材料力学的研究对象、研究任务和研究方法

1、材料力学的研究对象、研究任务和研究方法本章主要介绍材料力学的研究对象、研究任务和研究方法。本章还介绍了变形固体的基本概念和变形固体的基本假设，以及杆件在荷载作用下的变形形式。 1-1 材料力学的研究对象、任 务和研究方法 1 材料力学的研究对象 结构就是建筑物中承受力而起骨架作用的部分。结构是由单个的部件按照一定的规则组合而成的，组成结构的部件称为构件。 构件都是由固体形态的工程材料制成的，并具有一定的外部形状和几何尺寸。在使用的过程中，所有的构件都要受到相邻构件或其他物体的作用，也就是说要受到外力。 例如房屋的外墙壁要受到风的压力、建筑物要受到地震的冲击力、公路桥梁要受到过往车辆的压力等等，

2、此外它们都还要受到自身重力的作用。 作用在建筑物或结构上的外力，及它们自身的重力通称为荷载。 结构是由构件组成的，作用于结构上的荷载，也要由组成结构的构件来共同承担，因而构件是承受荷载的基本单元。材料力学的研究对象就是由工程材料制成的、在荷载作用下的构件。 2 材料力学的研究任务 在荷载的作用下，构件的几何形状和尺寸大小都要发生一定程度的改变，这种改变，在材料力学中称为变形。一般来讲，变形要随着荷载的增大而增大，当荷载达到某一数值时，构件会因为变形过大或被破坏而失去效用，通常简称为失效。避免构件在使用时的失效是材料力学的主要研究任务。 构件的失效形式通常有三种： 一是构件在使用中因承受的荷载过

3、大而发生破坏，如起重吊车的绳索被拉断、建筑物的基础被压坏等； 二是构件的变形超出了工程上所允许的范围，如工业厂房中吊车的横梁或建筑物的房梁在受载时发生过大的弯曲等； 三是构件在荷载的作用下其几何形状无法保持原有的状态而失去平衡，通常也称为失稳，如细长的支柱在受压时突然变弯等。 构件本身对各种失效具有抵抗的能力，简称为抗力。 在材料力学中，把构件抵抗破坏的能力称为强度，构件抵抗变形的能力称为刚度。 构件抵抗失稳、维持原有平衡状态的能力称为稳定性。 研究表明：构件的强度、刚度和稳定性，与其本身的几何形状、尺寸大小、所用材料、荷载情况以及工作环境等都有着非常密切的关系。 在工程结构的设计过程中，必须

4、根据荷载的情况对结构本身和组成结构的每一个构件进行力学分析。构件的力学分析，首先要保证的就是构件要有足够的强度、刚度和稳定性，以使构件能够安全工作而不至于发生失效。 一般说来，为构件选用较好的材料和较大的截面尺寸，上述的三项基本要求是可以满足的，但是这样又可能造成材料的浪费和结构的笨重。由此可见，结构的安全性与经济性之间是存在矛盾的。所以，如何合理地选用构件材料，恰当地确定构件的截面形状和几何尺寸，是构件设计中的一个十分重要的问题，也是材料力学所要完成的主要研究任务。综合以上分析，可以把材料力学的主要研究任务归纳为：研究各种构件在荷载的作用下所表现出来的变形和破坏的规律，为合理设计构件提供有关

5、强度、刚度和稳定性分析的理论基础和设计计算方法，从而为构件选择适当的材料、确定合理的形状和足够的尺寸，以保证建筑物或工程结构在满足安全、可靠、适用的前提下，符合最经济的要求。 3 材料力学的研究方法 材料力学采用的是实验假设理论分析实验验证的研究方法。1-2 变形固体及其基本假设 1.2.1 刚体与变形固体 理论力学研究的是物体的运动和平衡问题的一般规律。在理论力学的研究中，把物体都看作是刚体，即在外力的作用下，物体的大小和形状都绝对不变。用绝对刚体这个抽象的力学模型代替真实的物体，这是理论力学研究的特点之一。材料力学所研究的是构件的强度、刚度和稳定性问题。在这类问题中，物体的变形虽然很小，但

