自动控制原理胥布工第二版7-8章习题及详解

1、第6章习题及详解6-1增益。试求图6-93所小电路的频率特性表达式,并指出哪些电路的低频段增益大于高频段Ri QTR2uiuo(c)解：(a )R2R R2图 6-93RCj，1R22Rj，1RR2(b)；(b )R2Q，1R1R2 Cj 1R3R4R6R7R6 RRCj，1益小于高频段增益；(b)和(d)；(d)R3 RR7 RR7Cj 1R1R4R7Cj 1;(a)和(c)低频段增6-2若系统单位脉冲响应为解:低频段增益大于高频段增益。g(t) =e，+0.5e7 ,试确定系统的频率特性。11故 G(j )=0.5j 1 j 36-3已知单位反馈系统的开环传递函数为试根据式1 G(s)=s

2、 1(6-11)频率特性的定义求闭环系统在输入信号r(t)=sin(t +305 2cos(5t -45 作用下的稳态输出。1解：先求得闭环传递函数 T(s)=。s 2(1)=1 ,T(j1)=1j1 +245 c 1=-=.447 , ZT(j1) =-arctan- =-26.56(2)5 =5,T(j5)=1 j5+2292故 y(t)|tHpO=0.447sin(t +3.449 0.372cos(5t 113.21。6-4某对象传递函数为G(s)=1Ts 1e-s试求:(1)该对象在输入u(t) =sin(8t)作用下输出的表达式，并指出哪部分是瞬态分量;(2)分析T和三增大对瞬态分

3、量和稳态分量的影响；(3)很多化工过程对象的 T和T都很大，通过实验方法测定对象的频率特性需要很长时 间，试解释其原因。T ， 、T 与斛： (1) uo(t)=2 e T +1 T 后一项为稳态分量。Ji +(to 2sin(o(t -T) -arctanTeo )前一项为瞬态分量,T和弋增大，瞬态分量收敛更慢；稳态分量幅值减小，且相位滞后更明显。(3)因为瞬态分量收敛太慢。6-5 某系统的开环传递函数为试描点绘制：(1)奈奎斯特曲线;解：各图如习题6-5图解所示。G(s)=工Ts -1(2)伯德图；(3)尼科尔斯图。5 O书 8 lawencesahp0.1/T1/T10/TNichols

4、 Chart210240270Open-Loop P hase (deg)Frequency (rad/sec)习题6-5图解6-6给定反馈系统的开环传递函数如下， TOC o 1-5 h z ,、101, 、10s 11(a) G(s) = ；( b) G(s) = ；( c) G(s)= ；(d) G(s)= ；s2s(s 1)s(s 1)s(s 1)(10s 1)10s 1(e) G(s) =2s (s 1)(1)试分别绘出其开环频率特性的奈奎斯特草图，并与借助Matlab绘制的精确奈奎斯特曲线进行比较。(2)试根据草图判断各系统的稳定性。解：(1)精确曲线如习题 6-6图解所示。其余系

5、统稳定。6-7(a)10G二E ； (b)G:(s 1)(s 2)(c) G(s)=0.1(10s 1)(0.5s 1)2s (s 1)(d) G(s)10(s 1) 位裕度。 位裕度。解:s(s20.2s 1)试绘出各系统的开环对数幅频渐近特性，并根据所得的渐近特性估算截止频率和相试借助Matlab绘制各系统的开环对数幅频精确特性，并确定各系统的截止频率和相试比较(1)、(2)所得结果的差别，并解释出现差别的原因。(1)(a)(c)8c=Mad/s, 7=18； (b)线=242rad/s, =55口；(a)(b)(2) (a)临界稳定(闭环系统有一对共轲虚根) 给定反馈系统的开环传递函数如

6、下，(2) (a) g(c)，=3.08rad/s, =18白;= 0.84rad/s,=66 ;(3)因渐近特性仅为精确曲线的近似,习题6-7图解(b) .c =2.4rad/s,=63 ;(d) c =3.4rad/s,= -13 ;需要修正。6-8测量某最小相位系统的开环对数幅频特性，并对其作渐近特性近似，所得结果如图6-94所示，试写出其开环传递函数。 ：/ j rad/sec图6-94 习题6-8图10(0.2s 1)解：G(s)s(2s 1)6-95所示，试求其各自对应的传6-9已知最小相位系统开环对数幅频渐近特性曲线如图(c)图 6-95习题6-9图解：(a) G(s) =4;

7、(b) G(s) =4(10s+1)；( g(s)= 2 叱51).,其中参5s 1s 1s 0.04 s0.4 s 1数，待定；(d) G(s)=一叱1。s(20s 1)(s 1)(0.5s 1)6-10 试证明图6-95 (c)对应反馈系统的静态误差系数为Ka=g2,并求其值。解：Ka =个5=0.2。6-11设单位反馈系统的开环传递函数如下，其中各待定参数均大于零，G(s)=K( 1s 1)( 2s 1)3s试分别采用奈奎斯特判据、劳斯判据和根轨迹方法确定使系统稳定的参数取值范围。解：奈奎斯特判据见习题6-11图解(a) , K印2(7 +%) 1时稳定， 大血”+切1,故封闭曲线调整后

