江苏省无锡市2020-2021学年高二上学期期末数学试题

1、江苏省无锡市2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校;姓名:班级:考号:B- +T = 1D- 7+77=,yjx2 +3x2 +2（XR）最小值为2.A.B.C.D.一、单选题 TOC o 1-5 h z .设x a 0，则下列不等式一定成立的是（）A. x2 ax ax a2 C. x2 a2 a2 ax.己知向量g = （0,1,1）,方= （1,一2/）.若向量Z + B与向量2 = （/几2,）平行，则实数的值是（）A. 6B. -6C. 4D. -4.已知椭圆C：二+=1伍/；（）,若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分, lr则此椭圆的标准方程为（）. 广)厂 ，A. +

2、 = 136 32c f+T = lgx2 + - lgx（x0）； sinxd12（xAr,keZ）；4/sin x4.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、 上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？ ”其意思：”共有五 头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配， 在本题中表示等差分配）.”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士 得（）A.三分鹿之一B,三分鹿之二C. 一鹿D. 一鹿、三分鹿之一 TOC o 1-5 h z .已知等比数列4为单调递增数列，设其前项和为S”，若外=2, 53=7,

3、则% 的值为（）1A. 16B. 32C. 8D.-4.下列不等式或命题一定成立的是（）.已知关于x的不等式(。2-4卜2+5-2L一120的解集为空集，则实数。的取值 范围是()r 6。6)( 6 .-A. -2,B. -2,C. ,2-5L.D. ,2U2*).设S”为数列色“的前项和，满足S.=2q3,则56=()A. 192B. 96C. 93D. 189.若正数。、b 满足 ab = 2(a+b) + 5,设 y = (+8-4)(12。-3 ,则 的最大 值是()A. 12B. -12C. 16D. -1610.正四面体43CQ的棱长为2, E、/分别为8C、AO的中点，则荏.女的

4、值 为()A. -2B. 4C. 2D. 12211.已知椭圆 +*=1(。0)的左右焦点分别为，鸟，离心率为e,若椭圆 上存在点夕，使得要=”,则该离心率。的取值范围是()12.当n为正整数时，定义函数N()表示的最大奇因数.如N(3) = 3,N(10) = 5,S() = N+ N(2) + N(3) +N(2”)，则S=()A. 342B. 345C. 341D. 346二、填空题.命题:、Vx0,都有Yxzo”的否定：. TOC o 1-5 h z .不等式式3的解集是.X222215.己知双曲线二-二=1的离心率为2,焦点与椭圆三+二=1的焦点相同，那么 cr lr25 9双曲线的

5、渐近线方程为ii 2.已知，必=一，a,e（O,l）那么+ =-的最小值为.21-67 -b三、解答题.已知等差数列色“的前项和为S“，且%+%=25, S$=55.（1）求数列凡的通项公式；（2）设。也=丁匚，求数列的前项和人3” - 1/ 1.已知awR,函数/“）= Rj.（1）若/。）2对xe（O, 2）恒成立，求实数”的取值范围；（2）当”=1时，解不等式.在平面直角坐标系my中，曲线。上的动点M（x,y）（x0）到点F（2,0）的距离 减去M到直线工=一1的距离等于1.（1）求曲线C的方程：（2）若直线y = k（x+2）与曲线C交于4，B两点,求证：直线4与直线F8的倾 斜角互补

6、.某种汽车购买时费用为14. 4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万 元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，依等 差数列逐年递增.（I）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f（n）,试写出f（n）的表达式：（II）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）.如图1，在高为6的等腰梯形A3CQ中，ABHCD,且A3 = 12, 8=6,将它 沿对称轴。折起，使平面AOO0_L平而BCO0,如图2,点尸为8c的中点，点E在线段48上（不同于A，3两点），连接OE并延长至点Q,使AQO8.因2证明：。，平面尸从。；若BE = 2

7、AE，求二面角C-8Q-A的余弦值. 22.已知椭圆G：二十5=1（。0）, F为左焦点，A为上顶点，8（2,0）为右顶 cr I”点，若近|行| = 2|福卜抛物线G的顶点在坐标原点，焦点为F.（1）求G的标准方程；（2）是否存在过F点的直线,与G和g交点分别是P, Q和M,M使得S.OPQ = -S.omn? 2如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.参考答案B【分析】直接利用不等式性质：在两边同时乘以一个负数时，不等式改变方向即可判断.【详解】x 。 6/2 x2 ax ， ：.x2 ax ci2故选从【点睛】本题主要考查了不等式的性质的简单应用，属于基础试题.D【解析】【分析

