平面OPQ的法向量为m=(x,y,z),则mOP=-63x-33y+2z=0,mOQ=-63x+33y+2z=0,取x=3,则y=0,z=1,所以m=(3,0,1),设A(cos ,sin ,-2),直线AO1的方向向量为n=O1A=(cos ,sin ,-2),所以直线AO1与平面OPQ所成角

14、的正弦值为|mn|m|n|=|3cos-2|23=|6-3cos|60,3+66.故选A.12.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,则该二面角的大小为(C)A.150B.45C.60D.120解析:如图所示,二面角是.因为CD=CA+AB+BD,所以CD2=CA2+AB2+BD2+2(CAAB+CABD+ABBD)=CA2+AB2+BD2+2CABD,所以CABD=12(217)2-62-42-82=-24.因为ACBD=24,cos=ACBD|AC|BD|=12,所以=60,故二面角为60.故

15、选C.13.如图,菱形ABCD中,ABC=60,AC与BD相交于点O,AE平面ABCD,CFAE,AB=2,CF=3.若直线OF与平面BED所成的角为45,则AE=.解析:如图,以O为坐标原点,以OA,OB所在直线分别为x轴、y轴,过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系.设AE=a(a0),则B(0,3,0),D(0,-3,0),F(-1,0,3),E(1,0,a),所以OF=(-1,0,3),DB=(0,23,0),EB=(-1,3,-a).设平面BED的法向量为n=(x,y,z),则nDB=0,nEB=0,即23y=0,-x+3y-az=0,则y=0,取z=1,得x=-a,所以n

16、=(-a,0,1),所以cos =nOF|n|OF|=a+3a2+110.因为直线OF与平面BED所成角的大小为45,所以|a+3|a2+110=22,解得a=2或-12(舍去),所以AE=2.答案:214.在四棱锥PABCD中,四边形ABCD是边长为2的菱形,DAB=60,PA=PD,APD=90,平面PAD平面ABCD,点Q是PBC内(含边界)的一个动点,且满足DQAC,则点Q所形成的轨迹长度是.解析:如图,连接BD,交AC于点O,因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.取PC上一点M,连接MD,MB,且DMAC,又ACBD,BDDM=D,BD平面BDM,DM平面BDM,所以AC平面BDM

17、,则点Q的轨迹是线段BM.以O为原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(3,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),P(32,-12,1),C(-3,0,0),所以OA=(3,0,0),DP=(32,12,1),PC=(-332,12,-1),BD=(0,-2,0).设PM=PC,01,则DM=DP+PM=DP+PC=(32,12,1)+(-332,12,-1),则DM=(32-332,12+12,1-).因为OADM,所以OADM=0,解得=13,所以DM=(0,23,23),BM=B

18、D+DM=(0,-2,0)+(0,23,23)=(0,-43,23),所以|BM|=(43)2+(23)2=253.即点Q所形成的轨迹长度为253.答案:25315.如图,平面内直线EF与线段AB相交于点C,BCF=30,且AC=CB=4,将此平面沿直线EF折成60的二面角EF,BP平面,点P为垂足.(1)求ACP的面积;(2)求异面直线AB与EF所成角的正切值.解:法一(建系法)(1)如图,在平面内,过点P作PMEF,点M为垂足,连接BM,则BMP为二面角EF的平面角.以点P为坐标原点,以直线PM为x轴,射线PB为z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz.在RtBMC中,由BCM=

19、30,CB=4,得CM=23,BM=2.在RtBMP中,由BMP=60,BM=2,得MP=1,BP=3.故P(0,0,0),B(0,0,3),C(-1,-23,0),M(-1,0,0).由ACM=150,得A(1,-43,0).所以CP=(1,23,0),CA=(2,-23,0),则CPCA=-10,cosACP=-5213,sinACP=33213.因此SACP=12|CA|CP|sinACP=33.(2)由(1)得BA=(1,-43,-3),MC=(0,-23,0),BAMC=24,cos=2313,所以sin=113,tan=36.所以AB与EF所成角的正切值为36.法二(几何法)(1)

20、如图,在平面内,过点P作PMEF,点M为垂足,连接BM,则BMP为二面角EF的平面角.在RtBMC中,由BCM=30,CB=4,得CM=23,BM=2.在RtBMP中,由BMP=60,BM=2,得MP=1.在RtCMP中,由CM=23,MP=1,得CP=13,cosPCM=2313,sinPCM=113.故sinACP=sin(150-PCM)=33213,所以SACP=12|CA|CP|sinACP=33.(2)如图,过点A作AQEF,交MP于点Q,则BAQ是AB与EF所成的角,且AQ平面BMQ.作ANEF,垂足为N,因为PMEF,AQQM,所以四边形AQMN为矩形,所以AN=QM,因为AC