8、的奈奎斯特T（s+0j）-1曲线顺时针包围（1, j0）点一圈，而开环系统在右半s平面有一个极点，故闭环系统在右半s平面无极点。对于系统（2）,当8=衣时，其开环系统的奈奎斯特曲线穿过（1, j0）点，表明s=WKj为其闭环极点。故应使包围右半s平面的封闭曲线逆时针绕过原点和这两个闭环极 点。分析方法同系统（1）,易知闭环系统在右半s平面无极点。6-15试讨论去掉6.4.3节例6-3系统开环传递函数G(s)=100(s 2)s(s 1)(s 20)中的带有零点的环节（s+2）/2,对闭环系统幅值裕度和相位裕度有何影响。解：虚、实线分别对应于去掉零点前、后对数幅频渐近特性和相频特性。去掉该环节前

9、后，对数幅频特性分别以 -20dB/dec和-40dB/dec的斜率穿过零分贝线，故前者相位裕度必然 远大于后者。根据相频特性也可得到同样的结论：去掉零点后相频特性迅速下降，稳定裕度 大大降低。与 c1ft 5rad/s 和根据对数幅频渐近特性可求得，去掉该环节前后，截止频率分别为22 ft3rad/s , 进而得 % =180 n+arctaMc1)-90 0 arctan(6c1)arctan(1) =65.5 口 和 220c24 =180 -90 arctan(0c2) arctan()=9.9 20B-11011001010rad/sec题图6-15题6-15萦统的宿德图渐近线26-

10、16设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)=10s Ke100s 1试确定:(1)使闭环系统稳定的K值取值范围。(2)使相位裕度之30白的K值取值范围，并求出闭环系统在单位阶跃输入下的稳态误差。(3)去掉延迟环节重复上述计算。解：其草图如习题6-16图解所示，其中，中之_”丝幽Larctan(100与)。简单试探可知，31co fe：0.163rad / s时，中；t180;缶st0.114rad/s时，邛七一1500;分别代上述值入Ke0如 一 -一 G( j co) = =1 ,可求信 K取大取值。10 08 +1使闭环系统稳定的K值取值范围约为0K16.3。使相位裕度之30的K值取值范围

11、约为0K-90,故Ka0即可。三种情况下，稳态误差均为，6-17系统的开环传递函数为G(s)=Ks(0.2s 1)(s 1)要求:(1)绘制系统当K =1时的开环对数频率特性草图，并估算系统的相位裕度。(2)根据系统的相位裕度和截止频率估算系统的时域性能指标。(3)设K增大为10,重复上述计算。解：K增大前、后相频特性不变，幅频特性上升 20分贝，分别如习题6-17图解(a)虚、 实线所示。K增大前、后截止频率分别为切ci Mrad /s和52之3.2rad /s ；相位裕度分别为：Z电34 1和/1-13 口(按精确曲线所得分别为切ci-0.8rad / s , 外化43 口和6 c2 &2

12、.2rad/s,之-9口)。K增大前性能指标：因为 K=1时，对数幅频特性几乎以斜率-20穿过零分贝线，且第二 个转折频率5rad/s相对远离切c1 ,因此可以将其近似为典型二阶系统处理，根据图 6-59和图 6-60 ,易知其阶跃响应最大超调量约为。%定30% ,调节时间约为ts%8s (按精确曲线所得分 别为仃生25%和ts之7.5s ；实际仿真结果为 仃%之25%, ts定8s)。K增大为10后系统不稳定，因此无法讨论快速性和平稳性。Bode Diagram(a)Time (sec)(b)单位阶跃响应 习题6-17图解6-18 图6-97给出了(a)和(b)两组单位反馈系统的开环对数幅频

13、特性。设各开环系统均为最小相位系统,(1)试定性比较各组内系统之间的性能。(2)试求出各系统的传递函数，并借助Matlab仿真判断(1)中定性分析的结果是否正确。(a)图6-97 习题6-18图解：图 6-97 (a):平稳性：三系统的对数幅频特性均以斜率-20穿过零分贝线，且截止频率两端均具一定宽度，因此三系统的平稳性均比较良好；第二个系统中频段宽度相对 较窄，故可预计其单位阶跃响应的最大超调量是三个系统中最大的，而另外两 系统应具有相同的最大超调量。快速性：第三个系统截止频率最高，故响应最快速；其余两系统的快速性差别不大。准确性：三系统的低频段斜率亦均为-20,均为I型系统，稳态精度高。而

14、第三个系统低频段增益显著高于前两个系统，故其稳态精度最高。图 6-97 (b):平稳性：根据对数幅频特性穿过零分贝线的斜率可知第一个系统的平稳性显著 优于其余两系统。其余两系统平稳性差别不大。快速性：第三个系统截止频率最高，且可推出其放大系数K最大，故其响应最快；第二个系统响应最慢。准确性：三个系统均为II型系统，稳态精度高。而第三个系统低频段增益显著高 于前两个系统，故其稳态精度最高，第二个系统稳态精度最低。0.95(5s+l)s(14.3s 1)(2s 1)(0.5s 1)图 6-97 (a):G(s)=001, G(s) s(20s 1)(s 1)(0.5s 1)G(s)=6(s 1)s

15、(2s 1)(0.1s 1)(0.05s 1)图 6-97(b):21, g/0, G(s)=s2(0.2s 1)s2(0.2s 1)s2(0.2s 1)6-19 某控制系统的结构如图 6-98所示，其中10c 1 1 10(0.5s 1)、 Gc (s) =，G p (s)=0.125s 1s(s 1)试按Y和coc估算系统的日域指标6%和ts。图6-98 习题6-19图解：截止频率飙定4.6rad/s,相位裕度 晨49 0 (按渐近特T古算为0c=5rad/s, 丁化47.5 按典型二阶系统近似，根据图6-59和图6-60 ,系统单位阶跃响应最大超调量6%之18% ;调节时间ts :、5/

