静力学-4任意力系平衡

1、力系的平衡回顾：静力学主要研究两个问题：1、力系的简化2、力系的平衡重点：平面物体系统的平衡及应用。二力平衡原理 作用于一个刚体上的二力为平衡力系的充分必要条件是：此二力等值、反向、共线。三力平衡定理 作用于刚体上的三个力若为平衡力系，则这三个力共面；或汇交于一点，或平行。基本原理和定理力系平衡原理：设空间任意力系其平衡的充分必要条件是一、空间任意力系的平衡条件平衡空间任意力系简化任意力系的平衡空间任意力系平衡的充分必要条件：空间任意力系的独立平衡方程数是6个，可解6个未知量。基本形式 另外的形式： 1）可以选取空间任意直线为投影轴，可选取任意轴为矩轴（可对任意轴取矩），这些轴不一定是坐标轴，

2、这些轴也不一定相互正交(为保证方程独立性，轴的方位有限制)；2）力的投影轴与矩轴不一定重合；3）可以用力矩形式的平衡方程来代替投影形式的平衡方程，即可建立36个力矩形式的平衡方程，而减少投影形式的平衡方程个数，但独立的平衡方程个数最多为6个。基本形式例 ：重为W 的均质正方形板(边长a)水平支承在铅垂墙壁上，求绳1、2的拉力, BC杆的内力和球铰链A的约束力。 解：板 受力分析如图基本形式 ABCWABCW12ABCW力系汇交力系平面汇交力系空间汇交力系力偶系平面力偶系空间力偶系平行力系平面平行力系空间平行力系任意力系（一般力系）平面任意力系空间任意力系问题：特殊力系的平衡方程是何形式？二、特

3、殊力系的平衡条件 在以下三种空间任意力系的特例中， 独立平衡方程个数相应减少：空间汇交力系 当空间平衡力系中各力的作用线汇交于某一点（设为O点），以O点为简化中心，则主矩MO为零自然满足，要使主矢 应有， 因此空间汇交力系的平衡问题最多可建立3个独立平衡方程求解3个未知量。平面问题呢？例 如图所示，用起重机吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。已知CE=EB=DE,角=30o ，CDB平面与水平面间的夹角EBF= 30o ,重物G=10 kN。如不计起重杆的重量,试求起重杆所受的力和绳子的拉力。1. 取杆AB与

4、重物为研究对象，受力分析如图。解：xzy30oABDGCEFF1F2FAzy30oABGEFF1FA其侧视图为3.联立求解。2. 列平衡方程。zy30oABGEFF1FAxzy30oABDGCEF例：已知物体的重量为P，求（a）平衡时铅垂力F，（b）维持平衡时F的最小值及其方向（不计构件自重）BBCCBCADC解：销钉B销钉C自然满足的方程：Fx=0 ，Fy =0Mz (F) =0 因此空间平行力系的平衡问题最多可建立如下3个独立平衡方程，求解3个未知量。Fz=0 ，Mx (F) =0，My (F) =0，2. 空间平行力系平面问题呢？空间力偶系空间力偶系主矢恒为零，要使主矩MO为零，应有Mx

5、 (F) =0 ， My (F) =0，Mz (F) =0， 因此空间力偶系的平衡问题最多可建立3个独立平衡方程求解3个未知量。一般平面问题呢？问题：空间力系中各力的作用线平行于某固定平面，试分析该力系的平衡方程数目。例:已知 AD=2a BD=a, q角,不计摩擦。求当系统平衡时,力偶M1 ,M2 应满足的关系。CADBNDNDDNBNABDACCABD解：一矩式4、平面任意力系的平衡条件基本形式平面任意力系平衡的充分必要条件： 力系的各力在该平面内任意两根不相平行的坐标轴上投影的代数和及对平面内任意点的矩的代数和等于零。例：结构如图，已知W，a，求杆A、B处的约束力ABDaaaCWWABC

6、AC: 受力如图能否用对B点的矩求FAy？A、B连线与ox轴不垂直二矩式A、B、C三点不共线三矩式一矩式A、B连线与ox轴不垂直二矩式平面任意力系的平衡条件基本形式A、B、C三点不共线三矩式例：已知AB梁长为l，其上受有均布载荷q， 求：梁A端的约束力。AB解：AB,画受力图。AB例 ：图示为叉车的钢叉简图，已知：货物均重为 q=1500N/m，其它尺寸如图示，求：约束A，B处的约束反力。解：200550q1400mm40ABFx=0, FAx+FB=0FAXFAYFBFy=0, FAy Q=0Q=1.4q=2.1kNQFB=2.8kNMA=0, FB550(14000.5+40)Q=0 FA

