江苏高考数学科考试说明及典型题示例矫正

1、2014 年江苏高考数学科考试说明及典型题示例矫正版2014年江苏省高考说明一数学科一、命题指导思想普通高等学校招生全国统一考试是由合格的高中毕业生和具有同等学历的考生参加选拔性考试.高等学校根据考试考生成绩，按已确定的招生计划， 德、智、体全面衡量，择优录取.因此，高考试卷应具有较高的信度、效度以 及必要的区分度和适当的难度.根据普通高等学校对新生文化素质的要求，2014年普通高等学校招生全国统一考试数学学科（江苏卷）命题将依据中华人民共和国教育部颁发的普 通高中数学课程标准（实验），参照普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版），结合江苏普通高中课程教学要求，既考查中学数学的 基础

2、知识和方法，又考查进入高等学校继续学习所 需要（原来是“必须”）的基 本能力.突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出 重点，注重知识内在联系的考查，注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的 考查.重视数学基本能力和综合能力的考查数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据 处理这几方面的能力.(1)空间想象能力的考查要求是：能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合 .(2)抽象概括能力的考查

3、要求是：能够通过对实例的探究，发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的 判断.(3)推理论证能力 的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性 .(4)运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据 进行估计或近似计算.(5)数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题.数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用有关的知识

4、与方法，解决较为困难的或综合性的问题.3.注重数学的应用意识和创新意识的考查数学的应用意识的考查要求是：能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决.创新意识的考查要求是：能够综合，灵活运用所学的数学知识和思想方 法，创造性地解决问题.二、考试内容及要求数学试卷由必做题与附加题两部分组成.选修测试历史的考生仅需对试题 中的必做题部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部 分作答.必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容；附加题部分考查的内容 主要是选修系列2 （删“不含选修系列1）中的内容以及选修 系列4中专题4-

5、1几何证明选讲、4-2矩阵与变换、4-4坐标系与参 数方程、4-5不等式选讲这4个专题的内容（考生只需选考其中两个专 题）.对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用 A B C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：地求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的 问题.具体考查要求如下：1.必做题部分内容要求ABC1.集合集行及具表小V子集V交集、并集、补集V2.函数概念 与基本初 等函数I函数的概念V函数的基本性质V指数与对数V指数函数的图象与性质V

6、对数函数的图象与性质V幕函数V函数与方程V函数模型及其应用V3.基本初等函数H （三 角函数）、 三角包等 变换三角函数的概念V同角三角函数的基本关系式V三角函数（原“正弦函数、余弦函数”） 的诱导公式V正弦函数、余弦函数、正切函数的图象 与性质V函数y Asin（ x）的图象与性质V两角和（差）的正弦、余弦及正切V二倍角的正弦、余弦及正切V4.解三角形正弦定理、余弦定理及其应用V5.平向向量平向向量的概念V平向向量的加法、减法及数乘运算V平而向量的坐标表示V平向向量的数量积V平而问量的平行与垂直V平向向量的应用V6.数列数列的概念V等差数列V等比数列V7.不等式基本不等式V一元二次不等式V线

7、性规划V8.复数复数的概念V复数的四则运算V复数的几何意义V9.导数及其应导数的概念V用导数的几何意义V导数的运算V利用导数研究函数的单调性与极值V导数在实际问题中的应用V10.算法初步算法的含义V流程图V基本算法语句V11.常用逻辑 用语命题的四种形式V充分条件、必要条件、充分必要条件V简单的逻辑联结词V全称量词与存在量词V12.推理与证 明合情推理与演绎推理V分析法与综合法V反证法V13.概率、统计抽样方法V总体分布的估计V总体特征数的估计V随机事件与概率V古典概型V几何概型V互斥事件及其发生的概率/14.空间几何 体柱、锥、台、球及其简单组合体V柱、锥、台、球的表面积和体积V15.点、线

