利用空间向量求空间角和距离复习优秀课件

1、第九节 利用空间向量求空间角和距离1.夹角的计算(1)直线间的夹角两直线的夹角当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中,范围在_内的角叫作两直线的夹角.异面直线的夹角当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作ABl2 ，我们把_的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角.直线l1和直线AB设s1，s2分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2的夹角s1与s2的夹角s1，s2范围_求法cos=coss1，s2=_coss1，s2= _关系当0s1,s2 时,= _;当 s1,s2时，= _00，则P(0，0，2)，于是从而故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BED

2、.(2) (0，0，2)， ( ，-b,0).设m=(x,y,z)为平面PAB的法向量，则m =0,m =0,即2z=0且 x-by=0,令x=b,则m=(b, ,0).设n=(p,q,r)为平面PBC的法向量，则n =0,n 0，即令p=1,则因为平面PAB平面PBC，故mn0,即 于是n=(1,-1, ),直线PD与平面PBC的夹角与 互余，PD与平面PBC的夹角为30.【拓展提升】利用向量求直线与平面的夹角的方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就

3、是斜线和平面的夹角.【变式训练】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点.(1)证明：PEBC.(2)若APBADB60，求直线PA与平面PEH的夹角的正弦值.【解析】以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x,y,z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1，0，0)，B(0，1，0).(1)设C(m,0,0)，P(0，0，n)(m0)，则D(0,m,0),可得因为所以PEBC.(2)由已知条件可得故C( 0，0)，D(0， 0)， P(0，0，1).设n=(x,y,z)为平面PEH的一个法向量，因此可以取

4、n=(1, ,0).由 =(1,0,-1),可得所以直线PA与平面PEH的夹角的正弦值为考向3 平面与平面的夹角的求法【典例3】(2012新课标全国卷)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC AA1，D是棱AA1的中点，DC1BD.(1)证明：DC1BC.(2)求平面A1BD与平面C1BD的夹角的大小.【思路点拨】(1)可证明DC1平面BCD.(2)可以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系求解.【规范解答】(1)由题设知，三棱柱的侧面为矩形.由于D为AA1的中点，故DCDC1.又AC 可得所以DC1DC.而DC1BD，DCBDD，所以DC1平面BCD.又BC平面BCD，故DC1

5、BC.(2)由(1)知BCDC1，且BCCC1，则BC平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1两两互相垂直.以C为坐标原点， 的方向为x轴的正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知A1(1，0，2)，B(0，1，0)，D(1，0，1)，C1(0，0，2).则 (0，0，-1)， (1，-1，1)， (-1，0，1).设n=(x,y,z)是平面A1B1BD的一个法向量，则即可取n=(1,1,0).同理，设m是平面C1BD的一个法向量，则可取m=(1，2，1).从而cosn,m故平面A1BD与平面C1BD的夹角的大小为30.【拓展提升】求平面与平面的夹角大小的常用方法(1)分别求

6、出两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面的夹角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)分别在两个半平面内找到与两平面的交线垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角或其补角就是两个平面的夹角的大小.【变式训练】(2012江西高考)在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知ABACAA1 BC4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的长.(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.【解析】(1)连接AO，在AOA1中，作OEAA1于点E，因为AA1BB1，得OEBB

7、1.因为A1O平面ABC，所以A1OBC.因为ABAC，OBOC，所以AOBC，所以BC平面AA1O，所以BCOE，所以OE平面BB1C1C.又AO(2)如图，以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，-2，0)，A1(0，0，2).由 得点E的坐标是由(1)得平面BB1C1C的一个法向量是设平面A1B1C的法向量为n=(x,y,z)，令y=1,得x=2,z=-1,即n=(2，1，-1).所以即平面A1B1C与平面BB1C1C的夹角的余弦值是考向4 求空间距离【典例4】(1)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C

8、1D1中，点E为BB1的中点，则点C1到平面A1ED的距离是_.(2)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a求点C1到平面AB1D1的距离；求平面CDD1C1与平面AB1D1的夹角的余弦值【思路点拨】(1)建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解.(2)建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解；求得平面CDD1C1与平面AB1D1的法向量，进而求得平面与平面的夹角的余弦值.【规范解答】(1)以A为原点建立空间直角坐标系如图所示.则A1(0,0,1)，E(1,0， )，D(0,1,0)，C1(1,1,1). =(0,1,-1),设平面A1ED的法向量为n1=(x,y,z)，令

