《现代数值计算》课件9[1].2 特征值问题的性质与估计_第1页
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文档简介

1、第9章 矩阵特征值问题的数值解法教学目的 1. 掌握求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法； 2. 掌握求矩阵特征值的QR方法。教学重点及难点 重点是求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法求矩阵特征值的QR方法； 难点是求矩阵特征值的带原点位移的QR方法。9.2 特征值问题的性质与估计 工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。以下是一些准备知识 但高次多项式求根精度低 , 一般不作为求解方法. 目前的方法是针对矩阵不同的特点给出

2、不同的有效方法.机器 求解 一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵，亏损矩阵在理论与计算上存在巨大的困难。称为以aii为圆心,以ri为半径的复平面上一个定义3 设圆盘。定理8 (盖尔圆盘定理）则A的每一个特征值必属于某一个圆盘之中,即A的所有特征值都在复平面上n个圆盘(1.3)的并集中。第一圆盘定理对于矩阵特征值界如何估计？第二圆盘定理(2) 如果A的m个圆盘组成并集S(连通的)且与余下的n-m个圆盘是分离的(即不相交)，则S内恰包含m个A的特征值。特别，当S是一个圆盘且与其他的n-1个圆盘是分离的(即S为孤立圆盘)，则S中精确包含一个特征值。分析 (1)只要证明 定理的证明，不仅指出了A的

3、每一个特征值必属于A的一个圆盘中，而且指出，若一个特征向量的第i个分量最大，则对应的特征值一定属于第i个圆盘中 例1 设有试估计A及A-1的特征值的范围。解：因为A为对称阵，所以A的特征值均为实数。由盖尔圆盘定理知A的特征值位于下述某个圆盘中，即且A-1的特征值由上述定理结论可知A的三个特征值位于三个圆盘的并集中， -4 0 1 4所以D1内恰包含A的一个实特征值由于D1是孤立的所以，问题：如何进一步估计上面两个特征值分别在什么范围？解决途径：若能够改变圆盘的半径，则有可能将圆盘进行分离，从而可进一步分析特征值的范围.事实上，利用相似矩阵的性质，可使A的某些圆盘半径及连通性发生变化.具体实施?对上边同一例题 从而1成立结论1说明Rayleigh商必位于 和 之间 证明 只证1， 关于计算矩阵A的特征值问题，当n=2，3时，我们还可按行列式展开的办法求 的根。但当n较大时，如果按展开行列式的办法，首先求出的 系数，再求 的根，工作量就非常大，用这种办法求矩阵特征值是不切实际的，由此需要研究A的特征值及特征向量的数值

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