8、、面之间的位置关 系平面及具基本性质V直线与平向平行、垂直的判定及性质V两平面平行、垂直的判定及性质V16.平间解析 几何初步直线的斜率和倾斜角V直线方程V直线的平行关系与垂直关系V两条直线的交点V两点间的跑离、点到直线的跑离V圆的标准方程与一般方程V直线与圆、圆与圆的位置关系V17.圆锥曲线中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几 何性质V与方程中心在坐标原点的双曲线的标准方程与 几何性质V顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与 几何性质V2 .附加题部分内容要求ABC选修系列2 :不含选修系列1中的内容1.圆锥曲线 与方程曲线与方程V顶点在坐标原点的抛物线的标准力 程与几何性质V2.空间向量 与立体

9、几何空间向量的概念V空间向量共线、共面的充分必要条 件V空间向量的加法、减法及数乘运算V空间向量的坐标表小V空间向量的数量积V空间向量的共线与垂直V直线的方向向量与平向日勺法向量V空间向量的应用V3.导数及其 应用简单的复合函数的导数V4 .推理与证 明数学归纳法的原理V数学归纳法的简单应用V5.计数原理加法原理与乘法原理V排列与组合V二项式定理V6.概率、统计离散型随机变量及其分布列V超几何分布V条件概率及相互独立事件Vn次独立重复试验的模型及二项分 布V离散型随机变量的均值与方差V内容要求ABC选修系列4中4个专题7.几何证明 选讲相似三角形的判定与性质定理射影定理V圆的切线的判定与性质定

10、理V圆周角定理，弦切角定理V相交弦定理、割线定理、切割线定 理V圆内接四边形的判定与性质定理V8.矩阵匕变 换矩阵的概念V二阶矩阵与平曲向量V常见的平向变换V变换（原“矩阵”）的复合与矩阵的 乘法V二阶逆矩阵V二阶矩阵的特征值与特征向量V二阶矩阵的简单应用V9.坐标系与 参数方程坐标系的有关概念V简单图形的极坐标方程V极坐标方程与直角坐标方程的互化V参数方程V直线、圆及椭圆的参数方程V参数方程与普逋方程的互化V参数方程的简单应用V10.不等式选 讲不等式的基本性质V含有绝对值的不等式的求解V不等式的证明（比较法、综合法、 分析法）V算术-几何平均不等式与柯西/、等 式V利用不等式求最大（小）值

11、V运用数学归纳法证明不等式V三、考试形式及试卷结构（一）考试形式闭卷、笔试，试题分必做题和附加题两部分.必做题部分满分为160分， 考试时间120分钟；附加题部分满分为40分，考试时间30分钟.（二）考试题型1,必做题 必做题部分由填空题和解答题两种题型组成.其中填空题14 小题，约占70分；解答题6小题，约占90分.2.附加题 附加题部分由解答题组成，共 6题.其中，必做题2小题，考 查选修系列2 （删“不含选修系列1）中的内容；选做题共4小题，依次考查 选修系列4中4-1、4-2、4-4、4-5这4个专题的内容，考生（删“只须”）从 中选2题作答.填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法

12、，只要求直接写出结果， 不必写出计算和推理过程；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（三）试题难易比例必做题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷 中所占分值的比例大致为4: 4: 2.附加题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷 中所占分值的比例大致为5: 4: 1.四、典型题示例A.必做题部分（一）填空题.设复数i满足（3 4i）z 4 3i （i是虚数单位），则z的实部是 .【解析】本题主要考查复数的基本概念，基本运算.本题属容易题.【答案】4 5.设集合 A 1,1,3, B a 2,a2 4, A B 3,则实数 a 的值为 .【解析】本

13、题主要考查集合的概念、运算等基础知识.本题属容易题.【答案】1.3.右图是一个算法流程图，则输出的 k的值gw4.函数f（x） 1mx D的定义域为.x 1【解析】本题主要考查对数函数的定义域等基础知识，本题属容易题【答案】（-1,1）u（1,+）5.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中 随机抽取了 100根棉花纤维的长度（棉花纤 维的长度是棉花质量的重要指标），所得数 据均在区间5,40中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有 根棉花纤维的长度小于20mm.【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计.本题属容易 题.【答案】由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于20mm

