概率论与数理统计及其应用第二版课后复习资料浙江大学

1、第1章随机变量及其概率1,写出下列试验的样本空间：(1)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。(2)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。(3)连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。(4)抛一枚硬币，若出现H则再抛一次；若出现T,则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。解：(1)S2,3,4,5,6,7;(2)S2,3,4,;(3)SH,TH,TTH,TTTH,;(4)SHH,HT,T1,T2,T3,T4,T5,T6。2,设A,B是两个事件，已知P(A)0.25,P(B)0.5,P(AB)0.125,求P(AB),P(AB)

2、,P(AB),P(AB)(AB)。解：P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.625,P(AB)P(SA)BP(B)P(AB)0.375,P(AB)1P(AB)0.875,P(AB)(AB)P(AB)(SAB)P(AB)P(AB)(AB)0.625P(AB)0.53,在100,101,，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。解：在100,101,，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为899648,所以所求得概率为6489000.724,在仅由数字0,1,2,3,4,5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。(1)求该数是奇数的概率；(

3、2)求该数大于330的概率。解：仅由数字0,1,2,3,4,5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有554100个。(1)该数是奇数的可能个数为44348个，所以出现奇数的概率为481000.48(2)该数大于330的可能个数为24545448,所以该数大于330的概率为481000.485,袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。4只中至少有2只红球。4只中没有白球。解：(1)所求概率为C2cm包；C1233(2)所求概率为C4220167*495 165，(3)所求概率为上至二。C：24951656,一公司向M个

4、销售点分发n(nM)张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到k(kn)张提货单的概率。解：根据题意，n(nM)张提货单分发给M个销售点的总的可能分法有Mn种，某一特定的销售点得到k(kn)张提货单的可能分法有Ck(M1)nk种，所以某一特定的销售点得到k(kn)张提货单的概率为knkCn(M1)o7,将3只球(13号)随机地放入3只盒子(13号)中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。(1)求3只球至少有1只配对的概率。(2)求没有配对的概率。解：根据题意，将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3!=6种：

5、123,132,213,231,312,321;没有1只配对的放法有2种：312,231。至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。所以(2)没有配对的概率为21;63(1)至少有1只配对的概率为112。33(1)设P(A)0.5,P(B)0.3,P(AB)0.1,求P(A|B),P(B|A),P(A|AB),P(AB|AB),P(A|AB).(2)袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。解：(1)由题意可得P(A B)P(A) P(B) P(AB) 0.7

6、 ,所以P(A|B)P(AB) 0.11P(B) 0.3 3 P(B|A)迪 以P(A) 0.5P(A| A B)PA(A B)P(A) 5P(A B) P(A B) 7P(AB | APAB(A B) P(AB)B)P(A B) P(A B)P(A| AB)PA(AB) P(AB) 1 OP(AB) P(AB)设Ai(i1,2,3,4)表示“第i次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为A1A2A3A4,它的概率为(根据乘法公式)P(AA2A3A4) P(A1)P(A2 | A)P(.3 AA2)P(A | AA2A3)9 z g

7、 g11 12 13 12840205920.0408。一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A,“另一只也是红球”记为事件B。则事件A的概率为22215P(A) 2-(先红后白，先白后红，先红后红)43436所求概率为P(B|A)21P(AB)43iP(A)556一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后40%

8、的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以A表示事件“一病人以为自己患癌症”，以B表示事件“病人确实患了癌症”，求下列概率。(1)P(A),P(B);(2)P(B|A);(3)P(B|A)；(4)P(A|B);(5)P(A|B)。解：(1)根据题意可得P(A)P(AB)P(AB)5%45%50%；P(B)P(BA)P(BA)5%10%15%;(2)根据条件概率公式：P(B|A)以坦30.1；P(A)50%P(B|A)P(BA)P(A)10%1 50%0.2;P(A|B)P(AB)P(B)45%1 15%P(A|B)P(AB)P(B)5% 115%311,在11张卡片上分别写上engineerin

9、g这11个字母，从中任意连抽6张，求依次排列结果为ginger的概率。解：根据题意，这11个字母中共有2个g,2个i,3个n,3个e,1个r。从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2个g中的任意一张来，概率为2/11;第二次必须从剩余的10张中抽出2个i中的任意一张来，概率为2/10;类似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率为2_2_3131361.或者C2c2c3C1C；C；1111098763326409240一A69240012,据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状A、症状B,有20%的人只有症状A,有30%的人只有症状B,有10%的人两种症状都有，其他的人两种症