8、】求出向量Z + B的坐标，利用向量共线定理即可得出.【详解】解：v = (O,l,l), = (1,-2,1)4 +。= (1, 1,2)又因为向量Z + B与向量C = (7, 2,)平行所以存在实数4,使得右m = A m = -2.4 2 =九解得 0)当且仅当X = J时取等号，故正确：sinx可以取负值，故sinx + !N2(xWk/,keZ)不成立，故错误：sinx由基本不等式可得x2 +122 1 凶=2国当且仅当|x| = 1时取等号，故正确：当x = 0时，=三 =正2故错误.02+22故选：C【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.C【分析】由题意得出关于x的不等

9、式(14)/+(a -2户一1。的解集为R,由此得出4 = 0或-40,在4 = 0成立时求出实数。的值代入不等式进行验证，由此解不等式 A0可得出实数。的取值范围.【详解】由题意知，关于X的不等式一4卜2 +( - 2)x 1 0的解集为R.(1)当。2-4 = 0，即。= 2.当4 = 2时，不等式(。2-4卜2+._2)1IvO化为ivO,合乎题意；当。=2时，不等式(2-4)x2+/ - 2)x l(Ht为Txl0,即其解集不为R,不合乎题意：(2)当万一4工0，即。2时./关于X的不等式（。2-4卜2+（“一2）工一1。的解集为/?.a2-40A0 x b0解得他2 25v y =

10、(n+/?-4)(12-n-Z?)(29、2ab-3 229 - 他、 T)ab-13 -2-; ab 25 /. ymax = 12当且仅当必=25时取得最大值故选：A【点睛】 本题考查二次函数的性质，重要不等式的应用，属于中档题.【解析】【分析】 如图所示，ae=1(ab+Aq,万=3诟.代入荏.标，利用数量积运算性质即可得 出.【详解】解：如图所示,AE = (ABAC), AF = AD. AE-AF = -(AB + AC)AD = -(AB-AD + AC-AD) 224=(2 cos 60。+22 cos 60。)4=1.本题考查了向量数量积的运算性质、平行四边形法则，考查了推理

11、能力与计算能力，属于中 档题.11. A【分析】PFpF pp _|_ pp 2a7由万U = e结合椭圆离心率的定义可得抵 + l = f= F = e + l，可求得PE=一， PF.PF2 PF2 PF2e + 而a -c4/蜴W。+ c ,从而可求得离心率e的取值范围.【详解】,PF , PF, + PF 为 ，解：依题意，得U + l= ”=7F = - + 1，PF2 pf2 pf2/. P7s= ,又 q-c&PFWci + c , e + ./-cW=Wa + c，不等号两端同除以得，e + 121 - 41 + e , e + 1-飞2二，L，解得吟点-1，1+。点又Ovec

12、l,夜-区eS(5)= 2 + 4 + 42 + 43 + 44 = 342.故选 A-Hx0 ,使得V -xvO【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论.【详解】解：命题是全称命题，则命题的否定是：Hx0,有VxcO；故答案为：玉0,有Y-xvO【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.14.(-?0)【分析】 将分式不等式转化为整式不等式，解得.【详解】r 1解：T:一3X-30 X-l-2x 八x2jv)x0 .(2x+l)x0 x02故不等式的解集为: 故答案为：（一；，0【点睛】本题考查分式不等式的解法，属于基础题.15. y = 土小x【解析】试题分析：因为双曲

13、线二二=1的离心率为2,所以1 +匕=4, =3, 2 = 又双 crcr a曲线焦点与椭圆二+t=1的焦点相同，即焦点在x轴上，故双曲线的渐近线方程为 25 9y = y/3x .考点：本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程及几何性质.点评：基础题，圆锥曲线中A.bce的关系要熟悉，并做到灵活运用.16. 10【分析】先根据条件消掉人，即将=：代入原式得1匚+丁匕，再裂项并用贴“1”法，最后运 2111 - 4 勿 一 1用基本不等式求其最小值.【详解】 TOC o 1-5 h z 解：因为所以，b = g, 2241212因此，1 a 1 b 1 Cl 12a1 I 4a _ 1 2(24-1

14、) + 216/ 2 - 114 2tLi22a 1+ 2 = 2(! +2a-l12-%)+ 2=2(+ + 七)3 1)+ (2-却+ 2= 2(1 + 1 +2 2a 2a - I + +2 ZI 2-ZJre c /2 _2a 1 c s泗 2 + 2桂 E + 2当且仅当：了2n-l 2-2a1?即十二的最小值为:1 一 1 -/?3叩”=，时，取“=410,故答案为：10.【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，涉及消元，裂项，凑配，贴1等恒等变 形，以及取等条件的确定，属于难题.17.=3 + 2；，=2(3 + 2)【解析】试题分析:（1）根据等差数列基本量的运算