16、-，c =1.1s。因按开环传递函数按典型二阶系统处理，忽略了零点和一小惯性极 点的影响，故超调量和调节时间估计值与实际值会有一定的偏差(仿真结果：仃%之23% ;调节时间ts M.1s)。Bode Diagram / rad/sec习题6-19图解对数频率特性6-20 某高阶控制系统， 若要求6%=18% , ts =0.1s,试由近似公式确定频域指标6c和兀解：由式(6-41 )和(6-42 ),尸定 70 口； 8c 6.6/ts =66rad/s o6-21已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s) =10/s(s +1),要求：(1)试求其开环频率特性的 不和8c。(2)试借助MATL

17、A核制该系统的尼科尔斯图，求其闭环频率特性的Mr和缶b。(3)分别用上述两组特征量估算系统的时域指标6%和ts。解：(1)试求其开环频率特性的 手和网。(截止频率coc之3.2rad ,相位裕度厂定18口)(2)试借助MATLAB绘制该系统的尼科尔斯图，求其闭环频率特性的 ”和6。(作尼科 尔斯图，可读出开环频率特性与尼科尔斯图线的等 9dB线相切，故Mr之3 ;与-3dB线交点处频 率约为6b 5t4.8rad s)(3)分别用上述两组特征量估算系统的时域指标6%和ts。(根据式(6-69)式(6-72),系11统单位阶跃响应最大超调量6%也60%,调节时间分别约为5.8s和5.6s。)Ni

18、chols Chart40JBdrpaG DOOI-neDO300.5 dB1 dB%3 dB6 dB0 dB0.25 dB f II f、-1 dB 八 y dB/-6 dB-12 dB-20 dB-40 dB45 -90 -53180522 -70-26-22Open-Loop Phase (deg)习题6-21图解尼科尔斯图设单位反馈系统的开环传递函数为cs 1G(s):11s(2s 1) s2 一 s 1410要求：解：试手工绘制其开环对数频率渐近特性，并根据其渐近特性判断闭环系统的稳定性。试用MATLA酸制其精确的对数频率特性，并判断闭环系统的稳定性。试根据(1)和(2)的结果讨论谐

19、振环节对闭环系统稳定性的影响。渐近和精确曲线如习题 6-22图解所示，其中折线段组合为渐近特性。按渐近特性，开环频率特性无正负穿越，故闭环系统稳定。但精确特性表明，开环频率特性在co=2rad/s附近出现一次负穿越，故闭环系统不稳定，有两个极点落于右半s平面。20-40-90-31510-1-135-180-225-270100，：/ j rad/sec习题6-22图解对数频率特性Bode Diagram6-23 已知一双回路控制系统结构如图6-99所示，试借助 MATLA瞅件，采用奈奎斯特判12据确定使系统稳定的K值取值范围。解:习题6-23图图 6-99Nyquist Diagram(a)

20、内环路奈奎斯特曲线erxA Vrap9ars i xAy r an ig a3000-10 0 0200010000-2000-3000-10 0-5 0(b)系统奈奎斯特曲线Nyquist DiagramReal AxisNyquist DiagramOPIXA yapm mlSystem: syscls Real: -0.0752 Imag: 5.86e-005 Freq (rad/sec): -10.6-0.8-0.6-0.4-0.2Real Axis(c)系统奈奎斯特曲线局部放大图习题6-23图解各环路开环奈奎斯特曲线内环传递函数:Tin10(1.25s+1)(15.25s 1) b.

21、0905s 2 2 0.5312 0.0905s 1 1故为保证系统稳定，K值取值范围为0K 1为正实 数。由闭环传递函数得131 KGM1T(j 180)= 7； : 01-1 KGM KGM - 1注意到 KGM 1=1/T(j必80)=1/|T(j 必80)0,进一步得KGM = 1T(j M80)由于 Mr T(j180),得KGM_1LMr又因G(j0c)=1,故有Tjc)1二 1 二G(j 二 c)12sin 2利用图6-74所示的关系Mr归纳结果：最大峰值指标1+G jj =2sin(Y/2),由上式易得1r 1 、 1至= 2 2arcsin 之rad2sin(42)12Mr

22、j MrMr与稳定裕度指标的关系为1Kgm 一1 而;一 2arcsin2MrKGM 之 1.8, 0 0.8 rad =45.8oo1PM1,为 一1证毕。若M r=1.25 ,则系统的幅和相稳定裕度分别为Wp(S)=(s.；K2 +cj2(s$2)26-25性能权函数也可选如下形式试确定其倒数1/wP(s)的伯德幅频特性曲线，与性能权函数式(6-100)比较指出两者对性能要求的区别在何处。解题中的性能权函数要求灵敏度函数的伯德幅频特性S(jo)在中频段比式(6-100)要求的斜率更大，在最大峰值发生的位置变化不大的前提下，这意味着扩大了控制作用的带 宽0,缶s,因此，该性能权函数的要求比式