10、状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求(1)该人两种症状都没有的概率；(2)该人至少有一种症状的概率；(3)已知该人有症状B,求该人有两种症状的概率。解：(1)根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为120%30%10%40%;(2)至少有一种症状的概率为140%60%;(3)已知该人有症状B,表明该人属于由只有症状B的30%人群或者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%,所以在已知该人有症状B的条件下该人有两种症状的概率为10%1-O30% 10% 4一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受

11、的概率通讯线通讯量的份额无误差的讯息的份额10.40.999820.30.999930.10.999740.20.9996解：设“讯号通过通讯线i进入计算机系统”记为事件A(i123,4),“进入讯号被无误差地接受”记为事件B。则根据全概率公式有4P(B)P(A)P(B|Ai)0.40.99980.30.99990.10.99970.20.9996i1=0.99978一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有

12、关节炎的概率。解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B。根据全概率公式有P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)10%85%90%4%12.1%,所以，根据条件概率得到所要求的概率为P(B| A)P( BA)P(A)P(B)P(A|B)10%(185%)1706%1P(A)112.1%.即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.15,计算机中心有三台打字机A,B,C,程序交与各打字机打字的概率依次为0.6,0.3,0.1,打字机发生故障的概率依次为0.01,0.05,0.04。已知一程序因打字机发生故障

13、而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M，”程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件Ni,N2,N3。则根据全概率公式有3P(M)P(Ni)P(M|Ni)0.60.010.30.050.10.040.025,i1根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为P(N1|M)P(N1)P(M |N1)P(M )0.6 0.010.0250.24 ,P(N2 |M)P(N2)P(M IN2)P(M )0.3 0.050.0250.60 ,P(N3|M)P(N3)P(M IN3)P(M )0.1 0.040.0250.

14、16 。16,在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A,“一讯息是可信的”记为事件B。根据Bayes公式，所要求的概率为P(B| A)P(AB)P(A)P(B)P(A| B)P(B)P(A| B) P(B)P(A| B)95% 195% 1 5% 0.1%99.9947%17,将一枚硬币抛两次，以A,B,C分别记事件“第一次得H，“第二次得H”，“两次得同一面”。试验证A和B,B和C,C和A分别相

15、互独立(两两独立)，但A,B,C不是相互独立。解：根据题意，求出以下概率为P(A)P(AB)所以有1P(B)2，1 112 24P(C)P(BC)111112 2 2 2 2P(CA)P(ABC)P(AB) P(A)P(B), P(AC)P(A)P(C),P(BC)P(B)P(C)。即表明A和B,B和C,C和A两两独立。但是P(ABC)P(A)P(B)P(C)所以A,B,C不是相互独立18,设A,B,C三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为0.5,0.7,0.6,设A,B,C各在离球门25码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求(1)恰有一人进球的概率；(2)恰有二人进球的概率；(3)至少

16、有一人进球的概率。解：设“A,B,C进球”分别记为事件Ni1,2,3)。(1)设恰有一人进球的概率为P1,则P1PN1N2N3PN1N2N3PN1N2N3P(N1)P(N2)P(N3)P(Ni)P(N2)P(N3)P(Ni)P(N2)P(N3)(由独立性)0.50.30.40.50.70.40.50.30.60.29(2)设恰有二人进球的概率为P2,则P2PNiN2N3PNiN2N3PN1N2N3P(Ni)P(N2)P(。)P(N1)P(N2)P(N3)P(Ni)P(N2)P(N3)(由独立性)0.50.70.40.50.70.60.50.30.60.44(3)设至少有一人进球的概率为P3,则

17、P31PN1N2N31P(N1)P(N2)P(N3)10.50.30.40.94。19,有一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要2分钟，将所需的血全部输入病人体内需要2分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。解：根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个人才验出是A-RH+型血。问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH+型血的概率是多少？因为第一次就检验出该型血的概率为0.4;第二次才检验出该型血的概率为0.6 0.4=0.24;第三次才检验出该型血

18、的概率为0.62 0.4=0.144;第四次才检验出该型血的概率为0.63 0.4=0.0864;所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.870412第20题20,一元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1,2,3,4,5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为p,试求系统的可靠性。解：设“元件i能够正常工作”记为事件Ai(i1,2,3,4,5)那么系统的可靠性为P(AA2)(A3)(A4A5)P(AA2)P(A3)P(A4A5)P(AA2A3)P(A1A2A4A5)P(A3A4A5)P(A1A2A3A4A5)P(A