9、z=2，则n1=(1,2,2).又 =(-1,-1,0)，点C1到平面A1ED的距离答案：1(2)建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，D1(0,a,a),B1(a,0,a),C1(a,a,a), =(-a,-a,-a)， =(0,a,a)， =(a,0,a)设n=(x,y,z)是平面AB1D1的一个法向量，令z=-1,得x=1,y=1，可得n=(1,1,-1) 因此C1到平面AB1D1的距离为由知，平面AB1D1的一个法向量是n=(1,1,-1)又因AD平面CDD1C1，故平面CDD1C1的一个法向量是n1=(0,1,0)设平面CDD1C1与平面AB1D1的夹角为，则故所求夹角的余

10、弦值为【互动探究】在本例题(1)中，若条件不变，结论改为“则直线A1C1与平面A1ED的夹角的大小为_”，如何求解？【解析】由题(1)的解法知，平面A1ED的一个法向量为n1=(1,2,2)， =(-1,-1,0).设所求角为，则sin =|cosn1, |故直线A1C1与平面A1ED的夹角的大小为45.【拓展提升】向量法求点到平面的距离的步骤(1)求平面的法向量n.(2)在平面内取一点A，确定向量 的坐标.(3)代入公式 求解.【变式备选】如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB(1)求点A到平面MBC的距离.(2)求平面ACM与平面BCD的夹角

11、的正弦值.【解析】取CD中点O，连接OB，OM，则OBCD，OMCD.又平面MCD平面BCD，则MO平面BCD.取O为原点，直线OC，BO，OM为x轴，y轴,z轴，建立空间直角坐标系如图,则OBOM 各点坐标分别为C(1，0，0)，M(0，0， )，B(0，- ，0)，A(0，- ，2 ).(1)设n=(x,y,z)是平面MBC的一个法向量，则 =(1, ,0), =(0, , ).由n 得x+ y=0.由n 得 y+ z=0.取n=( ,-1,1),又 =(0,0,2 ),则点A到平面MBC的距离为(2) (-1，0， )， (-1，- ，2 ).设平面ACM的一个法向量为n1=(x,y,z

12、),由n1 ,n1 得解得x= z,y=z,取n1=( ,1,1).又平面BCD的一个法向量为n2=(0,0,1),所以cosn1,n2=设所求两平面的夹角为,则sin =【满分指导】用空间向量解立体几何问题的规范解答【典例】(12分)(2012北京高考改编)如图1，在RtABC中，C=90,BC=3,AC=6,D,E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE2.将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图2.(1)求证：A1C平面BCDE.(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE的夹角的大小.(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由.【思路点拨】

13、已知条件条件分析C90,DEBCDEA1D,DECD,即DE平面A1DCA1CCDA1C平面BCDEM为A1D的中点可求 与平面A1BE的法向量的夹角平面A1DP平面A1BE法向量垂直 【规范解答】(1)因为ACBC，DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD，所以DE平面A1DC.2分所以DEA1C.又因为A1CCD，所以A1C平面BCDE.3分(2)如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，则A1(0，0，2 )，D(0，2，0)，M(0，1， )，B(3，0，0)，E(2，2，0).5分设平面A1BE的法向量为n=(x,y,z)，则又 =(3,0,-2 ), =(-1,2,0),所

14、以令y=1,则x=2,z=所以n=(2,1, ).6分设CM与平面A1BE的夹角为.因为 (0，1， )，所以 所以CM与平面A1BE的夹角的大小为7分(3)线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直.8分理由如下：假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p0,3.设平面A1DP的法向量为m=(x,y,z),则又 (0，2， (p,-2,0),所以令x=2,则y=p, 所以m=(2,p, ).10分平面A1DP平面A1BE，当且仅当mn=0,即4+p+p=0.解得p=-2，与p0，3矛盾.所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直.12分【失分警示】(下文

15、见规范解答过程)1.(2012陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )(A) (B)(C) (D)【解析】选A.设CA=2，则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，B1(0，2，1)，可得向量 (-2，2，1)， =(0，2，-1)，由向量的夹角公式得2.(2012大纲版全国卷)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB2，CC1 E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 ( )(A)2 (B) (C) (D)1【解析】选D.连接AC交BD于O，连接OE，由

16、题意得AC1OE，AC1平面BED，直线AC1与平面BED的距离等于点A到平面BED的距离，也等于点C到平面BED的距离，作CHOE于H，则CH OE1为所求，故选D.3.(2013长春模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=AA1=1，则D1C1与平面A1BC1的夹角的正弦值为_.【解析】如图，建立空间直角坐标系,则D1(0,0,1),C1(0,2,1),A1(1,0,1),B(1,2,0), =(0,2,0), =(-1,2,0), =(0,2,-1).设平面A1BC1的一个法向量为n=(x,y,z),由得令y=1，得n=(2,1,2).设D1C1与平面A1BC1的夹角

17、为，则即直线D1C1与平面A1BC1的夹角的正弦值为答案：4.(2012安徽高考)平面图形ABB1A1C1C如图1所示，其中BB1C1C是矩形.BC2，BB14，ABAC A1B1A1C1现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使ABC与A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题:(1)证明：AA1BC.(2)求AA1的长.(3)求平面ABC与平面A1BC的夹角的余弦值.【解析】方法一(向量法)：(1)取BC，B1C1的中点分别为D和D1，连接A1D1,DD1,AD.由BB1C1C为矩形知，DD1B1C1.