23、(6-100)更侧重克服外部扰动输入的影响。6-26 考虑图6-80所示的闭环控制系统。若不确定性对象为Gp(s)(1 Ts), 0 T Tmax即标称对象上附加了一个不确定性零点环节，其中，Gp(s)为标称对象，Tmax为已知的常数上界，T是满足0 WT WTmax的未知不确定常参数，即只知取值范围的常数。试求不确定性 对象模型白权函数 W(S) o解：由题意可得14=p( j -)Gp(j -)Gp(j )(1 jT )-Gp(j )Gp(j -)jTo| jTmax3因上式对于任何频率 0和任意0 0 时，ZGc(jo) 0且有界。令d Gc(j) =0得其唯一极值点处频率满足 d -

24、TOC o 1-5 h z 1 a1 a 处取得取大值，为 = arctan-尸 =arcsin。2 :1 7-7某单位反馈系统的开环传递函数为Go(s)=,s(0.1s 1)(s 1)要求系统在单位斜坡输入信号作用下的稳态误差essr8 rad/s,相位裕度y040：,，试判断单级串联超前校正装置能否满 足性能要求。解：19由essrV 0.1易知应取K210。令K =10。此时，校正前对数幅频特性以斜率M0穿过零分贝线，故稳定裕度较低。按渐近性特性可求得，截止频率8c r： 3.2rad/s ,相位裕度70 (精确值为 盘定3.0rad/s, 71.6),不满足要求。可考虑采用超前校正提供

25、穿越零分贝线的斜率，如习题7-7图解所示。1因存在极点,校正后截止频率 如应适当小于10,以保证一定的中频段宽度。初0.1s 1选 成=5rad/s。则根据习题 7-7 图解，40lg(cT) =20lg(0；T)= 1/T =2rad/s。按相位裕度040的要求，arctan(o(T斑) 8 rad/s由于存在极点 ,无法保证足够的中频段宽度,0.1s 1故难以通过单级超前校正保证高达40o的相位裕度。7-8某单位反馈控制系统的开环传递函数为G0(s)=10/s2 ,要求系统在斜坡函数输入时的稳态误差为0,相角裕度45：试判断应采用何种串联校正方式改善系统性能，并给出合 适的校正装置的传递函

26、数。解:20习题7-8图解校正前后系统伯德图7-8图易求得相位裕度0=0白，不满足要求。校正环节必须提供超前相角，根据习题解，可考虑米用串联超前校正环节。根据习题7-8图解易知，引入适当的超前校正环节后可使穿越零分贝线的斜率提高 为0。只要保证该斜率的频段在截止频率两端均具有足够宽度，即可满足相角裕 度丫045&的要求。一种可行的方案为Gc（s） = 0.5s* ,易求得此时 飙=5rad/s 。0.08s - 1检验校正方案：计算* =180NGo（jS；）Gc（j。）46、满足要求。7-9试说明串联滞后校正是否能解决习题7-7系统所提出的性能要求，若可行，试给出合适的校正装置的传递函数。解

27、：（1）可行，因为系统无快速性要求，且低频段斜率为-20。故可考虑引入滞后校正环节使得校正后系统以斜率-20穿过零分贝线，同时恰当选择参数以保证该斜率的频段在截 止频率两端均具有足够宽度，即可满足相角裕度y040的要求。取K =10,按中频段具有足够宽度的要求，同时考虑到被控对象存在极点,可初选s - 1*孰 =0.5rad/s和1/T =6c/3 =0.167 rad/s。（注：由于其余转折频率与0c =0.5rad/s的距离均在十倍频程以上，故校正后系统相位裕度基本可根据该中频段宽度估算，*arctan（OT）-arctan =45 ,预留了足够裕度）。根据习题7-9图解，成立201g P

28、t =20lg（；T） +40 lg1 =10/0； =20。由此可确定校正环节为Gc(s)检验：V* =180。-90 -arctan(2丁成)+arctan(Tc) -arctan-arctan(0.1oc) =43口，满足要求。(2)不可行，因为滞后校正会使截止频率左移，不能同时满足平稳性和快速性的要求。7-10某单位反馈系统的开环传递函数为、 KGo二；(TV21要求系统在单位斜坡输入信号作用下的稳态误差essrv0.1,阶跃输入下的最大超调量6%v 20%。试判断当前系统是否满足要求；若不满足要求，试采用频率法设计滞后校正环节。若增加要求调节时间tsV 1s,试采用频率法设计超前校正

29、环节。解：按典型二阶系统将时域性能指标转换为频域指标，根据图 6-59知要求落至46,考虑一定 裕度，可初选 湃之50口。由essrv0.1易知应取K之10 ;令K =10。此时，校正前对数幅频特性以 斜率S0穿过零分贝线，故稳定裕度较低。(1)易求得校正前系统相位裕度718,远未满足要求。可考虑采用滞后校正提高穿越零分贝线的斜率(可参考习题7-9图解)。由于期望相位裕度较大，故应按宽中频段形式设计；考虑到被控对象存在极点,s 7可初选 0 =0.3rad/s 和 i/t =曲/3 =0.1rad/s ；如此，arctan(C0eT) -arctan coc %55口，预留 了足够裕度。参考习

30、题7-9图解，成立20lg宙=20lgg；T)+40lg P=10/5=33。由此可确定校正环节为Gc(s) = 10s +1 o330s - 1基于Matlab搭建模型进行仿真验证，结果表明阶跃响应超调量稍微超过20%。为此，适当左移1/T以增大相位裕度，重选校正环节为Gc(s)=+1 。重新仿真验证，可知330s 1 此时超调量满足要求。(2)考虑采用超前校正同时提高穿越零分贝线的斜率和截止频率(可参考习题 7-7图解)。根据图6-60可初选就5rad/s。取0c =5rad/s。比较校正前、后渐近特性可求得：401ggeT) =20皿底丁)： 1/t =2rad/s。按相位裕度/* 50