19、i)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)P(A1)P(A2)P(A3)P(A)P(A2)P(A4)P(A5)P(A3)P(A4)P(A5)P(Ai)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)223435PPPPPPP2345P2P2Ppp21,用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8;若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9,据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4,0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。(注：本题较难，灵活应用全概率公

20、式和Bayes公式)解：设“一产品真含有杂质”记为事件A,“对一产品进行3次检验,结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事件B。则要求的概率为P(A|B),根据Bayes公式可得P(A|B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)又设“产品被检出含有杂质”记为事件C,根据题意有P(A)0.4,而且P(C|A)0.8,P(C|A)0.9,所以P(B|A) C； 0.82 (1 0.8)0.384; P(B | A) C2 (1 0.9)20.9 0.027故,P(A|B)P(A)P(B | A)P(A)P(B | A) P(A)P(B | A)0.4 0.

21、3840.4 0.384 0.6 0.0270.15360.16980.9046(第1章习题解答完毕)随机变量及其分布1,设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A型的人为止，以丫记进行验血的次数，求丫的分布律。解：显然，Y是一个离散型的随机变量，丫取k表明第k个人是A型血而前k1个人都不是A型血，因此有PYk0.4(10.4)k10.40.6k1,(k1,2,3,)上式就是随机变量Y的分布律(这是一个几何分布)2,水自A处流至B处有3个阀门1,2,3,阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以X表示当信号发出时水自A流至B的通路条

22、数，求X的分布律。设各阀门的工作相互独立。PX 0PAA解：X只能取值0,1,2。设以Ai(i1,2,3)记第i个阀门没有打开这一事件。则PA2A3)P(AA2)(AA3)PAA3PA1A2A3P(A)P(A2)P(A1)P(A3)P(A1)P(A2)P(A3)(1 0.8)2(1 0.8)2 (1 0.8)3 0.072,类似有 PX 2 PA1(A2A3)P(A1A2A3) 0.83 0.512,20.416，综上所述，可得分布律为X012PX k0.0720.5120.416PX 1 1 PX 0 PX3,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美 国人，以X表示15个人中

23、无任何健康保险的人数(设各人是1否有健康保险相互独立)。问X服从什么分布？写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率：(1)恰有3人；(2)至少有2人；(3)不少于1人且不多于3人；(4)多于5人。解：根据题意，随机变量X服从二项分布B(15,0.2),分布律为P(Xk)C150.2k0.815k,k0,1,2,15。(i)P(X3)C350.230.8120.2501,(2) P(X1 P(X 1) P(X0) 0.8329； P(1 X 3)P(X 1) P(X2) P(X0.6129；(4)P(X 5) 1 P(X5) P(XP(X3) P(X 2)P(X1)P(X0)0.06114

24、,设有一由n个元件组成的系统，记为k/nG,这一系统的运行方式是当且仅当n个元件中至少有k(0kn)个元件正常工作时，系统正常工作。现有一3/5G系统，它由相互独立的元件组成，设每个元件的可靠性均为0.9,求这一系统的可靠性。 TOC o 1-5 h z 解：对于3/5G系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数X服从二项分布B(5,0.9),所以系统正常工作的概率为55 HYPERLINK l bookmark69 o Current Document P(Xk)C50.9k0.15k0.99144k3k35,某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡

25、，以至产品成为次品，设次品率为0.001,现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。(设各产品是否为次品相互独立)解：根据题意，次品数X服从二项分布B(8000,0.001),所以8000 k0.9996P(X7)P(X6)C80000.001k6 0k 88 e一0.3134 (查表得)。k 0 k!k06k80000.0016(80000.001)ek0k!6,(1)设一天内到达某港口城市的油船的只数X(10),求PX15(2)已知随机变量X(),且有PX00.5,求PX20解：(1)PX151PX1510.95130.0487;根据PX01PX01e0.5,得到In2。所

26、以PX21PX0PX110.5e(1In2)/20.1534。7,一电话公司有5名讯息员，各人在t分钟内收到讯息的次数(2t)(设各人收到讯息与否相互独立)。(1)求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。有4人未收到讯息的概率。(3)写出在一给定的一分钟内，所有(2)求在给定的一分钟内5个讯息员恰5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数。(1)PX0e20.1353；(2)设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y表示，则YB(5,0.1353),所以(3)i_4_4PY4C50.1353每个人收到的讯息次数相同的概率为k