15、求得4=5, = 3,故可得通项公式.（2）根据数列通项公式的特点利用裂项相消法求和.试题解析：(1)设等差数列对的公差为”,由题意得a2 + a5 = 2q + 5d = 25S5 = 5a3 = 51 +10(/ = 55q =5, d = 3,an =5+3(- l) = 3 + 2.由得“=7许 =(3”1)(3 + 2)=乩不rw1111十 十.312 5583一132 3 + 2厂 2(3 + 2)，(1) ”20；(-oo,-1-.【分析】(1)分离参数a,构造函数利用均值不等式求最值即可;(2)分类讨论去绝对值，最后取并集即可.【详解】(1)Vf (x) $2x 对 x (0,

16、 2)恒成立，a$L+2x 对 x (0, 2)恒成立， x1+2疟2右，当且仅当1=2x,即x二走 时等号成立,xx2e-a/21(2)当 a=l 时，f (x)二1 -凡，1Vf (x) 2x,，1-e2x,同1若 x0,贝ij 1 - 可化为：2x11若 x0,贝 ijl-可化为：2x2-x-1K),解得：xNl 或 xW- -，Vx0, Ax- 卜|22(%1 -2)(x2 -2)(X, -2)(x2 -2)因为西=4.,直线E4与直线EB的斜率之和为0,.直线E4与直线网的倾斜角互补.【点睛】本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考 查了推理能

17、力与计算能力，属于中档题. - x+l0,利用根与系数的关系与斜率计算公式可得：直线E4与直线网的斜率之和0,即可证明【详解】（1）曲线C上的动点M （% y）（x 0）到点*2,0）的距离减去M到直线x = -的距离等于1,所以动点M到直线x = 2的距离与它到点尸（2,0）的距离相等，故所求轨迹为：以原点为顶点，开口向右的抛物线y2 = 8x：（2）证明：设4（4,）,8（,月）联立，得公/+（4代一8卜+4公=0, *工0）区一4户/0，2+为=上;，%占=4,.直线线E4与直线用的斜率之和:-k2% 2 x1 - 2% _ 2_ 2M工丹_攵（玉+2）工攵（ + 2） 十十k(xi +

18、2)(x2 -2) + 女(2-2)(占 +2)2%(中2 -4)(1) /() = 0.1/+ + 14.4(eN)； (2) 12年.【分析】(1)由已知中某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9 万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年S6万元，依等差 数列逐年递增，根据等差数列前n项和公式，即可得到了。?)的表达式；(II)由(I)中使用八年该车的总费用，我们可以得到年平均费用表达式，根据基本不等 式，我们易计算出平均费用最小时的值，进而得到结论.【详解】(I/O?) = 14.4 + (0.2 + 0.4 + 0.6 + +0

19、.2) + 0.9/70.2( + 1)= 14.4 + 0.9n2=0.1/72 +/ + 14.4(II)设该车的年平均费用为S万元，S= l/(/Z) = l(0.1n2+/2 + 14.4) n n=+ + 1 2VL44 + 1 =2xl.2 + l =3.410 n 、则有仅当 =12时，等号成立.汽车使用12年报废为宜.【点睛】本题主要考查等差数列的应用，读懂题意，转化为等差数列求和，利用基本不等式求最值是 解题的关键，属于中点题.(1)证明见解析；(2)亚.6【分析】(1)建立空间直角坐标系，把证明OD_L平而PAQ的问题转化为证明历而=0,历.而=0即可：(2)求出平面C8Q

20、的法向量为勺=(x,y,z)和平面A3。的一个法向量 为7 = (，1)，把求二面角。8。一A的余弦值的问题转化为求彳；与;的夹角的余弦值的问题即可.【详解】(1)证明：由题设知04, 0B,。|两两垂直，所以。为坐标原点，04, 0B,。1所在直线分别为x轴，)轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设4Q的长为加，则0(0,0,0), A(6,0,0), 8(0,60), C(0,3,6), 0(3,0,6), Q(6,i,0).因为点P为8c的中点，所以 .9所以。=(3,0,6), AQ = (O/,O), PQ= 6,加一一,一3 i 2因为历而=0,。力。=0,所以历1.而，obPQ9又而与而不共线， 所以平面PAQ.(2)解 因为的= 2AK，AQ/O8,所以AQ = ?O8 = 3, 2则0(6,3,0),所以9= (-6,3,0), BC = (0,-3,6).设平面CBQ的法向量为=(x, y, z)，瓦 QB = 0 , J_6x + 3y = 0由“而=0得 j-3y + 6z = 0令z = l，则 y = 2, x = l /?! =(1,2,1).易得平而A3。的一个法向量为7 = (0,0,1).设二而角。一8。一A的大小为8,由图可知，。为锐角,即二面角c 8。一 A的余弦值为亚. 6【点睛】本题主要考查利用空间向量的有关知识证明线而垂