31、 /勺要求，arctan(ccrccc) 180 5-90 5-arctan c +arctan(Toc)-50 5,故可选1/(叫)=8.8rads。由此可构造校正环节Gc(s) = 0.5s.1。0.11s - 1基于Matlab搭建模型进行仿真验证，结果表明阶跃响应超调量约20%,但调节时间略大于1s。为此，重选加=6rad/s ,重复上述步骤可得Gc(s) = 06sli 。再次仿真验证知该校正环0.11s - 1节满足要求。7-11本章例7-5在超前校正设计步骤中需要根据根轨迹和阴影区域边缘交点计算传 递系数的可调范围。a)若其中一对交点为 T.7ja,试确定参数a的大小，并确定相应

32、非主导闭环极点的位置 和根轨迹增益Kg。 gb)若其中一对交点为 Tjb,试确定参数b的大小，并确定相应非主导闭环极点的位置和 根轨迹增益Kg。 g解：(1)因为阴影区斜线部分满足0=0.5,所选择闭环期望极点 T.78 士 ja落于该斜线上，故22a =7.78 xtan(cos,，)=7.78 xtan(cos,0.5) =13.4754 &13.48。校正后系统的开环传递函数为之和的法则，可知第三个闭环极点G(s) =一K(s + 3)一，根据开环系统极点之和等于闭环极点 s(s 1)(s 18)KgKgs 3s(s 1)(s 18)s344s(s 1)(s 18)=1= K。=277.

33、7519 ： 278 。 g=1= K0 =277.7651 278 。 gs -7.78:：；j13.48-p3 =0-1 -18 -(-7.78 + 13.48j) (7.78 13.48j) = -3.44 o(2)校正后系统的开环传递函数为 G(s)=K (s +3)，代s = 4+bj入/G(s)=180 口可 s(s 1)(s 18)得，/bj N(邙+bj) /(-2+bj) 2(15+bj尸-180% 故b b TOC o 1-5 h z b . b . b3 2, barctan arctan arctan一 =90 = arctan 3 , , -arctan 903215

34、1_ b b153 279b b3一.narctan2 =90 = b=3,舍去-3。90 -10b2Go(s)二s(0.1s 1)( s - 1)0 ,最大超调量 8%=4.3%,调节时间tsV3 so试用根轨7-12已知某单位反馈系统的开环传递函数为要求系统的阶跃响应稳态误差为 迹法设计串联超前校正装置的传递函数。解：零极点形式为:Go(s)10KKgs(s 10)(s 1) s(s 10)(s 1)Kg =10K(1)7-12图解(a)所示，为突出设计要点，仅画出实部大于-4的校正前系统根轨迹如习题 部分。23j 习题7-12图解(a)校正前的根轨迹(实部大于 -4的部分)由。 0.70

35、7 ,取，=0.707。由ts W3s可得处n之1 ,取 3n =1。故期望闭环主导极点应落于习题7-12图解(a)中阴影部分区域。由于未校正系统根轨迹不穿过阴影区域，故无法通过改变 K =Kg /10使系统性能满足要求。 在阴影区域的内边缘初选期望闭环主导极点为Sa,b = -1.2 土j ,如习题7-12图解(a)中A、B两点。可增加串联超前校正使根轨迹左移，穿过 A、B两点。在A点处， ZGo (SA ) - - SA (SA - (SA 10)=- (-1.2 - j) - ( -0.2 - j) 一/(8.8 j)GOG=-153.4 -135 7.1=-248根据式(7-17)得

36、Q =180-/Go(sA) =180 +248Z360 +68 1 为方便设计，取校正环节的零点为1.2,则如习题7-12图解(b),张角为Q的两条射线与负实轴分别交于_1.2和4.67 。故校正后系统开环传递函数为将 Sa,b =1.2 土j 代入 Go(s)Gc(s)Isb *=。得对应 K 之3.7。A, B基于Matlab搭建模型进行仿真验证，结果表明阶跃响应最大超调量约6%。为此稍稍降低K=3,重新检验知，阶跃响应最大超调量小于4%,调节时间小于2.1s满足要求。因为I型系统，故满足阶跃响应无静差要求。24应指出的是，由于系统对最大超调量要求较高， 因此K值的可调范围非常窄，只能在

37、3 附近微调。因此该系统若采用单级超前校正，其实用性不高。7-13已知某单位反馈系统的开环传递函数为Go(s)=Kg(s 1)(s 2)要求系统在单位斜坡输入下的稳态误差essrV 0.1,单位阶跃响应的最大超调量6%M20,调节时间ts 10 ；令Kg =20。由前述7-10题解已知可初选V* 50o根 据图6-60可初选 加0.5rad/s。考虑一定裕度，取 & =1rad/s。由于开环系统两极点靠得很近，故其相位在1rad/s附近频段下降很快。系统对相位裕度的要求比较高，单纯的超前校正通常难以补偿这两个极点引起的滞后相位。而若仅采用滞后校正，则需要将校正后的截止频率置于1rad/s左方，