7、y=Q=2.1kN，也可：二力矩 MB=0， FAX 550+ (14000.5+40)Q =0, FAx= 2.8kN。可校核方程： MC=0， 应满足。cFAx= 2.8kN叉车受力分析如图F1F3FF2AC例 ：图示雨蓬结构，因雨蓬对称结构可简化为平面结构，自重不计，已知：F力作用，求：三根支撑杆的约束反力。解：雨棚受力如图D1m1m4mF1mACB可以校核方程： Fx=0， 应满足。例 ：一种车载式起重机，车重G1= 26 kN，起重机伸臂重G2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重G3 = 31 kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最

8、大起吊重量Gmax。FAFBGG2G1G3AB3.0 m2.5 m1.8 m2.0 m汽车 受力分析如图解：极限状态刚体系： 由若干个刚体用约束连接起来的系统刚体系的平衡第四节 静定与超静定 刚体系统的平衡一、静定与超静定问题ABABABAB下面两图中存在多余的约束，未知量数目大于独立平衡方程的个数超静定静定静 定 问 题 未知量的数目= 独立平衡方程的数目超静定问题（静不定问题) 未知量的数目 独立平衡方程的数目有唯一解无穷组解ABAB超静定静定刚体系平衡 系统中每个刚体平衡ABC二、刚体系统的平衡隔离体、整体问题：平面刚体系若由n个单刚体组合而成， 可用的独立平衡条件最多有多少？独立平衡方

9、程数N:ABC整体ABCaaCaBABaAB:BC:独立方程有两个n个隔离体的平衡方程(3n个)肯定独立。刚体系静定与超静定的判定ABC思考题：确定图示系统的静定性。静 定 问 题 未知量的数目= 独立平衡方程的数目例：已知 F，M ，AB = BC = L ，F作用在BC杆的中点， 求 A、C 的约束力ABCCaB方法一:解：以 每个物体为研究对象, 画其受力图。ABaABC一般解法AB:BC:解方程(1)(6)解：1、整体 受力图:ABCaa2、BC杆，画受力图3、整体CaB方法二：分析解法平面刚体系平衡求解1、一般解法 隔离所有的n个刚体，每个刚体可列3个平衡方程。得到3n个独立的方程(

10、肯定独立)组成的方程组，可解3n个未知量。不用思考，但解方程复杂2、分析解法选择合适的隔离体求解所需的未知量原则：a、先整体后局部常用取矩，用一个方程求得某个未知b、局部分析从二力杆或受力简单的构件入手例：多跨桥梁简图如图示，巳知：F=500N,q=250N/m,M=500Nm,求：A,B,E 处的支座约束反力。MC=0, 4FEMQ1=0FBFEQFAxFAy整体解：取整体受力分析Fx=0, FAx=0FE=250N取CE受力分析Q=4qQ1=2qFCxFCyQ1MECFECEABCDqFME11222m整体Fy=0, FAy+FB+FEFQ=0MA=0, F+2FB4QM+8FE=0FB=

11、1500N,FAy=250N。 A，B，C，D处均为光滑铰链，物块重为G，通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆AB的E点，各构件自重不计，试求B处的约束力。 例题FAyFAxFCxFCyG解：整体:受力分析如图解得 AB:受力分析如图。联立求解可得FBxFAyFAxFByFE 如图所示，已知重力G，DC=CE=AC=CB=2l；定滑轮半径为R，动滑轮半径为r，且R=2r=l, =45。试求：A，E支座的约束力及BD杆所受的力。DKCABEG 例题DKCABE1. 整体 受力分析如图所示列平衡方程FAGFExFEy解：DKCABEG2. DEC 受力分析如图所示ECKD列平衡方程其中FKFEyFExD

12、KCABEG3m2m2m2m2mFMACBD例 ：组合托架组成构件如图示，三根链杆自重不计，巳知：F=1kN, M=600Nm, 求：A 处约束反力。MAFAyFAxFByFBxF3FMBDF3CF2F1F1解：取整体受力分析MA=0, MA4F M3F1=0Fx=0, FAxF 1=0Fy=0, FAyF =0得：FAy= 1000N,取BD受力分析F3= 500N,再取C节点 F1= 400N，MA=3.4kNm可得： FAx= 400N,321整体ABCDEaa例 : 系统在图示位置平衡,已知F, M, a。求A, B处的约束力。解：整体DEDEDBBCDaaABCDEaa整体例：已知 F，求 AG 杆上的约束