人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第六章第4节　余弦定理和正弦定理及其应用

1、第4节余弦定理和正弦定理及其应用知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练利用正弦、余弦定理解三角形1,2,3,4与面积有关的解三角形问题7,8解三角形的实际应用5,101118综合6,912,13,14,15,16171.(2021安徽安庆模拟)若ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin 2A=asin B,且c=2b,则ab等于(D)A.32 B.43 C.2 D.3解析:由bsin 2A=asin B,得2sin Bsin Acos A=sin Asin B,得cos A=12.又c=2b,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-4b212=3b

2、2,得ab=3.故选D.2.(2021河北唐山模拟)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=3,c=4,设AB边上的高为h,则h等于(D)A.152B.112C.3154D.3158解析:由余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=9+16-4234=2124=78,则sin A=1-cos2A=1-4964=1564=158,则h=ACsin A=bsin A=3158=3158.故选D.3.(多选题)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=2,A=30,则B等于(BC)A.30B.45C.135D.150解析:根据正弦定理asinA=b

3、sinB得,sin B=bsinAa=2121=22,由于b=21=a,所以B=45或135.故选BC.4.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则bc等于(A)A.6B.5C.4D.3解析:因为asin A-bsin B=4csin C,所以由正弦定理得a2-b2=4c2,即a2=4c2+b2.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=b2+c2-(4c2+b2)2bc=-3c22bc=-14,所以bc=6.故选A.5.(多选题)某人向正东走了x km后向右转了150,然后沿新方向走3 km,结果离出发点恰好3

4、 km,那么x的值是(AB)A.3 B.23 C.3 D.6解析:如图,AB=x,BC=3,AC=3,ABC=30.由余弦定理得3=x2+9-23xcos 30.解得x=23或x=3.故选AB.6.(多选题)对于ABC,有如下判断,其中正确的是(ABD)A.若cos A=cos B,则ABC为等腰三角形B.若ABC为锐角三角形,有A+B2,则sin Acos BC.若a=8,c=10,B=60,则符合条件的ABC有两个D.若sin2A+sin2B2,则2A2-B0,所以sin Acos B,故B正确;对于C,由余弦定理可得b=82+102-281012=84,只有一解,故C错误;对于D,若si

5、n2A+sin2Bsin2C,则根据正弦定理得a2+b2c2,cos C=a2+b2-c22abAC,故CDA为锐角,所以CDA=60,D正确,C错误.故选ABD.12.(多选题)在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,C为钝角,且c-b=2bcos A,则下列结论中正确的是(ABD)A.a2=b(b+c) B.A=2BC.0cos A12 D.0sin B90,所以0A60,0Bcos A12,0sin B3对任意正数x恒成立,则A的取值范围是.解析:由(sin2A-sin2B)sin C=(sin2A+sin2B)sin(A-B),可得(sin2A-sin2B)sin(A+B)=

6、(sin2A+sin2B)sin(A-B),则(sin2A-sin2B)(sin Acos B+cos Asin B)=(sin2A+sin2B)(sin Acos B-cos Asin B),整理得sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B,因为角A,B,C为三角形的内角,所以sin Acos A=sin Bcos B,因此sin 2A=sin 2B,又三角形各边均不相等,所以各角均不相等,因此2A+2B=,即A+B=2,所以C=2,则B=2-A,所以cos B=sin A,且A(0,4)(4,2),则cos A0,不等式 3xcos A+cosBx3可化为(3cos A

7、)x2-3x+cos B0,即(3cos A)x2-3x+sin A0,令f(x)=(3cos A)x2-3x+sin A,则其对称轴为x=12cosA0,又 3xcos A+cosBx3对任意正数x恒成立,等价于f(x)=(3cos A)x2-3x+sin A0对任意正数x恒成立,所以只需f(x)min=f(12cosA)=3cosA4cos2A-32cosA+sin A=sin A-34cosA0,即sin 2A32,解得32A2或22A23,即6A4或4A3,即A的取值范围是(6,4)(4,3).答案:2(6,4)(4,3)15.在(a-c)(sin A+sin C)=b(sin A-s

8、in B);2ccos C=acos B+bcos A;ABC的面积为12c(asin A+bsin B-csin C)这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.(1)求C;(2)若D为AB的中点,且c=2,CD=3,求a,b的值.解:(1)选择,根据正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b),整理得a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,所以cos C=a2+b2-c22ab=12.因为C(0,),所以C=3.选择,根据正弦定理有sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C,所以sin(A+

9、B)=2sin Ccos C,即sin C=2sin Ccos C.因为C(0,),所以sin C0,从而有cos C=12,故C=3.选择,因为12casin B=12c(asin A+bsin B-csin C),所以asin B=asin A+bsin B-csin C,即ab=a2+b2-c2,由余弦定理,得cos C=a2+b2-c22ab=ab2ab=12.又因为C(0,),所以C=3.(2)在ACD中,AC2=AD2+CD2-2ADCDcos ADC,即b2=1+3-23cos ADC.在BCD中,BC2=BD2+CD2-2BDCDcos BDC,即a2=1+3-23cos BD

10、C.因为ADC+BDC=,所以cos ADC=-cos BDC,所以a2+b2=8.由C=3及c=2,得a2+b2-4=ab,所以ab=4,从而a2+b2-2ab=0,所以a=b=2.16.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A+C2=bsin A.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.解:(1)由题设及正弦定理得sin Asin A+C2=sin Bsin A.因为sin A0,所以sin A+C2=sin B.由A+B+C=180,可得sin A+C2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2.因为cos B20,

11、所以sin B2=12,所以B=60.(2)由题设及(1)知ABC的面积为SABC=34a.由(1)知A+C=120,由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120-C)sinC=32tanC+12.由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90.结合A+C=120,得30C90,所以12a2,从而38SABC32.因此,ABC面积的取值范围是(38,32).17.已知ABC中,AC=2,BC=6,ABC的面积为32,若线段BA的延长线上存在点D,使BDC=4,则CD=.解析:因为AC=2,BC=6,ABC的面积为32=12ACBCsin ACB=1226sin ACB,所以sin ACB=

12、12,所以ACB=6或56,若ACB=56,则BDC=44+56,与三角形内角和定理矛盾,所以ACB=6,所以在ABC中,由余弦定理得AB=AC2+BC2-2ACBCcosACB=2+6-22632=2,所以AB=AC,所以B=6,所以在BDC中,由正弦定理可得CD=BCsinBsinBDC=61222=3.答案:318.如图所示,经过村庄A有两条夹角为60的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:km).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解:设AMN=,在AMN中,MNsin60=AMsin(120-).因为MN=2,所以AM=433sin(120-).在APM中,cos AMP=cos(60+).AP2=AM2+MP2-2AMMPcos AMP=163sin2(120-)+4-22433sin(120-)cos