38、并远离两极点的转折频率，如此将难以满足快速性的要求。显然，该系统的校正需要同时兼顾中低频段较宽的范围， 故可考虑在积分环节的基础上再增加滞后-超前校正。为简化设计，可考虑取超前校正的零点丁2$+1为$+1,以抵消被控对象的一个极点。滞后校正会引入负相位，考虑预留一定裕度A=10 ,可按 arctan(T2。；)&80。-90。一小-2 r c 0t53C 3一* 生 4 电万初选 1/(aT2) =16.7rad/s。为保证中频段宽度，初选滞后校正环节的转折频率为1Tl =3/10 =0.1rad/s。参考习题7-9 图解，成立 201g .=20血8工)+40lgP =10/成=10。由此可

39、确定校正环节为Gc(s)=s-o100s - 1 0.06 s 1基于Matlab搭建模型进行仿真验证，结果表明阶跃响应超调量小于16%,调节时间小于8s,满足要求。(2)根轨迹法增加积分环节后，被校正对象成为Go (s)Kgs(s 1)(s 2)由6% E20可得0 0,45 ,考虑一定裕度取 U=0.5。由ts E10s可得 fen20.3。由此可确定期望闭环主导极点的候选区域。初选期望闭环主导极点为sa,b =-0,8士j ,则在A点处， Go (sa) = - sa-/(sa 1)-/(sa 2)- (-0.8 - j)0.2 - j)1.2 - j)=-128.66 -78.7 -3

40、9.8 : T80 -67根据式(7-17)得Q =180NG； (sa) =67 :为方便设计，取校正环节的零点为-1则张角为Q的两条射线与负实轴分别交于T和-6 (准确值为-5.8)。此时，校正后系25统开环传递函数为 Go(s)Gc(s)=Kgs 1Kgs(s 1)(s 2) s 6 s(s 2)(s 6) 按稳态精度要求，Kg/(2X6)之10 ,若已取 Kg =20 ,则滞后校正环节参数应满足p 2120/10 =12，取P =12 ,采用滞后校正环节s+0.12。s - 0.01基于Matlab搭建模型进行仿真验证，结果表明阶跃响应超调量小于20%,调节时间小于10s,满足要求。7

41、-14考虑本章例7-9 ,若反馈校正装置由原来的Gc(s) =1.56s/(1.25s+1)调整为G . 1.56(12.5s 1) Gc(s) 1.25s 1要求：(1)求调整后系统的开环传递函数。(2)与调整前系统比较，开环传递系数是否下降？解：(1)调整后内部环路的传递函数为520.1s F s 112.5s 10-1.56(12.5s 1)52 0 0.125s3 1.475s2 197.3s 16.6-1.25s 10.1s 1 s 1故调整后系统开环传递函数为：512.5s 1032s 0.125s1.475s197.3s 16.6(2)调整前的开环传递系数为50。调整后，开环传递

42、系数减小为 也 =3.01 ,稳态精度将显16.6著降低。1s ,且保持原7-15 设某典型二阶系统如图7-53所示。为使阶跃响应调节时间下降为最大超调量不变，试确定反馈校正装置的传递函数。图7-53 习题7-15图解：该系统为典型二阶系统，其开环传递函数为Go(s)=-一，其开环对数频率特性s(0.5s 1)曲线如习题7-15图解(a)所示。2640Bode Diagram-180I I L I L ILI I I II II 10 110 0101Frequency (rad/sec)习题7-15图解(a)校正前和期望系统对数频率特性曲线按渐近性特性可得，201g10 =20lg- +40

43、lg= 0c=4.5rad /s,相位裕度之24(精确 12值为网%4.3rad /s, 为25多。根据式(6-37)或图6-61,阶跃响应调节时间约为 3s,不满足要求。最大超调量不变，即相位裕度不变，为缩短调节时间至 1s,截止频率应增大为校正前的 3 倍，即 coc &4.3X3=13rad /s,尸 土24口。若能将对数频率特性整体右移至转折频率约为6rad/s,如习题7-15图解(a)中虚线所30小,即开环传递函数为 Go(s)=30一，则截止频率和相位裕度满足要求。根据习题 7-15 s(1 s 1)6图解(b),易求得口 =9 , P =1。习题7-15图解 (b)校正后系统结构

44、图7-16某单位反馈系统的开环传递函数为Go(s)Ks(s 1)(0.2s 1)试设计PID控制方案，使系统满足下列性能指标：(1)在最大指令速度为 50 */ s时，位置滞后误差不超过 1 ;(2)相位裕度不小于45；(3)幅值裕度不低于 3dB;(4)阶跃响应调节时间不超过 3s。解：采用PID校正后，系统无差度型次提高为II型，若系统稳定，则必然满足稳态精度要求。计算期望性能指标27 TOC o 1-5 h z 按要求(2),期望相位裕度Y A45口。按要求(4),将校正后系统近似为典型二阶系统，按图6-61或式(6-37), 7定45时，阶跃响应调节时间ts与校正后期望截止频率6c近彳

45、以满足tsQc ；t 6 ,故取0c =2rad /s。串联PID校正环节传递函数为Gc(s)=色丁一+*+1 (Tis+1)(21) TisTis 选择微分时间常数.d为最大程度地利用零点1/%所提供的超前相位，应使 -1/% 45可得id 0.42 s/rad 。为留一定余地，初选 笈=0.5 s/rad。选择积分时间常数T初选 T =20% =10 s/rad。确定比例系数Kpp选择合适的Kp使校正后系统开环对数幅频特性正好在co；=2rad，s穿过零分贝线，即 *、- . . *、Go( J c)Gc( J8c )KP (dJ c 1)(TiJ -c - 1)*TiJ c10* * .