27、0k!(10.1353)0.00145。32ke10k!58,一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X表示铃响至结束讲解的时间。设X的概率密度为f(x)kx2(1)确定k；1求PX;3-1求P-X4求PX23解：(1)根据1f(x)dx1kx2dx3;(2)PX131/3213xdx27(3)P421/22,3xdx1/4(4)PX3213xdx2/39,设随机变量X的概率密度为f(x)有实根的概率。764192720.003x2x10其他2_，求t的方程t2Xt5X40解：方程t22Xt5X40有实根表明4X24(5X4)0,即X25X40,从而要求X

28、4或者X1。因为104)0.003x2dx 0.93641PX10.003x2dx0.001,PX0所以方程有实卞g的概率为0.001+0.936=0.937.10,设产品的寿命X(以周计)服从瑞利分布，其概率密度为xx2/200f(x)e1000求寿命不到一周的概率；求寿命超过一年的概率；已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率解：(1)PX1)1xx2/200.edx101001/200e0.00498；(2)PX52)xx2/200edxe521002704/2000.000001;(3)PX26X20)PX26)PX20)e26100 x2/200.dxe276/2000.2

29、5158。xx2e20100/200dx11,设实验室的温度x(以C计)为随机变量，其概率密度为f(x)9(4 x2)0(D某种化学反应在温度X1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。(2)在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以丫表示10个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律。(3)求PY2,PX2。1o5解：(1)PX1一(4x2)dx;19275(2)根据题意yB(10,),所以其分布律为27_kP(Yk)Ci。2210k2727k0,1,2,10 TOC o 1-5 h z 282522P(Y2)Cio0.2998, HYPERL

30、INK l bookmark92 o Current Document 2727P(Y 2) 1 P(Y 0) P(Y 1)0.5778。12,(1)设随机变量Y的概率密度为0.21y0f(y)0.2Cy0y10其他试确定常数C,求分布函数F(y),并求P0Y0.5,PY0.5|Y0.1(2)设随机变量X的概率密度为1/80 x2f(x)x/82x40其他求分布函数F(x),并求P1x3,PX1|X3解：(1)根据1f(y)dy00.2dy1C一一(0.2Cy)dy0.4,得到C021.2yF(y)f(y)dy0y0.2dy10y0.2dy(0.21.2y)dy10010.2dy(0.21.2

31、y)dy10y11y00y1y100.2(y1)一2一一0.6y0.2y0.21y11y00y1y1P0Y0.5PY0.5PY0F(0.5)F(0)0.450.20.25;PY0.51PY0.51F(0.5)PY0.5|Y0.1PY0.11PY0.110.451F(0.1)10.2260.7106x(2)F(x)f(x)dx1dx821dx08-dx08xx一dx284xdx28x00 x22x4x40 x0 x/80 x224_x/162x41x4P1x3F(3)F(1)9/161/87/16;PX 1 | X 3P 1X 3PX 3F(3) F(1)F(3)7/9。13,在集合A=1,2,

32、3，.,n中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以X表示第一次取到的数，以Y表示第二次取到的数，求X和丫的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X和丫的联合分布律。解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1),因此、1.PXi,Yj(Ij,且1i,jn)n(n1).当n取3时，PXI,Yj,(IJ,且1I,J3),表格形式为6123101/61/621/601/631/61/6014,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自己操作的A,B均有两个加油管。随机取一时刻，A,B正在使用的软管根数分别记为X,Y,它们的联合分布律为01200.10

33、0.080.0610.040.200.1420.020.060.30求PX1,Y1,PX1,Y1；求至少有一根软管在使用的概率；求PXY,PXY2解：(1)由表直接可得PX1,Y1=0.2,PX1,Y1=0.1+0.08+0.04+0.2=0.42（2）至少有一根软管在使用的概率为P X Y 1 1 PX0,Y 0 1 0.1 0.9(3) PX YPX Y 0 PX Y 1 PX Y 2 =0.1+0.2+0.3=0.6PX Y 2 PXQY 2PX 1,Y 1 PX 2,Y 0 0.2815,设随机变量（X,Y）的联合概率密度为f(x,y)Ce(2x4y), x 0,y 00, 其他试确定

