人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第八章第5节　抛物线

1、第5节抛物线知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练抛物线的定义2,5,6,7抛物线的标准方程3,8抛物线的几何性质1,411直线与抛物线的综合910,12,13,14,15,1617,181.抛物线y=8x2的焦点坐标是(A)A.(0,132)B.(0,116)C.(0,2)D.(0,4)解析:因为抛物线的标准方程为x2=18y,所以焦点坐标为(0,132).故选A.2.若抛物线x2=16y上一点(x0,y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍,则y0等于(D)A.12 B.2 C.1 D.2解析:抛物线x2=16y上一点(x0,y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍,可得y0+p2=3

2、y0,所以y0=p4=84=2.故选D.3.点M(5,3)到抛物线y=ax2(a0)的准线的距离为6,那么抛物线的方程是(D)A.y=12x2B.y=12x2或y=-36x2C.y=-36x2D.y=112x2或y=-136x2解析:分两类a0,a0),由抛物线定义知,xP+2=42,所以xP=32,yP=4232=26,因此SPOF=12262=23.故选C.6.(2021广西名校模拟)已知点M是抛物线x2=4y上的一动点,F为抛物线的焦点,A是圆C:(x-1)2+(y-4)2=1上一动点,则|MA|+|MF|的最小值为(B)A.3B.4C.5D.6解析:过M作MP垂直于准线,垂足为P(图略

3、),利用抛物线的定义知|MP|=|MF|,当M,A,P三点共线时,|MA|+|MF|的值最小,且最小值为|CP|-r=|CP|-1.因为抛物线的准线方程y=-1,圆心C(1,4),所以|CP|=4+1=5,所以(|MA|+|MF|)min=5-1=4.故选B.7.已知抛物线C:y2=2x,过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A,B两点(A,B均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为(C)A.2B.3C.32 D.4解析:设直线AB的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).由x=my+t,y2=2xy2-2my-2t=0y1y2=-2t,由OAOBx1x2

4、+y1y2=(y1y2)24+y1y2=0y1y2=-4,所以t=2,即直线AB过定点(2,0).所以抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为2-12=32.故选C.8.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后,水面宽m.解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p0),由题意将点A(2,-2)代入x2=-2py,得p=1,故x2=-2y.设B(x,-3),代入x2=-2y中,得x=6,故水面宽为26m.答案:269.已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,过F的直线l与直线x+3y-1=0垂直,且直线l与抛物线C交于A,B两点,

5、则|AB|=.解析:因为F是抛物线C:y2=16x的焦点,所以F(4,0).又过F的直线l与直线x+3y-1=0垂直,所以直线l的方程为y=3(x-4),代入抛物线C:y2=16x,易得3x2-40 x+48=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=403,x1x2=16,所以|AB|=1+3(x1+x2)2-4x1x2=643.答案:64310.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线l字母的斜率为3,且经过点F,直线l与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AF|=4,则以下结论正确的是(ABC)A.p=2 B.F为AD中

6、点C.|BD|=2|BF|D.|BF|=2解析:由题意F(p2,0),直线l的斜率为3,则直线方程为y=3(x-p2),联立y2=2px,y=3(x-p2),得12x2-20px+3p2=0.解得xA=32p,xB=16p,由|AF|=32p+p2=2p=4,得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,所以xB=16p=13,则|BF|=13+1=43,|BD|=|BF|cos60=4312=83,所以|BD|=2|BF|.又|BD|+|BF|=43+83=4,则F为AD中点.所以运算结论正确的是ABC.故选ABC.11.(2021江苏常州高三一模)过抛物线y2=2x上一点P作圆C: x2+(y-

7、6)2=1的切线,切点为A,B,则当四边形PACB的面积最小时,P点的坐标是(C)A.(1,2)B.( 32,3)C.(2,2)D.( 52,5)解析:由题意可设P(12a2,a),当四边形PACB的面积最小时,点P到圆心C(0,6)的距离最小,即|PC|2=(12a2)2+(6-a)2=14a4+a2-12a+36,可令f(a)=14a4+a2-12a+36,则f(a)=a3+2a-12=(a-2)(a2+2a+6),则当f(a)=0时,a=2,此时取得最小值,四边形PACB的面积为2121|PC|2-1=22+(6-2)2-1=19,所以P(2,2).故选C.12.在平面直角坐标系xOy中

8、,设抛物线y2=2p1x(p10)与x2=2p2y(p20)在第一象限的交点为A,若OA的斜率为2,则p2p1=.解析:设A(x,y),由y2=2p1xyx=2p1y,x2=2p2yx2p2=yx,则kOA=2=2p1y=x2p2x=4p2,y=p1,故A(4p2,p1),代入抛物线得p12=2p14p2p2p1=18.答案:1813.设F为抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,过F作倾斜角为60的直线交抛物线C于A,B两点,若|AF|-|BF|=4,则|AB|=.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2)(x10,x20),则|AF|-|BF|=(x1+p2)-(x2+p2)=x1-x2=4