14、的频率为0.04 5 0.01 5 0.01 5 0.3,故频数为 0.3 100 30.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数 歹I，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于 8的概率是【解析】本题主要考查等比数列的定义，古典概型.本题属容易题.【答案】0.6.已知两个单位向量向量a, b的夹角为60：, c ta (1 t)b.若b c 0,则实数t的值为 .【解析】本题主要考查用坐标表示的平面向量的加、减、数乘及数量积的 运算等基础知识.本题属容易题.【答案】a|b 2 V3 - 3. 2.如图，在长方体 ABCD ABC1D1中， AB AD 3cm, AA1 2cm

15、,则四棱锥 A BB1D1D 的体积为cm 3.【解析】本题主要考查四棱锥的体积，考查空间想象能力和运算能力.本题属容易题.【答案】6.9.设直线y1x b是曲线y ln x(x 0)的一条切线，则头数b的值 2【解析】本题主要考查导数的几何意义、切线的求充【答案】ln2 1.0,0)的部分图象如图所示，则f(0) 二.函数 f(x) Asin( x ), (A,是常数，【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查特殊角的三角函数值.本题属中等题.【答案】冬.设Sn为等差数列an的前n项.若Smi 2, Sm 0, Sm 1 3,则正整数m =.【解析】本题主要考查等差数列的前 n项等基础知

16、识，考查灵活运用有关知识解决问题的能力.本题属中等题.【答案】5.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2 y2 8x 15 0 ,若直线 y kx 2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共 点，则k的最大值是一【解析】本题主要考查圆的方程、圆与圆的位置关系、点到直线的距离等 基础知识，考查灵活运用相关知识解决问题的能力.本题属中等题4【答案】43.设a为实数，y f(x)是定义在R上的奇函数，且当x 0时，f(x) 9x a- 7,若f(x),a 1对一切x0成立，则a的取值范围是 x/.【解析】本题主要考查函数的奇偶性，简单不等式的解法，以及数形结合与分类讨论的思想；

17、考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力.本题属难题.【答案】a4 87.已知正数a,b,c满足：5c 3a ba clnc,则b的取值范 a围是 .【解析】本题主要考查代数式的变形和转化能力，考查灵活运用有关的知识解决问题的能力.本题属难题.【答案】e,7 .(二)解答题.在 ABC中，角A, B, C的对边分别为a,b,c,已知a 3,b 276, B 2A . (1)求 cosA值；(2)求c的值.【解析】本题主要考查三角包等变换、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力.本题属容易题.【参考答案】(1)在 ABC 中，因为 a 3, b 2娓，B 2A,2.63故由正弦定理得-2叵,所以2

18、sin Ac0sAsin A sin 2Asin A6 故cos A 3由（1）知cosA当所以 sin A 1 cos2 A又因为B 2A,所以 cosB cos2 A 2cos2 A 11-一 _-,从而cosB 3在ABC中，因为A B C所以 sinC sin( AB) sin A cosB cos A sin B5.39D , E分别是棱为BG的中点.求证:B所以由正弓S定理得c asnC 5sin A.如图，在直三棱柱 ABC AB1cl中，A1B1 A1c1 ,BC,CC1上的点（点D不同于点C）,且AD DE,F （1）平面 ADE 平面 BCC1B1 ;（2）直线A1F /平

19、面ADE .【解析】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.本题属容易题【参考答案1证明：（1） V ABC A1B1C1是直三棱柱，CC1 平面ABC ,又 ; AD 平面 ABC ,CC1 AD .又. AD DE,CC1, DE 平面 BCC1B, CC1 DE E, AD 平面 BCCiBi,又 : AD 平面 ADE ,平面ADE 平面BCC1B1.(2) AB ACi , F 为 BO 的中点,. AF BO.又.CC1 平面 AB1cl，且 AF 平面 ABG, CC1 A1F .又 V CC1, B1cl 平面 BCC1B1 , CC1 p