34、常数C ,并求PX2 , P X Y, P X Y 1解：根据 f(x,y)dxdy 1,可得 x 0,y 01 f(x,y)dxdyx 0,y 0(2x 4y)2x4y ,dx Ce dy C e dx e dy0000PX 2 f (x, y)dxdy dx 8e (2x 4y)dyx 2202e 2xdx 4e 4ydy e 4;20 xPX Y f(x,y)dxdy dx 8e (2x 4y)dyx y00 x2x4y ,2e dx 4e dy002x /2e (10e 4x )dx TOC o 1-5 h z 11x11xPX Y 1f (x, y)dxdyx y 1(2x4y)2x

35、4y2.2dx8edy2edx4edy(1e)。0000f(x,y)dxdyG1x2dxf(x,y)dy0 x2/21-f(x,y)，倚到f(x,y)6,(x,y)G0,其他x2(2)fx(X)3x2,6dyf(x,y)dyx2/2，0,fY(y)f(x,y)dx2y6dx,0y0.5yi6dx,0.5y1y0,其他6(而忖,6(16)，0,00.5其y0.5y1他18,设X,Y是两个随机变量，它们的联合概率密度为f(x,y)x0,y0其他求(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(x);求条件概率密度fY|X(y|x),写出当x0.5时的条件概率密度;求条件概率PY1|X0.5o解：(1) fX

36、(x)f (x,y)dy3x x(1 y),-e dy0 20,2x x-e2x 0其他(2)当x0时,fY|X (y | x)f(x, y)fX (x)xe xy, y 00, 其他特别地，当x 0.5时fY|X (y | x 0.5)0.5e0.5y, y 00, 其他(3) PY 1|X 0.5fY|X (y | x 0.5)dy10.5y0.50.5e dy e19, (1)在第14题中求在X0的条件下Y的条件分布律；在Y 1的条件下X的条件分布律。(2)在16题中求条件概率密度fY|X(y|x)，fX|Y(x|y)，fX|Y(x|0.5)。Y012PY|X05/121/31/4解：(

37、1)根据公式PY i | X 0PY i,X 0PX0,得到在X 0的条件下Y的条件分布律类似地，在(2)因为f (x, y)6,0,(x,y)其fX (X)x26dyx2 /20,3x2,1； fY(y)62y_7y), 6(1 y),0,00.5其y 0.5y 1。他所以，当0 x 1 时，fY|X(y|x)f (x, y)fX(X)2 , x0,/2y其他当0.5。5时,fXY(x|y)f(x, y)fY(y)1 时，fXY(x|y)f (x, y)fY(y)11 . y0, yy x 2y其他其他10.5时，fxY (x | y) 1 v0.5 , 0,0.5 x其他220,设随机变量

38、(x, 丫)在由曲线y x , yVx所围成的区域G均匀分布。(1)写出(X, Y)的概率密度;求边缘概率密度fX(x), fY(y)；求条件概率密度fY|X (y I x),并写出当x 0.5时的条件概率密度。Y1的条件下X的条件分布律为X012PX|Y14/1710/173/17解：(1)根据题意，(X,Y)的概率密度f(x,y)必定是一常数，故由f(x,y)dxdyG1 xdx0 x2f(x, y)dy1,f (x, y),得到 3f(x,y)3 (x,y) G0,其他(2)fx(x)x3dy 3( x x2), 0 x 1f(x,y)dy 2x20,其他fY(y)f (x, y)dxy

39、3dx, 0 y 1y20,其他-23(Vy y )，0 y 10,其他(3)当 0 x 1 时，fY|X(y|x)f (x, y)fx (x)1.xx20,2x y 、x其他特别地，当x 0.5时的条件概率密度为4fY|x(y |0.5)2、2 10,1/4y 、2/2其他21,设(X ,Y)是二维随机变量， X的概率密度为fx(x)2 x60,0 x2且当Xx(0 x2)时Y的条件概率密度为1xy八/fY|X(y |x)-,0y10,其他1x/2求(X,Y)联合概率密度；求(X,Y)关于Y的边缘概率密度；求在Yy的条件下X的条件概率密度fX|Y(x|y)解：(1)f(x,y)fx(x)fY

40、|x(y|x)1xyo30 x2,0y1其他（2）fY（y）f(x,y)dx21xy.-dx3(1y)0y1.其他(3)当0y1时，fx|Y(x|y)f(x,y)fY(y)1xy2(1y)0,0 x2其他22,（1）设一离散型随机变量的分布律为丫-101Pk212又设丫1,丫2是两个相互独立的随机变量，且丫1,丫2都与Y有相同的分布律。求丫1,丫2的联合分布律。并求PY1丫2。（2）问在14题中X,丫是否相互独立?解：（1）由相互独立性，可得丫!，丫2的联合分布律为PY1i,Y2jPYiPY2j，i,j1,0,1结果写成表格为2-_-101-12/4(1)/22/40(1)/2(1)2(1)/