21、M=150,AC=4,所以AN=QM=2.在BMQ中,由BMQ=60,BM=MQ=2,得BQ=2.在RtBAQ中,由AQ=ACcos 30+CM=43,BQ=2,得tanBAQ=BQAQ=36.因此AB与EF所成角的正切值为36.16.(2021山东潍坊二模)请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并作答.ABBC;FC与平面ABCD所成的角为6;ABC=3.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,PA平面ABCD,且PA=AB=2,PD的中点为F.(1)在线段AB上是否存在一点G,使得AF平面PCG?若存在,指出G在AB上的位置并给以证明;若不存在,请说明理由;(2)若,求二

22、面角FACD的余弦值.解:(1)存在线段AB的中点G,使得AF平面PCG.证明如下:如图所示,设PC的中点为H,连接FH,GH.因为F,H分别为PD,PC的中点,所以FHCD,FH=12CD,在菱形ABCD中,因为G为AB的中点,所以AGCD,AG=12CD,所以FHAG,FH=AG,所以四边形AGHF为平行四边形,所以AFGH.又GH平面PCG,AF平面PCG,所以AF平面PCG.(2)选择,ABBC.因为PA平面ABCD,AB平面ABCD,AD平面ABCD,所以PAAB,PAAD,所以AB,AD,AP两两相互垂直,以A为原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的

23、空间直角坐标系.因为PA=AB=2,所以A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),所以AF=(0,1,1),CF=(-2,-1,1).设平面FAC的法向量为=(x,y,z),则AF=y+z=0,CF=-2x-y+z=0,取y=1,得=(-1,1,-1).易知平面ACD的一个法向量为v=(0,0,1),设二面角FACD为,由图知二面角FACD为锐二面角,则cos =|v|v|=33,所以二面角FACD的余弦值为33.选择,FC与平面ABCD所成的角为6.如图,取BC的中点E,连接AE,取AD的中点M,连接FM,CM,则FMPA,且FM=1.因为PA

24、平面ABCD,所以FM平面ABCD,所以FC与平面ABCD所成的角为FCM,所以FCM=6.在RtFCM中,CM=FMtan 6=133=3.又CM=AE,所以AE2+BE2=AB2,所以BCAE,又BCAD,所以AEAD.因为PA平面ABCD,AD平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAD,PAAE,所以AE,AD,AP两两相互垂直,以A为原点,AE,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为PA=AB=2,所以A(0,0,0),C(3,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),AF=(0,1,1),CF=(-3,0,1).设平面FA

25、C的法向量为m=(x,y,z),则mAF=y+z=0,mCF=-3x+z=0,取x=3,得m=(3,-3,3).易知平面ACD的一个法向量为n=(0,0,1),设二面角FACD为,由图知二面角FACD为锐二面角,则cos =|mn|m|n|=217.所以二面角FACD的余弦值为217.选择,ABC=3.取BC的中点E,连接AE.因为PA平面ABCD,AE平面ABCD,AD平面ABCD,所以PAAE,PAAD,因为底面ABCD是菱形,ABC=3,所以ABC是正三角形.因为E是BC的中点,所以BCAE,所以AE,AD,AP两两相互垂直,以A为原点,AE,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建

26、立空间直角坐标系.以下同选择.17.(2021江西上饶模拟)如图所示,正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E为AB的中点.(1)求证:BD1平面A1DE;(2)设在线段AB上存在点M,使二面角D1MCD的大小为6,求此时AM的长及点E到平面D1MC的距离.(1)证明:连接AD1交A1D于点O,连接OE,因为四边形AA1D1D为正方形,所以O是AD1的中点,因为点E为AB的中点,所以EO为ABD1的中位线,所以EOBD1.又因为BD1平面A1DE,OE平面A1DE,所以BD1平面A1DE.(2)解:因为平面AA1D1D平面ABCD,平面AA1D1D平面ABCD=

27、AD,DD1AD,DD1平面AA1D1D,所以D1D平面ABCD,以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,2,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),B(1,2,0),E(1,1,0),设M(1,y0,0)(0y02),所以MC=(-1,2-y0,0),D1C=(0,2,-1),设平面D1MC的法向量为n1=(x,y,z),则n1MC=0,n1D1C=0,即-x+y(2-y0)=0,2y-z=0,取y=1,则n1=(2-y0,1,2).而平面MCD的一个法向量为n2=(0,0,1).要使二面角D1MCD的大小为6,则cos 6=|cos|=|n1n2|n1|n2