第8讲费马点最值模型(原卷版)2020年中考数学几何模型能力提升篇(全国通用)

1、中考数学几何模型8:费马点最值模型拨开云雾开门见山名师点睛费马尔问题思考：PA+PB+PCM 小？如何找一点P使它到 ABC三个顶点的距离之和BP AP CP=BP PQ QE BE当B、P、Q、E四点共线时取得最小值费马点的定义：数学上称，到三角形 3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：.如果三角形有一个内角大于或等于120。，这个内角的顶点就是费马点；.如果3个内角均小于120 ,则在三角形内部对 3边张角均为120的点，是三角形的费马点。费马点的性质：费马点有如下主要性质：.费马点到三角形三个顶点距离之和最小。.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120。费马点最小值快速求解：费

2、尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换.秘诀：以4ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值典题探究启迪思维探究重点例题1.已知：4ABC是锐角三角形， G是三角形内一点。/ AGC=/AGB= /BGC=120 .求证：GA+GB+GC的值最小.变式练习.如图，P是边长为1的等边 ABC内的任意一点，求t PA PB PC的取值范围.求正方形的边长.例题2.已知正方形ABCD内一动点E至ij A、B、C三点的距离之和的最小值为我 J6变式练习.若P为锐角 4ABC的费马点，且/ ABC=60, PA=3, PC=4,求

3、PB的值.例题3.如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收费站P,在铁路线BC段上建一个发货站台 H,设铺设公路 AP、DP以及PH之长度和为1,求l的最小值.A 1000m d变式练习.如图，某货运场为一个矩形场地ABCD,其中AB = 500米，AD= 800米，顶点A, D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P,在BC边上(含B, C两点)开一个货物入口 M,并修建三条专用车道PA, PD, PM.若修建每米专用车道的费用为10000元，当M, P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？(结果保留整数)例题4.

4、如图，在平面直角坐标系 xOy中， ABC三个顶点的坐标分别为 A (- 6, 0) , B (6, 0) , C (0,4/3),延长 AC到点D ,使CD = AC,过点D作DE / AB交BC的延长线于点 E.(1)求D点的坐标；(2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连接DF、EF,若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分 成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；(3)在第二问的条件下，设 G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿 y轴到达G 点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线 GA上运动速度的2倍，试确定G点的 位置，使P点按照上述要

5、求到达 A点所用的时间最短.(要求：简述确定G点位置的方法，不要求证明)例题5.如图1,已知一次函数y= x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y = - x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C.(1)求b、c的值；(2)如图1,点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED,连接CE并延长交抛物线于点 M,求 点M的坐标；(3)将直线AB绕点A按逆时针方向旋转 15后交y轴于点G,连接CG,如图2, P为4ACG内一点，连接PA、PC、PG,分别以 AP、AG为边，在他们的左侧作等边 4APR,等边AACQ,连接QR求证：PG=RQ;求PA+PC+PG的最小值，并求

6、出当 PA+PC+PG取得最小值时点 P的坐标.领悟提升强化落实达标检测1.如图，已知矩形 ABCD, AB=4, BC=6,点M为矩形内一点，点 E为BC边上任意一点，则 MA+MD+ME的最小值为4AB=2,贝U AP+BP+CP的最小值为（.如图，四边形 ABCD是菱形，AB = 4,且/ ABC= / ABE = 60 , M为对角线BD （不含B点）上任意60得到BN,连接EN、AM、CM,贝U AM + BM+CM的最小值为.将4ABC放在每个小正方形的边长为 1的网格中，点B、C落在格点上，点 A在BC的垂直平分线上, /ABC = 30,点P为平面内一点.(1) /ACB =（

7、2）如图，将4APC绕点C顺时针旋转60。，画出旋转后的图形（尺规作图，保留痕迹）；（3） AP+BP+CP的最/、值为* -1 WS 3 H- in 尸V! 、 VI：1RV1Il*I.1.-ji I I L .r -!W!l!L *卜耳a * i Br a *(i111|i!ibiic :：L|HIL .Illi! IlinH1|1|lL -4一一.L -I - - jiirk_l Jl*1 w3,lL .-l号用国3C6.已知，在 4ABC 中，/ACB=30(1)如图1 ,当AB=AC= 2,求BC的值；(2)如图2,当AB=AC,点P是4ABC内一点，且 PA = 2, PB=。R(

8、3)如图 3,当 AC=4, AB=V7 (CBCA),点 P 是4ABC 内一动点，sic国1图2,PC= 3,求/ APC的度数；贝U PA+PB+PC的最小值为 胪图35.如图，四个村庄坐落在矩形 ABCD的四个顶点上，AB=10公里，BC=15公里，现在要设立两个车站 E, F,贝U EA+EB+EF+FC+FD的最小值为 公里.7.如图 1,在 4ABC 中，/ACB=90,点 P 为4ABC 内一点.(1)连接PB, PC,将BCP沿射线CA方向平移，得到 ADAE,点B, C, P的对应点分别为点 E,连接CE.D、A、依题意，请在图2中补全图形；如果BPXCE, BP = 3,

9、 AB=6,求CE的长(2)如图3,以点A为旋转中心，将 4ABP顺时针旋转 60得到AAMN,连接PA、PB、PC,当AC=3, AB= 6时，根据此图求 FA+PB+PC的最小值.38. （1）阅读证明P为AABC的如图1,在 ABC所在平面上存在一点 P,使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点 费马点，此时 PA+PB+PC的值为4ABC的费马距离.如图2,已知点P为等边 ABC外接圆的京上任意一点.求证：PB+PC=PA.（2）知识迁移根据（1）的结论，我们有如下探寻 4ABC （其中ZA, ZB, /C均小于120）的费马点和费马距离的方法: 第一步：如图3,在 ABC的外部以BC为边长作等边4BCD及其外接圆；PoA+PoB+PoC= PoA+ (PoB+PoC) = PoA+;第二步：在一而上取一点Po,连接PoA, PoB, PoC, PoD.易知第三步：根据（1