41、212/4(1)/22/422_PY1丫2PY1丫21PY1丫20PY丫21(1)/214题中，求出边缘分布律为012PXi00.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.38PYj0.160.340.501很显然，PX0,Y0PX0PY0,所以X,Y不是相互独立23,设X,Y是两个相互独立的随机变量，XU(0,1),Y的概率密度为8y0y1/2fY(y)0其他丫。试写出X,Y的联合概率密度，并求PX解：根据题意，X的概率密度为1fX(x),x1其他所以根据独立定,X,Y的联合概率密度为8yf (x, y)fX (x) fY (y)01/21d

42、x 8ydx0 y-10PXYf(x,y)dxdyxy24,设随机变量X具有分布律X-2Pk2求YX1的分布律。0 x1,0y1/2其他23131/51/61/51/1511/30解：根据定义立刻得到分布律为Y12510pk1/57/301/511/3025,设随机变量XN(0,1)，求UX的概率密度解：设X , U的概率密度分别为fX(x),fu(u),U的分布函数为Fu(u)。则当u0时，FU(u)PUuPXu0,fU(u)0；当u0时，FU(u)PUuPX|uPuXu2(u)1,fu(u)Fu(u)2fx(u)2eu2/2所以，fU(u)2eu2/226,(1)设随机变量X的概率密度为f

43、(x)x0其他求YJX的概率密度。(2)设随机变量XU(1,1),求Y(X1)/2的概率密度。2(3)设随机变量XN(0,1)，求YX的概率密度。解：设X,Y的概率密度分别为fX(x),fY(y)，分布函数分别为Fx(X)，FyO。则(1)当y0时，FY(y)PYyPXy)0fy(y)0；当y0时，FY(y)PYyP.XyPX2)FxW2)，fY(y)Fy(y)22yfX(y2)2yey2所以，fY(y)2yey20(2)此时fX(x)1/20 x1其他因为Fy(y)PYyP(X1)/2ypx2y1FX(2y1)，故,fY(y)FyH)2fX(2y1)1,2y所以，fY(y)10y10其他当y

44、0时，FY(y)PYypx2y)P(Xy)(,y)(y)(.y)1,故，fY（y）一，、,“，、1FY(y)2fX(.y)-2y1e2yy/2所以，fY（y）2ye0y/2y0其他27,设一圆的半径X是随机变量,其概率密度为(3xf(x),1)/800 x2其他求圆面积A的概率密度。解：圆面积AX2,设其概率密度和分布函数分别为g(y),G(y)。则G(y)2PXyPXy/FxHy/)，故g(y)3,y,8.3.y.,0.y/216、y所以,其他28,设随机变量X,Y相互独立，且都服从正态分布N(0,2),验证ZvX22Y的概率密度为解：因为随机变量X,Y先求分布函数，当zfz(Z)zz22e

45、/(22)其他。相互独立，所以它们的联合概率密度为f(x,y)0时，Fz(z)PZf(x,y)dxdy22yzPX2Y2z22r222rdr故，fZ(z)Fz(z)其他。29,设随机变量XU(1,1)，随机变量Y具有概率密度fY(y)(1设X,Y相互独立，求ZXY的概率密度。解：因为fX(x)1/21x1其他所以ZXY的概率密度为fz(Z)fY(y)fX(zy)dy12(1y2)dyarctan(z1)arctan(z1)。30随机变量X和丫的概率密度分别为fX(x)X其他，fY(y)2ye0yy0其他0,X,Y相互独立。解：根据卷积公式，得XY的概率密度。fz(z)fY(y)fX(zy)dy

46、3yezdy32z2Y的概率密度为fY(y)32ze20其他31,设随机变量X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，且X,Y相互独立,Y的概率密度。解：因为X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，所以fX(X)0 x1其他，fY(y)根据卷积公式，得fZ(z)fY(y)fX(zy)dy11dy,z1z1dy,00,其他x1其他z,0,z其他32,设随机变量X,Y相互独立，它们的联合概率密度为f (x, y)3e3x, x 0,0 y2c其他求边缘概率密度fX(x), fY(y)求Z max X,Y的分布函数。求概率 P1/2 Z 1解：(1)fx(x)f(x,y)dy23x3x3e /2dy 3e ,

