高中数学函数知识点知识点总结(反比例函数、对数函数、幂函数……)

1、回考.回考.高中数学函数知识点知识点总结（反比例函数.对数函数.幕函数某某：指导：日期：回考.回考.一次函数.(-)函数L确定函数定义域的方法：，(1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数；，(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零；(3 )关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；(4 )关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；，(5 )实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义.(二)一次函数1, 一次函数的定义一般地，形如尸麻+b型,6是常数，且女工0 )的函数,叫做一次函数，其中X是 自变量。当人时，一次函数照=收，又叫做正比例函数.”(1L次函数的解析式的形式是叔

2、+ b ,要判断一个函数是否是一次函数，就是判断 是否能化成以上形式.一当6=0 ,人0时，片仍是一次函数(3)当6= 0 , 4 =0时，它不是一次函数.d正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数.d2、正比例函数及性质，一般地，形如y=kx(k是常数，k=0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.一 WSZv注：正比例函数一般形式y=kx(k不为零)k不为零 x指数为13b取等k0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小.（1）解析式:y二kx （ k是常数，kwo） (2)必过点二(0, 01 (1, k走向：Q0时，图像经过一.三象限；k0 ,

3、y随x的增大而增大；k0时，向上平移；当bV）时，向下平移）(1)解析式：y=kx+b(k、b 是常数，k。OPC：(0,b)和(-，,0) p(3 )走向：k0,图象经过第一、三象限；k0 ,图象经江二象限；b0 ,图象经过第三、四象限0L c U直线经过第一.二.三象限 b 0fit 0k0t c O直线经过第一.三.四象陆A 0L八。直线经过第二、三、四象限， b0 , y陲x的增大而增大；k0时，将直线y=&的图象向上平移b个单位；,当b v0时，将直线y二kx的图象向下平移b个单位一次 函数。k =Ax + b|A * 0）。k , 够，A)。一Ac Opb0。方0b0时，向上平移；

4、当b0时，向下平移），&正比例函数和一次函数及性质正比例函数*一次函数2概念Q一般地，形如y=kx（k是常数，kwO）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数c一般地，形如y=kx + b（k1b是常数，k#0）,那q么y叫做x的一次函数当b=0时，是y=kx , 所以说正比例函数是一种特殊的一次函数自变量范围0时，直线经过一、三象限；k 0 , b 0,直线一、=象限，*k0, b0直线经过第一、三四象限k0直线经过第一、二四象限，k0,b0 , y随x的增大而增大;（从左何右上升）一k0时，将直线丫=必的图象向上平移I个单位；，b0或ax+b0 （afb为常数，a/0 ）的形式，所以解一元

5、一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值 范围,10、一次函数与二元一次方程组3 n c（1以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=-x+：的图象相同*a.x + b,y =c./a, cf（2）二元一次方程组:的解可以看作是两个一次函数广-1X十/n2x + o2y =c2b b和y=-x+=的图象交点 o2 02二次函数”一、二次函数概念：“.二）欠函数的概念：n也，形如+笈+c（ a，力，C是常数，afO ）的函数，叫做二）欠函数.这里需要强调：和一jO欠方程类似，二欠项系数a工0 ,而b，c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.二;欠函数

6、y=aF+取+。的结构特征等号左边是函数，右边是关于自变量工的二次式，工的最高次数是2.3的考.的考.。，人C是常数，a是二欠项系数，是一次项系数，。是常数项.二、二次函数的基本形式.一般式二 /(.x) =ax-+6工+c(a =0)： /卜)=口(工十根)-+(a O0) 零点式二 /(X)=a(x -x1)(x-x2)(a * 0)0da 12/ 4a J值域4ac-b2a+4。J 4ac 3 y， i4a J单调区间d11 b 1 五Jb 、 一一,+ao 、2a ；递减，递皆1b )b、一,+ao00向上召（0 0卜y轴。x0时，的增大而增大；x0时，）,随0工的增大而减小；x=0时