20、| B1cl C1 , /. A1F 平面 A1B1cl .由(1)知，AD 平面 BCC1B1, ；AF/AD.又; AD 平面ADE, AF 平面ADE , 直线A1F 平面ADE .17.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A, B,C, D四个点重合于图中的点P ,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， E,F在AB上是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE FB x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积 S (cm2)最大，试问x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积 V (cm

21、3)最大，试问x应取何值？并求出 此时包装盒的高与底面边长的比值.【解析】本题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能 力、空间 想象能力、数学阅读能力及解决实际问题的能力.本题属中等题.设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm).由题设知60 2xa 2x,h 、2(30 x),0 x 30.2 TOC o 1-5 h z S4ah8x(30 x) 8(x 15)2 1800(0 x30)所以当x 15时，S取得最大值 Va2h2 ,2(x330 x2) , V 6. 2x(20 x)由V 0得x 0(舍)，或x 20.当0 x 20时，V 0,V递增；当20 x 30时，V

22、0,V递减.一一 h1所以当x 20时，V取得极大值，此时-由题设的实际意义可知x 20时，V取得最大值，此时包装盒的高与底面边一 1长的比值为1.如图，在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的直线交椭圆42于P, A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足 为C ,连结AC ,并延长交椭圆于点B ,设直线PA的斜率为k .(1)当k 2时，求点P到直线AB的距离(2)对任意k 0,求证：PA PB.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力.本题属中等题4x2222 直线PA的方程为y 2x，代入椭圆方程得24

23、.一一 2424 一 2 ，一 一.因此P(30a( 3, 3),于是C(,0),直线Ac的斜率为2故直线AB的万程为x y - 0.3因此，点P到直线AB的距离为.123J|12(2)解法一：将直线PA的方程y2kx代人42匕1,解得x222 .1 2k2.1 2k2，则 P( , k),A(k),于是C(,0)，从而直线AB的斜率为2,其方程为y 2(x).代入椭圆方程得(2k2)x2 2k2x2(3k2 2)_ 2-(3k2)2 k2或x .因此B(3k2 2) 2 k2, 2kJk2)，于是直线PB的斜率kiK k 2 k2 (3k2 2) 2 k232k k(2 k )3k2 2 (

24、2 k2)1 一一,因止匕k1k1k所以PA PB解法二：设 P(Xi,yi),B(X2, y2),则 xi 0% 0,xi X2, A( xi, y1),C(xi,0)，且近 Xik.设直线PB, AB的斜率分别为ki,k2.因为C在直线AB上，所以k2 TOC o 1-5 h z 0 ( yi)yikXi ( Xi) 2Xi 2从而 k1k i 2k1k2 i 2 在-y1.y-(yi i X2 Xi X2 ( Xi )2y；2y2i(X22 y2)(x；2y；)44022122220.X2XiX2XiX2Xi因此kiki,所以PAPB.已知 a, b 是实数，函数 f (x) x3 ax

25、, g(x) x2 bx, f (x) ft g (x)Mf (x), g(x)的导函数，若f (x)g (x) 0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致(i)设a 0,若函数f(x)和g(x)在区间i,)上单调性一致，求实数b的 取值范围；(2)设a 0,且a b ,若函数f (x)和g(x)在以a, b为端点的开区间上单调 性一致，求|a-b|的最大值.【解析】本题主要考查函数的概念、性质的基础知识，考查灵活运用数形 结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.本题属难 题.【参考答案】(1)因为函数f(x)和g(x)在区间1,)上单调性一致，所以，x