47、 x 00，0,其他_ 3x 一 ,-二3e / 2dx, 0 y 20fY(y)f(x, y)dx0,其他1/2, 0 y 20,其他(2) Z maxX,Y的分布函数为FZ (z) PZ z Pmax X,Y z P Xz,Y z PX zPY zFx(z)Fy(z)因为Fx (x)0, x 03x1 e , x 0FY(y)0y 0y/2 0 y 21y 2 TOC o 1-5 h z 0,z0所以，Fz(z)Fx(z)Fy(z)-1e3z,0z2。21e3z,z211?13/2P1/2Z1FZ(1)FZ(1/2)-e3-e3/233,(1)一条绳子长为2l,将它随机地分为两段，以X表示

48、短的一段的长度，写出X的概率密度。(2)两条绳子长度均为21,将它们独立地各自分成两段，以Y表示四段绳子中最短的一段的长度，验证Y的概率密度为22(ly)/l2,0ylfY(y)0,其他解：(1)根据题意，随机变量XU(0,l),所以概率密度为1fx (x)-0 xll0其他(2)设这两条绳子被分成两段以后较短的那一段分别记为Xi,X2,则它们都在(0,1)上服从均匀分布YminX1,X2,其分布函数为FY(y)iiFXi(y)iFx2(y)i(i令 V min( X,Y)的分布律为,0yI所以密度函数为22(ly)/l2,0yIfY(y)FyW)0,其他34,设随机变量X和丫的联合分布律为(

49、D求Umax(X,Y)的分布律。求Vmin(X,Y)的分布律。求WXY的分布律。0i20i/i2i/6i/24ii/4i/4i/402i/8i/2003i/i2000解：(i)Umax(X,Y)的分布律为PUkPmax(X,Y)kPXk,YkPYk,Xk,k0,i,2,3如，PU2PX2,Y2PY2,X2i/8i/200i/24i/4029/i20,其余类似。结果写成表格形式为U0i23Pki/i22/329/i20i/i20PVkPmin(X,Y)kPXk,YkPYk,Xk,k0,1,2如，PV2PX2,Y2PY2,X2000,(3)WX Y的分布律为其余类似。结果写成表格形式为U01Pk2

50、7/4013/40kPWkPXYkPXi,Yki,k0,1,2,3,4,5i02如，PW2PXi,Y2i1/241/41/85/12,i0其余类似。结果写成表格形式为W0123Pk1/125/125/121/12(第2章习题解答完毕)第3章随机变量的数字特征1,解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4,5,6,7,7。所以分布律为X4567Pk1/51/51/52/51E(X)(45677)29/5.52,解：5个单词字母数还是4,5,6,7,7c这时，字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为Y4567Pk4/295/296/2914/291E(Y)(445

51、566714)175/29.293,解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为01,2台的概率分别为C306P0C2G C2c1209C|C101P13- , P23- 0C13222C13222所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为 TOC o 1-5 h z 6911么E012(口)11222224,解：根据题意，有1/6的概率得分超过6,而且得分为7的概率为两个1/6的乘积(第一次6点，第2次1点)，其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为Y1234578910111211111136363636363611111pk6666649,1、12)(点)o12得分的数学期

52、望为8 9 10 11L11E(12345)(7636565,解：(1)根据X(),可得PX5PX6,因5!6!此计算得到6,即X(6)。所以E(X)=6。(2)根据题意，按照数学期望的公式可得k1_k1E(X)(1)kPXk(1)kk1k12k2k116ln21)i因此期望存在。(利用了1n(1x)(1)x1)(不符书上答案)6,解：(1)一天的平均耗水量为2x/3xeE(X)xf(x)dxx-e-dx0902xx/3d(e)3竺二dx032xd(ex/3)002ex/3dx6(百万升)。0(2)这种动物的平均寿命为E(X)xdF(x)xd(1522)x5%x5x107,解：E(X)xf(x

53、)dx1_242x(105x)dx127xd(10 x)67x2(1x)6114x(106x)dx2xd(1x)72x(1x)712(1x)7dx0=1/4。8,解:E(X)xf(x)dx22x(1121/x)dx(x22lnx)21n2。9,解:E(X)xf(x)dx?(1x)2dx3x(1022x)dx3X(1x)2dx3x(12_x)dx0。(对第一个积分进行变量代换xy)10,解：E(sin-X)sinkC4kpk(1p)4k2ko2C；13_3312p(1p)C4p(1p)4p(1p)(12p2p)。(不符书上答案)1/a,0 xa一11,解：R的概率密度函数为f(x)0其他，所以E