9、.直线AB的方程为y=3(x-p2),由y=3(x-p2),y2=2px,得3x2-5px+34p2=0,所以x1+x2=53p,x1x2=14p2,所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=169p2=42,因为p0,所以p=3,所以|AB|=x1+x2+p=83p=8,答案:814.已知点M(x0,y0)(y00)是抛物线C:y2=4x上一点,以M为圆心,r为半径的圆M与抛物线C的准线相切,且与x轴的两个交点的横坐标之积为5,则圆M的方程为,若过抛物线C的焦点F作圆M的切线交抛物线于A,B两点,则|AF|BF|=.解析:设圆M与抛物线的准线相切于点D,与x轴交于P,Q两点,如图所

10、示.因为|MP|=|MD|=r,所以P为抛物线的焦点F,则P(1,0),又因为xPxQ=5,所以Q(5,0).因为|MP|=|MQ|=r,所以x0=5+12=3,y0=43=23,M(3,23),r=(3-1)2+(23-0)2=4,所以圆M:(x-3)2+(y-23)2=16.设A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示.kMF=233-1=3,所以kAB=-33,lAB:y=-33(x-1),联立y=-33(x-1),y2=4xx2-14x+1=0,得x1+x2=14,x1x2=1,所以|AF|BF|=(x1-1)2+y12(x2-1)2+y22=(x1-1)2+4x1(x2-1)2+4

11、x2=(x1+1)2(x2+1)2=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=16.答案:(x-3)2+(y-23)2=161615.如图,已知点P(t,5)(t0),抛物线x2=2py的焦点是F(0,1),A,B是抛物线上两点,四边形FAPB是矩形.(1)求抛物线的方程;(2)求矩形FAPB的面积.解:(1)因为抛物线x2=2py的焦点是F(0,1),所以p2=1,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y.(2)设A(2t1,t12),B(2t2,t22),因为四边形FAPB是矩形,所以xA+xB2=xF+xP2,yA+yB2=yF+yP2,且FAFB=0,即2t1+2t22=t2

12、,t12+t222=1+52=3,且2t12t2+(t12-1)(t22-1)=0,所以t1+t2=t2,t1t2=t28-3,且t4-16t2-512=0,所以(t2-32)(t2+16)=0,解得t2=32,t1t2=1,由抛物线的定义得|FA|=t12+1,|FB|=t22+1,所以矩形FAPB的面积为S=|FA|FB|=(t12+1)(t22+1)=t12t22+t12+t22+1=1+6+1=8,所以矩形FAPB的面积为8.16.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,点A在抛物线C上,若|AO|=|AF|=32.(1)求抛物线C的方程;(2)设直线l与抛

13、物线C交于P,Q两点,若线段PQ的中点的纵坐标为1,求OPQ的面积的最大值.解:(1)因为点A在抛物线C上,|AO|=|AF|=32,所以点A的纵坐标为p4,所以p4+p2=32,所以p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+b(b0),代入抛物线方程,可得x2-4kx-4b=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4b,所以y1+y2=4k2+2b,因为线段PQ的中点的纵坐标为1,所以2k2+b=1,即2k2=1-b0,所以0b1,SOPQ=12b|x1-x2|=12b(x1+x2)2-4x1x2=12

14、b16k2+16b=b2+2b=2b3+b2(00,函数单调递增,所以当b=1时,OPQ的面积最大,最大值为2.17.(2021辽宁沈阳高三一模)已知抛物线x2=4y,点M(t,-2),t-1,1,过M作抛物线的两条切线MA,MB,其中A,B为切点,直线AB与y轴交于点P,则|PA|PB|的取值范围是.解析:设切点A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线y=14x2,y=12x,所以切线MA:x1x=2y1+2y,同理切线MB:x2x=2y2+2y,又点M是两条切线的交点,所以x1t=2y1-4,x2t=2y2-4.所以直线AB的方程为tx=-4+2y,即y-2=tx2.此直线恒过P(0,

15、2),则|PA|PB|=x12+(y1-2)2x22+(y2-2)2=x12+tx122x22+tx222=-x1x2.联立y=tx2+2,x2=4y,消去y,得x2-2tx-8=0,所以x1+x2=2t,x1x2=-8,所以(x1+x2)2x1x2=x1x2+x2x1+2=-t22.因为t-1,1,所以-t22-12,0,即-12x1x2+x2x1+20,令m=x1x2,则-12m+1m+20,即-12m+1m+2,m+1m+20,解得-2m-12,所以x1x2-2,-12,即|PA|PB|=-x1x212,2.答案: 12,218.(2021浙江临海高三模拟)如图,直线 y=2x-2与抛物

16、线x2=2py(p0)交于M1,M2两点,直线y=p2与y轴交于点F,且直线y=p2恰好平分M1FM2.(1)求p的值;(2)设A是直线y=p2上一点,直线AM2交抛物线于另一点M3,直线M1M3交直线y=p2于点B,求OAOB的值.解:(1)由y=2x-2,x2=2py,整理得x2-4px+4p=0,设M1(x1,y1),M2(x2,y2),则=16p2-16p0,x1+x2=4p,x1x2=4p,因为直线y=p2平分M1FM2,所以kM1F+kM2F=0,所以y1-p2x1+y2-p2x2=0,即2x1-2-p2x1+2x2-2-p2x2=0,所以4-(2+p2)x1+x2x1x2=0,得p=4,满足0,所以p=4.(2)由(1)知抛物线方程为x2=8y,且x1+x2=16,x1x2=16,M1(x1,x128),M2(x2,x228),设M3(x3,x328),A(t,2),B(a,2),由A,M2,M3三点共线得kM2M3=kAM