7、，y有最小值0“ 0)Qx0时，y随工的增大而减小；x0*向上（0,c）0y粉x0时，），随x的增大而增大；工0时，了度。工的增大而减小；x=0时，），有最小值c。 0时，J,随X的增大而减小；K 07向上。(/?, O)pX=hd时，j-随x的增大而增大；方时，y 随通增大而减小；3人时，），有最小值0 .，：a00向上小(/： A)小X=hdx/?时,y随工的增大而增大；.r4时,y随K的增大而减小；x=时，J,有最小值A ；a 0小向下小（h,矶砥X=hd工时，,随工的增大而减小；/方时，y随X的增大而增大；X三方时，y有最大值G，三、二次函数图象的平移.平移步骤：方法一：（1）将抛物线

8、解析式转化成顶点式片”（疔+ k确定其顶点坐标便，A）/保持抛物线廿二,方的形状不变,将其顶点平移到（从A）处，具体平移方法如下向上(Q0)【或向下伏巧】平移W个单位产“2+&)y*呼向上(Q。或下60)】平移W个单位向右【或旬K。】 平移网个单位向右(附【或左依。】 平移限个单位向上伏。【或卜伙0) 平移四个单位向右伊。【觥(东0)】 平移K个单位-尸收坤一k.平移规律，在原有函数的第出上/1值正右移，负左移；A值正上移，负下移.，概括成A个字左加右减，上加下减.，方法二：，y = ax2 + bx + c沿,轴平移:向上(下)平移加个单位，y =ad +加:+c变成储y = ax2 +bx

9、 +c + m ( sJcy =ax2 +bx +c - m )9=ad+次+。沿轴平移：向左(右)平移机个单位,y=ax2+bx+cy =a(x + m)2 +b(x +m) + c ( y = a(x m)2 +b(x - m) + c四、二)欠函数y = a(.”/+ A与片ad + bx - c的比较+,从解析式上看，尸a(x-力丫 + A与y = G + bx + c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即尸a；x+，其中方一 2a J4a2a 4a回考.回考.-A, h晅考.五、二）欠函数F= a? + hx + c图象的画法3五点绘图法：利用配方法将二次函数J，= G

10、+云+。化为顶点式广。-疗+k ,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与_，轴的交点（0, c）、以及（0, c）关于对称轴对称的点（助，c）、 与K轴的交点（X：，0） , （x:, 0）（若与K轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）* 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与k轴的交点，与卜轴的交点六、二）欠函数y = a.ir + hx + c的性质p.当”0时，抛物线开口向上，对称轴为尸-二，顶点坐标为【当 与互,一 2a1勿 4a ,当时，随X的增大而减小；当工-二时，尸随工的增大而增大；当.3-3 2a

11、2a2a时一，有最小值牛攵4a.当0时，抛物断口向下，5?为工=一看，顶侬标为，?，,当时，户随工的增大而增大；当工一当时，随工的增大而减小；当工=-3时, 2a2a2ay有最大值：一 4a七、二次函数解析式的表示方法.一般式：y = G + 6x+ c （ a , b r c 为常数 f a 工 0 ）；.顶点式：y=a（x- h）2 + A （ a ,右，4 为常数 r af 0 ）； .两根式：y=a（x-.v）（x-.r,） （ “ * 0 , .q , x：哥6物线与x轴两交点的横坐标）*注意：任可二;欠函数的解析式都可以化成TS式或顶点式，但并非所有的;欠函数都可以写 成交点式，只