54、(V)1dr a3ao2412,解：Eg(X)4g(x) f (x)dx x2 0.3e 0.3xdx0一 一一 0 3x16 0.3e dx41 -(200 9584e1.2)(不符书上答案)13,解:因为Xi(i 1,2, n)的分布函数为F(x)0,x0 x, 0 x 1,所以可以1,x1求出Y1,Yn的分布函数为0,y0Fmin(y)1(1y)n,0y1,1,y10,y 0Fmax(y) yn, 0 y 1。1,y 1Y1,Yn的密度函数为fmin(y)n(1ny)0,f max ( y)n 1ny , 0 y 1所以Y1,Yn的数学期望为_n1E(Y)yfmin(y)dyny(1y)

55、dy0n(1oy)n1dyn(1y)ndy,on1E(Yn)1yfmax(y)dynyndyo14,解：求出边缘分布律如下012PXk03/289/283/2815/2813/143/14012/2821/28001/28PYk10/2815/283/28122E(X)kPXk1/2,E(Y)kPYk3/4,k0k022E(XY)ijPXiPYj113/143/14,j0i022E(XY)(ij)PXiPYj7/281/4,j0i022E(3X2Y)(3i2j)PXiPYj84/283j0i02215,解:Emin(X,Y)min(i,j)PXj0i0iPYj13/143/14,EY/(X1)

56、PXiPYj18/289/14。 TOC o 1-5 h z 11y16,解：E(X)xf(x,y)dxdydy24x2ydx2/5,RR0011yE(Y)yf(x,y)dxdydy24y2xdx2/5,RR0011y22E(XY)xyf(x,y)dxdydy24x2y edx2/15。RR0017,解：根据题意，可得利润的分布律为Y200010000-1000-2000因此，pk0.20.30.30.10.1E(Y)20000.210000.310000.120000.1400(元)_2E(Y)_2_220000.210000.3(21000)0.1_2(2000)0.11600000 TO

57、C o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark284 o Current Document 一2一2D(Y)E(Y2)E(Y)1440000。18 解 E(X)2xf(x)dx jex/(2 )dx0 xex2/(2 2)x2/(2 2)dx 匕，2E(X2)2 _x f (x)dx0 x2/(2 2)dx2x2/(2 2)x ex2 /(2 2)2xe dx022O2x2/(22)D(X)E(X2)_2E(X)(2/2)2,、.D(X),(2/2)（本题积分利用了x2/2,edx0一，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到），219,解：E(X)kPXk1k111kpk(

58、1p)p-,k1pp2E(X2)k122k2PXkpk2(1k1p)Pk(kk11)(1P)k1k(1P)k1k1/2P(P121r)2,PPP所以，D(X)E(X2)E(X)21P20P本题利用了哥级数求和中先积分再求导的方法设s(P)k(1P)k1,k1p贝Us(p)dp(11k1kP)11P一，所以s(p)s(p)dpP1类似的，设S(P)k(k1)(1k1k1P),则经过两次积分以后可得到(1P)2P在经过两次求导得到S(p)-3-oP20,解：(1)当k1时,E(X),kkxf(x)dxdxx4dxx(2)当k1时,E(X)dxx即E(X)不存在。(3),当k2时,E(X2)x2f(

59、x)dx7dxx所以，D(X)E(X2)E(X)2k2k2(k1)2(k1)2(k2)22(4)当k2时，E(X2)x2f(x)dxdxx,所以D(X)不存在。21,解：(1)根据14题中结果，得到Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)3/141/23/49/56;因为E(X2)k2PXk4/7,k0_22一E(Y)kPYk27/28,k0所以D(X)E(X2)E(X)29/28,D(Y)E(Y2)E(Y)245/112, TOC o 1-5 h z Cov(X,Y),5XY-j:一0D(X)、D(Y)5(2)根据16题结果可得：一一一一一一2一Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)2

60、/152/52/75;11y因为E(X2)x2f(x,y)dxdydy24x3ydx1/5,RR001yE(Y2)y2f(x,y)dxdydy24y3xdx1/5,RR00所以，D(X)E(X2)E(X)21/25,D(Y)E(Y2)E(Y)21/25D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)2/75,XYCov(X,Y), D(X)、D(Y)(3)在第2章14题中，由以下结果012PXk00.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.38PYk0.160.340.501得到，E(X)1.14,E(Y)1.34,E(XY)1.8,E(X2)1