46、 * .J c(0.2j c 1)(J c 1)解之得Kp =0.34。检验设计结果。7-16校正后系统开环传递函数为G(s) ： 0.34(0.5s 1)(10s 1 ,对应对数幅频特性如习题 s2(0.2s - 1)(s 1)图解所示。其截止频率为2rad，s，相位裕度约为46,满足给定要求。控制实现。若采用数字控制器编程实现，则其连续形式的控制规律为u(t) =0.34 e(t) ；e( .)d . 0.5也_10 0dt其中，e(t)为偏差，也是PID控制器的输入；u(t)为控制器的输出。28LMWTeangaM501003120-180Bode Diagram 100-15010-2

47、10-1习题7-16图解100101102Frequency (rad/sec)校正后系统开环频率特性7-17为方便操作人员进行 PID参数整定，工程师们根据经验总结出了一些口诀如下：参数整定找最佳，从小到大顺序查，先是比例后积分，最后再把微分加； 曲线振荡很频繁，比例度盘要放大，曲线漂浮绕大湾，比例度盘往小扳； 曲线偏离回复慢，积分时间往下降，曲线波动周期长，积分时间再加长； 曲线振荡频率快，先把微分降下来，动差大来波动慢。微分时间应加长； 理想曲线两个波，前高后低4比1, 一看二调多分析，调节质量不会低。其中，比例度盘 P =1/ Kp。若可将被校正对象的传递函数近似为Go=Ke-s/(T

48、s +1),试通过PID的频率特性曲线解释上述说法。解：K 一通吊可将机械或热力学系统近似为Go(s) =eT，其对数频率特性如习题 7-17图解(a)Ts - 1所示。Frequency (rad/sec)习题7-17图解(a)一阶惯性滞后组合系统开环频率特性串联P、I、D三环节的作用可通过其对系统开环频率特性的影响来分析。2串联PID Gc(s) = Ti 7ds * 1的频率特性如习题 7-17图解所示。通常，T Td , Ts2故Gc 4 Tx Tis 4(Tis 1)(,s D 。记校正后系统截止频率为 加，各参数调整 TsTis的效果如下：1)增大P =1/Kp ,则幅频特性下降，

49、截止频率减小，快速性下降，但间接增大相位裕度， 提高平稳性；反之幅频特性上升，截止频率增大，相位裕度减小，系统响应快速，但 稳定性下降。“曲线振荡很频繁”反映出闭环系统阻尼系数过小，系统响应不平稳； 而“曲线漂浮绕大湾”反映出闭环系统阻尼系数过大，响应过缓。因此应分别增大和 减小 P =1/ Kp。2)环节Ts上会引入负相位，增大Ti可以减小该负相位对相位裕度的影响，但是也会降 Tis低各频段的增益，使系统快速性变差。“曲线偏离回复慢”表明过渡过程的后半段变化缓慢，反映出系统低频段增益过低；此时，若不方便减小P=1/Kp,可考虑减小Ti ,以达到仅提高低频段增益而尽量不影响其他频段的效果。“曲

50、线波动周期长”表明相位裕度和截止频率均过低，故而存在低频振荡；此时若单纯调整P=1/Kp,则难以同29时兼顾相位裕度和截止频率；为此，可联动增大丁减小P=1/Kp ,不改变中频段增益，达到提高相位裕度但不降低截止频率的作用。3）若校正前系统截止频率大于 工，则增大微分时间 将可能使0c变大，且提高超前相 d角。若被校正对象相频特性在如附近下降缓慢，则增大微分时间加可同时改善系统平 稳性和快速性，但若相频特性在 如附近下降很快，则增大微分时间Td可能极大地降低 系统平稳性。“曲线振荡频率快”表明响应不够平稳，且截止频率较大，很可能落于 被校正对象相频特性迅速下降的频段，因此，应减小 7d ,降低

51、截止频率，间接改善 平稳性。“动差大来波动慢”表明响应过于缓慢且在振荡，截止频率较低；此时若改 变Ti作用不明显，则可增大 ，d ,同时改善平稳性和快速性。7-18试借助MATLAB重新对习题7-16的系统设计滞后-超前校正装置。解：计算期望性能指标：按要求（1）,斜坡输入下稳态误差为 & E上L=0.02s,。按要求（2）,期望相位 50 /s裕度45/ o按要求（4）,将校正后系统近似为典型二阶系统，按图 6-61或式（6-37）, 定45时，阶跃响应调节时间ts与校正后期望截止频率0c近似满足tmc %6 ,故取*0c =2rad /s。初定校正方案取K =50。校正前系统频率特性如习题

52、 7-18图解（a）所示；其截止频率0c定5.7rad /s ,相位裕度学片与9 （按渐近特性计算为1401g601g(0.2 c) =20lg50=0.2定Y20）。易知校正前系统不满足相位裕度要求，且若单纯采用超前校正，则需要补偿的相位超过4-39+（5 =84,物理上难以实现且容易放大高频噪声。若单纯采用滞后校正，则根据习题7-16图解，校正后系统截止频率须小于 0.8rad/s,不满足快速性要求。因 此，初定采用滞后-超前校正，利用超前部分补偿相角，同时降低截止频率，间接增大相位裕 度。根据习题7-18图解（a）,咸=尔/s处校正前系统相位约为 -175口，故超前部分仍需30要提供约-