12、有抛物线与工轴有交点，即从- 4M20时，抛物线的解析式才可以用交 点式表示.二欠函数解析式的这三种形式可以互化*八、二;欠函数的图象与各项系数之间的关系.二次项系数”二欠函数户加+及+C中，。作为二欠项系数，显然“0(1)当0时，抛物线开口向上，。的值越大，开口越小，反之。的值越小，开口越 大；，当a0时，抛物线开口向下，”的值越小，开口越小，反之。的值越大，开口越大1总结起来，。决定了抛物线开口的大厢方向，。的正负决定开口方向，H 的大小决定开口的大小.G. 一次项系数8d在二次项系数。确定的前提下，占决定了抛物线的对称轴.“(1)在的海下，当8o时,一刍0 ,即抛物线的对称轴在.V轴左侧

13、 当人。时，-，=0 ,即抛物线的对称轴就是)，轴2a当儿0时，一名 0 ,即抛物线对称轴在p轴的右侧.(2)在。的前提下，结论刚好与上述相反，即当人0时，-勺0 ,即抛物线的对称轴在y轴右侧；T2a当人0时，卜0 ,即抛物线的对称轴就是卜轴；一2a当方0时,一9 0 ,即抛物线对称轴在)，轴的左侧. ab的符号的判定：对称轴x = -2在y轴左边则附 0 ,在y轴的右侧 2a则MvO ,概括的说就是“左同右异3.常数项cw（1）当00时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与p轴交点的纵坐标为正中（2）当。二。时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与户轴交点的纵坐标为0当CY0时，抛物

14、线与了轴的交点在工轴下方，即抛物线与F轴交点的纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，只要“，方，。都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.。二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；裂已夕物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；“3.已知抛物线与/轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式. 九、二次函数图象的对粉二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用

15、一般式或顶点式表达R r J.关于，轴对称y= r +c关于a轴对称后,得到的解析式是y- -b.x-c ；。产a(x-介f +/关于x轴对称后，得到的解析式是片(/-行- A ； “.关于3,轴对称。y = a-V +阮+ c关于y轴对称后,得到的解析式是y = ar -bx+c ； y = a (x- h)1 + k关于歹轴对称后，得到的解析式是y= a (x+/+左；.关于原点对称y= Q.d + bx+ C关于原点对称后,得到的解析式是JJ二-ar + bx- cj，=a(x万一关于称后，得到的解析式是j，=a(x+/炉一A ；.关于顶点对称(即：抛物线绕顶点旋转180。) 广一+bc

16、关于顶点对称后,得到的解析式是了= 一公区三；”歹=().+2-根据对称的性质，显然无论作彳可种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此H 永远不变,求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则， 的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确.-A, h晅考.回考.定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程1.二欠函数与一亡次方程的关系（二次函数与X轴交点情况）：一元二次方程* +笈+ C = 0是二次函数J，=/+云+ C当函数值y = 0时的特殊 情况+图象与K轴的交点个数：“当A=

17、 - 4zc。时，图象与工轴交于两点月（.，0） 8（.q , 0） （., *.v,）,其中的三，三是一元;欠方程ad +bx + c=0）的两根.这两点间的距离/ n I 如一初c.=一当=（）时，图象与-I轴只有一个交点；U当（）时,图象与工轴没有交点，1当。0时，图象落在M由的上方，无论X为任何实数，都有），0 ;，2（当。0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有，0 . .抛物线壮+bc的图象与J轴一定相交，交点坐标为（0 , C）；，.二欠函数常用解题方法总结：，（1）求二次函数的图象与X轴的交点坐标,需转化为一元二次方程；，（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二

18、:欠函数由一般式转化为顶点式；，（3）根据图象的位置判断二欠函数广加+A+c中a ”的符号,或由二欠函数中a ,b , c的符号判断图象的位置，要数形结合；(4)二欠函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标抛物线与X轴有两个交点。，欠二项式的值可止、可零、可负，一元二次方程有两个不相等实根，。A=0砂抛物线与工轴只有一个交点严二次三项式的值为非负“一元二次方程有两个相等的实数根Q 。A 0(工0)的解集就是二)欠函数/(x)=ad+bx+c(。工0)的图像上,位于工轴上方的点的横坐标的集合；，fZZ次不等式a/