26、 1,), f(x)g(x)。，即x 1,),(3x11a 3a ,- a 0, (b a/ 二； 3当a 0 b时，因为，函数f(x)和g(x)在区间(a, b)上单调性一致，所以，x (a,b), f (x)g (x) 0,即 x (a,b),(2x+b) (3x2+a) 0, ： b 0,而 x=0 时，(3x2+a) (2x+b)=abk时，Snk Sn k 2(Sn Sk )都成立.【解析】本题以等差数列、等比数列为平台，主要考查学生的探索与推理 能力.本题属难题.【参考答案】(1)设乂= 1 , a2 2,求 a5 的值；(2)设乂= 3, 4,求数列an 的通项公式.解析：(1)

27、 ；k 1, n 1,Sn1 Sn1 2(Sn G), Sn2 Sn 2(Sn1 S)即：an 2 an 2an 1所以，n1时，an成等差，而a22,S2 3,S3 2S S) S17, a3 4, a 8;(2)由题意：4,Sn4 Sn 4 2(a S4)。)，n 3,Sn 3 Sn3 2(&S3),。)；n由(3)(4)得：an 5 an 22a4,(6)由(1)(3)得：an 4an22an1,(7);由(2)(4)得：an 5an32an1,(8);由(7)(8)知：an 4, an 1,an 2,成等差，an 5,an 1,an 3,成等差；设公差分别为：d1,d2,由(5)(6)

28、得：an 5 an 3 2d2an 42a4 2d2,(9); an 4 an 2 2d1an 5 2a4 2d1,(10);由(9) (10)得:an 5an 4dzd1,2a4d1d2,an 2an3 d2d1；an(n2)成等差，设公差为d,在(1) (2)中分别取n=4,n=5得：2al+6a2 15d 2(2al 5a2 5d),即 4a2 5d 2;2 al 8a2 28d 2(2 al 7a2 9d),即 3a2 5d 1a2 3,d 2, an 2n 1.B.附加题部分.选修4 1 几何证明选讲如图，AB是圆。的直径，D为圆。上一点，过点D作圆O的切线交AB的延长线于点C ,若

29、DA DC,求证：AB 2BC.【解析】本题主要考查三角形与圆的一些基础知识，如三角形的外接圆、 圆的切线性质等，考查推理论证能力.本题属容易题.【参考答案】连结OD,BD ,因为AB是圆。的直径，所以 ADB 90 , AB 2OB因为DC是圆。的切线，所以 CDO 90,又因为DA DC.所以 A C.于是ADBW CDO.从而AB 即 2OB OB BC.得 OB BC.故 AB 2BC.选彳4 2矩阵与变换1 01 2已知矩阵A,B，求矩阵A1B.0 20 6【解析】本题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力.本题属 容易题.【参考答案】设矩阵A的逆矩阵为a b ,则10cd 0

30、 2a b _ 1 02c 2d - 0 1 1 01故a=-1 , b=0, c=0, d=；矩阵A的逆矩阵为A120-211 _A 1B =03.选修4 4坐标系与参数方程在极坐标中，已知圆C经过点P -,圆心为直线sin 与 432极轴的交点，求圆C的极坐标方程.【解析】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力.本题属容易题.【参考答案】占,.圆C圆心为直线Sin -2与极轴的父点/、/在 sin - 理中令=0 ,得 1./ J圆C的圆心坐标为(1, 0).圆 C 经过点 P 22, - , 圆 C 的半径为 PC Jv2 2 12 2 1 V2cos-=1 .圆

31、C经过极点.圆C的极坐标方程为 =2cos .选修4 5不等式选讲已知a,b是非负实数，求证：a3 b3 Jab(a2 b2)【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法.考查推理论证能力，本题 属容易题.【参考答案】由a,b是非负实数，作差得a3 b3. ab(a2 b2) a2 .a( .a .b) b2 -b(、b a( -a -.b)( .a)5 ( b)5)当 a b时，a 从而(荷)5(而)5,得函 vb)(va)5 ,b)5) 0（.而）5,得（后 vb）（va）s wb）5） o.A1B1c1D1 中，AA12, AB 1 ,点 N 是 BC当a b时，4a vb,从而（va）5所以 a3 b3ab（a2 b2）.如图，在正四棱柱ABCD的中点, 点M在CCi上，设二面角 A DN