53、(180J175J45 3 =40的超前相角，考虑一定的裕度，可令 0.05mg/l ,试分析最短服药间隔时间为几小时才能保证持续的长期疗效?解：(1) c(2)c(8)分别为(单位 mg/l): 0.8、0.52、0.32、0.1936、0.1165、0.07、0.0420。(2)对该差分方程两边作 z变换，并根据超前定理，得:z2C(z)-z2c(0)-zc(1) -0.8zC(z) 0.8zc(0) 0.12C(z) =0代入初始条件 c(0)=0mg/l、c(1)=1mg/l ,并化简得:C(z)=z2z -0.8z 0.12= 2.5z-0.6zz-0.2故其z反变换得c(k) =2

54、.5(Q6k -0.2k) o易知极点在单位圆内，该序列收敛，可用终值定理得终值为0。35(3)每隔12小时应服药一次。前30小时浓度值为(单位 mg/l)：0、1、0.8、0.52、0.32、0.1936、0.1165、0.07、0.042、0.0252、0.0151、0.0091、0.0054、1.0033、0.802、0.5212、0.3207、0.194、0.1167、0.0701、0.0421、0.0252、0.0151、0.0091、0.0055、1.0033、0.802、0.5212、0.3207 解：(1) c(2)c(8)分别为(单位 mg/l): 0.8、0.52、0.32

55、、0.1936、0.1165、0.07、0.0420。(2)对该差分方程两边作 z变换，并根据超前定理，得： 2-2-z C(z)-z c(0)-zc(1) -0.8zC(z) 0.8zc(0) 0.12C(z)=0代入初始条件c(0)=0mg/l、c(1) =1mg/l ,并化简得：1-0.8z 0.122.5 z z一 z z -0.6 - z -0.2故c(0)=0mg/l ,且k0时，z反变换得c(k) =2.5(0.6k,_0.2k)。易知极点在单位圆内,该序列收敛，可用终彳1定理得终值为0。(3)每隔12小时应服药一次。前 30小时浓度值为(单位 mg/l)： 0、1、0.8、0.

56、52、0.32、0.1936、0.1165、0.07、0.042、0.0252、0.0151、0.0091、0.0054、1.0033、 0.802、0.5212、0.3207、0.194、0.1167、0.0701、0.0421、0.0252、0.0151、0.0091、0.0055、1.0033、0.802、0.5212、0.32078-6 本章例8-3已证明了表8-2中的延迟定理和复位移定理，试证明表8-2中其他z变换的性质。8-7 求函数的 z 变换：(1)e-tsint;(2)1 -et；(3)f(t) =at；Ts。解：(1)ze-aTs sin Tsz2 -2ze-aTs cos

57、 Ts - e aTs(2)t ln a一 t-f (t) = a =e 葭,查表8-1得:Zf(t) = z -a8-8 求下列拉普拉斯变换式所对应的z变换。就言京解:(2)(1)U -去；其z变换为z Je票；2元力s 一七 一滤;其z变换为a后-二 -詈三8-9 试分别用部分分式法和留数法求下列各式的(77z反变换。解:36(1) 1 -05k, k =0,1,2，。(2)当k=0时，a2 zk有三个极点，故其z反变换为(z -1)(z-a)lim a2 z Az r-lim a2z(z1)z 0|l(z -1)(z -a)z 1|(z -1)(z-a)olim - a2 z(z-a)2

58、 =0z a dz |(_(z -1)(z -a)当k 0时，a2 zk仅有两个极点，故其z反变换为(z -1)(z -a)lim a2 zkJ(z -1)z 1 lt(z -1)(z -a)lim9z 口 dz | (z -1)(z -a)k/22 z (z - a)aak(k -2) -ak(k -1)J (a -1)28-10 试用长除法求出习题 8-9中各式z反变换的前五项值，并判断结果是否与按z反变换解析表达式所求结果一致。解：(1) 0、0.5、0.75、0.875、0.9375 0、0、0、a、2a+1 一致。8-11 试推导表8-3各系统车出的z变换，并判断系统是否可建立相应的

59、脉冲传递函数。 解：若输出的z变换表达式分子中存在公因式 R(z),则可建立脉冲传递函数。8-12 假设离散线T定常系统G(z)的极点pi (i =1, 2, 3,，n)两两相异，其单位脉冲响应为g(kTs) =0於。试证明，当pj1时，Z g(kTs) 也必然成立。 i 1k =08-13 在图8-52所示系统中，设G(s) =K/s(s+1),采样周期为Ts,要求:(1)若Ts恒定，试确定参数 K的稳定域。(2)若K恒定，试确定参数Ts的稳定域。(3)若K =1/Ts，试确定参数Ts的稳定域。(4)若增加零阶保持器，即 G(s)改为Ks(s 1)G(s)=s图8-52 习题8-13图37解

60、：其闭环脉冲传递函数为“zfK(1 -es)z2_TJz -1 -K (1 K)e sz e其闭环特征方程为z2-1-K+(1+K)esz+es=0。令z =(w+1)/(w-1),得w域特征方程(1 e工)Kw2 +2(1 e)w +(2 +K)e工 +2 -K =0。列出劳斯表w2(1 -eJs)K(2 K)e工 2 -Kw2(1e,s)0(2 K)es 2 -K易知：若Ts恒定，参数K的稳定域为0 K 2(e :1)。1 -e s若K恒定，当KE2时，参数Ts的稳定域为0ETs2时，参数Ts的稳定域为 0 Ts 0。当 0 Ts 0 转化为 Tss 2(2TS 1) (2TS -1)eT