19、 +bx + c 0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而 减小；当k0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而 减小；当k0时，函数在x0上同为减函数；k0时，函 数在x0上同为增函数。，定义域为0；值域为尸0 ，.因为在y=k/x（k,0）中，x不能为0 , y也不能为0 ,所以反比例函数的图 象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。.在一个反比例函数图象上任取两点P , Q ,过点P , Q分别作x轴，y轴 的平行,与坐标轴围成的矩形面积为SI, S2则S1 = S2=|K| .反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x

20、 y=-x （即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。一.若设正比例函数丫=您与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号）, 那么A B两点关于原点对称。”7股在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n ,要使它们有公共 交点，则nOMk mt （不小于）0。.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。中.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称，并且关于原点中心对称.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w ,则矩形mwqo ( o 为原点)的面积为|k| 一.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交e，.|k|越大，反比例函数的图象离坐标

21、轴的距离越远。，.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点，4J指数函数。概念:一般地，函数y=a Ax ( 0 ,且axl)叫做指数函数，其中x是自变量.函数 的定义域是R. 3注意:1.指数函数对外形要求严格，前系数要为1,否则不能为指数函数.“2.指数函数的定义仅是形式定义。指数函数的图像与性质：.（l）定义域：R（2）值 域：（0.+oo）（3）过点（0 1）即.。Ilf. v=l（4 1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0 a 0 , a =1)的反函数称为对数函数，并记为y=loqax(a 0, 1)*因为指数函数y=ax的定义域为(-8 , +8)

22、,值域为(0 , +8)r所以对数函数y=loqax的定义域为(0 , +8),值域为(-8 , +8)*2 .对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线y二x.据此即可以画 出对数函数的图像,并推知它的性质厂为了研究对数函数y=lo9，(a0 , awl)的性质,我们在同一直角坐标系中作出函数，,y=log2x , y=logiox f y=logioxfy=log 泣=log I x 的草图” 2tO的考.y=loqax(a0, a由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分折出对数W1)的图像的特征和性质.见下表”图，da Ipalp。X=1:a J

23、,y=logaxyl)/ 一yd象0o(1,0)XpXy=logax(0!a(kQ当x=l时，y=M，(3)当xl时，y的0 xl 时，yl 时，y的，0 xM(4)在(0 , +8)上是增函数,(4)在(0 , +8)上是减函数/C.-A, h晅考.补充2性质设yi=logaX y2=loqbX其中 a 1 r b 1(或0a 1 0b1时底大图低即若ab则yiyw当0 xb,则yiy*比较对数大小的常用方法有入(1)若底数为同一常数，则可由对数图数的单调性直接进行判断(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论*(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较

24、，(4)若底数、真数都不相同,则常借助1、0、-1等中间量进行比较金3.指数函数与对数函数对比名称函数对数函数。*f形式Qy=ax(a 0 z awl)口y=logax(a0 r口 “小定义域(-00 , +oo)p(0 f +oo)p小值域0(0 , +8”(-00 , +8)QQ回考.回考.函3珈容变存梅况。当al时if l(x 0)a 3 = l(x = 0)pl(x0)当0al时，p( 0)ax =1( = 0)(1(a- 1时小( 0(xl)loga x = 0(x = 1)* l0(.rl)当0al时rfl)Jogtf xO(xl时，ax是增函数；裂当0al时，1。9ax是增函数；当0al时，1。9犷是减函数苫图像y=a，的图像与丫=及/的图像关于直线y=x对称?3幕函数一幕函数的图像与性质。同函数y = /随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法.熟练掌握歹=/，当 =2, 土 1, 土的图像和性质,列表如下.，从中可以归纳出以下结论：它们都过点（1,1）,除原点外，任何幕函数图像与坐标轴都不相交，任何幕函 数图像都不过第四象限.“时，幕函数图像过原点且在0, +8）上是增函数.， a = 一；, -1, -2时，鬲函数图像不过原点且在（0,十8）上