18、因为平面BB1C1C平面A1B1C1，所以DD1平面A1B1C1.又由A1B1A1C1知，A1D1B1C1.故以D1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系.由题设，可得A1D12，AD1.由以上可知AD平面BB1C1C，A1D1平面BB1C1C，于是ADA1D1.所以A(0，-1，4)，B(1，0，4)，A1(0，2，0)，C(-1，0，4)，D(0，0，4).故 (0，3，-4)， (-2，0，0)， =0，因此 即AA1BC.(2)因为 (0，3，-4)，所以| |5，即AA15.(3)连接A1D.由BCAD，BCAA1，可知BC平面A1AD，BCA1D，所以ADA1为平面ABC与平面

19、A1BC的夹角或其补角.因为 (0，-1，0)， (0，2，-4)，所以cos , 即平面ABC与平面A1BC的夹角的余弦值为方法二(综合法)：(1)取BC，B1C1的中点分别为D和D1，连接A1D1，DD1，AD，A1D.由条件可知，BCAD，B1C1A1D1.由上可得AD平面BB1C1C，A1D1平面BB1C1C，因此ADA1D1，即AD，A1D1确定平面AD1A1D.又因为DD1BB1，BB1BC，所以DD1BC.又ADBC，所以BC平面AD1A1D，故AA1BC.(2)延长A1D1到G点，使GD1AD.连接AG.因为AD GD1，所以AG DD1 BB1.由于BB1平面A1B1C1，所

20、以AGA1G.由条件可知，A1GA1D1+D1G3，AG4.所以AA15.(3)因为BC平面AD1A1D，所以ADA1为平面ABC与平面A1BC的夹角或其补角.在RtA1DD1中，DD14，A1D12，解得sinD1DA1=cosADA1=cos( +D1DA1)=即平面ABC与平面A1BC的夹角的余弦值为1.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧面ACC1A1是A1AC 的菱形，且侧面ACC1A1底面ABC，D为AC的中点.(1)求证：平面A1BD平面ACC1A1.(2)若点E为AA1上的一点，当CEBB1时，求平面AEC与平面BEC的夹角的正切值.【解析】方法一：(1

21、)A1AC AA1=AC,D为AC的中点，ABC为正三角形，ACA1D，ACBD,AC平面A1BD.而AC平面ACC1A1，平面A1BD平面ACC1A1.(2)AA1BB1，CEBB1，CEAA1.点E为AA1的中点.BDAC，BDA1D，BD平面ACE.过点D作DFCE，垂足为F，连接BF，如图(1)，则BFCE，BFD为平面AEC与平面BEC的夹角或其补角.DFCE,易得DF AE.设ABa,则BDDF AE AA1 a,tanBFD=故平面AEC与平面BEC的夹角的正切值为方法二：(1)依题意有AC，BD，A1D两两垂直且相交于点D，故建立如图(2)所示的空间直角坐标系，设AB2a,则A

22、(0，-a,0),B( a,0,0),C(0,a,0),D(0,0,0),A1(0,0, a).(1) =(0,2a,0), =( a,0,0),ACDB,ACDA1.AC平面A1BD.而AC平面ACC1A1，平面A1BD平面ACC1A1.(2)AA1BB1,CEBB1,CEAA1.点E为AA1的中点.BDAC,BDA1D,BD平面AEC. ( a,0,0)为平面AEC的一个法向量.设n(x,y,z)为平面BEC的一个法向量，则有n 0，n =0,又 =( a，-a，0)，所以令x=a,则y= a，z=3a,n=(a, a,3a),n而平面AEC与平面BEC的夹角的正切值为2.在棱长为a的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别是BC,AD的中点，(1)求直线AC与DE夹角的余弦值.(2)求直线AD与平面BEDF夹角的余弦值.(3)求平面BEDF与平面ABCD夹角的余弦值.【解析】(1)如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),E(a, ,0)， =(a,a,-a)， =(a,- ,0),故AC与DE夹角的余弦值为(2)ADE=ADF,所以AD在平面BEDF内的射影在EDF的平分线上，又四边形BEDF为菱形，DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF的夹角为ADB，由坐标系知，A(0,0,0),B(a,0,a)，D