6、却是主要影响因素之一，必须要予以考虑而不能忽略。因而，在材料力学的研究中，把物体（构件）都看作是变形固体，即在外力的作用下都要发生变形包括尺寸的改变和形状的改变。 122 变形固体的基本假设 1 有关材料的三个基本假设（1） 连续性假设 假设构成变形固体的物质完全填满了固体所占的几何空间而毫无空隙存在。事实上，构件的材料是由微粒或晶粒组成的，各微粒或晶粒之间是有空隙的，是不可能完全紧密的，但这种空隙和构件的尺寸比起来极为微小，因而可以假设是紧密而毫无空隙存在。以这个假设为依据，在进行理论分析时，与构件性质相关的物理量可以用连续函数来表示，所得出的结论与实际情况不会有显著的误差。 （2） 均匀性

7、假设 假设构件中各点处的力学性能是完全相同的。事实上，组成构件材料的各个微粒或晶粒，彼此的性质不一定完全相同。但是构件的尺寸远远大于微粒或晶粒的尺寸，构件所包含的微粒或晶粒的数目极多，按照统计学的观点，材料的性质与其所在的位置无关，即材料是均匀的。按照这个假设，在进行分析时，就不必要考虑材料各点处客观上存在的不同晶格结构和缺陷等引起的力学性能上的差异，而可以从构件内任何位置取出一小部分来研究，其结果均可代表整个物体。 （3） 各向同性假设 假设构件中的一点在各个方向上的力学性能是相同的。事实上，组成构件材料的各个晶粒是各向异性的。但由于构件中所含晶粒的数目极多，在构件中的排列又是极不规则的，因

8、而，可以认为某些材料是各向同性的，如金属材料。根据这个假设，当获得了材料在任何一个方向的力学性能后，就可将其结果用于其他方向。 以上三个假设对金属材料相当吻合，对砖、石、混凝土等材料的吻合性稍差，但仍可近似地采用。木材可以认为是均匀连续的材料，但木材的顺纹和横纹两个方向的力学性能不同，是具有方向性的材料。实践表明，材料力学的研究结果也可以近似的用于木材。根据上述三个假设，可以从构件中任何位置、沿任何方向取出任意微小的部分，采用微分和积分等数学方法对构件进行受力、变形和破坏的分析。 2 有关变形的两个基本假设（1） 小变形假设 假设变形量远小于构件的几何尺寸。这样，在研究构件的平衡和运动规律时仍

9、可以直接利用构件的原始尺寸而忽略变形的影响。在研究和计算变形时，变形的高次幂也可忽略，从而使计算得到简化。当构件受到多个荷载共同作用时，根据小变形假设，可以认为各荷载的作用及作用的效应是相互独立、互不干扰的。因此，只要某个欲求量值与外力之间存在着线性关系，就可以利用叠加原理来进行分析。 （2） 线弹性假设 固体材料在外力作用下发生的变形可分为弹性变形和塑性变形。外力卸去后能完全消失的变形称为弹性变形；外力卸去后不能完全消失而永久保留下来的变形称为塑性变形。在材料力学中，假设外力的大小没有超过一定的限度，构件只产生了弹性变形，并且外力与变形之间符合线性关系，能够直接利用胡克定律。 1-3 杆件变

10、形的形式 工程实际中构件的几何形状是多种多样的，根据几何形状和尺寸的不同，通常可分为杆件、板壳和块体。材料力学的主要研究对象是工程实际中应用得最为广泛的构件杆件。 所谓杆件是指横向尺寸远小于纵向尺寸的构件。杆件的形状和尺寸是由其轴线和横截面来决定的，轴线和横截面之间存在着一定的关系：轴线通过横截面的形心，横截面与轴线相正交。根据轴线和横截面的特征，杆件可以分为直杆和曲杆、等截面杆和变截面杆等。 材料力学研究的杆件主要是等截面的直杆，简称等直杆。它是杆件中最简单也是最常用的一种，其计算理论可近似用于曲率不大的曲杆和截面变化不剧烈的变截面杆。 杆件在不同的荷载的作用下，会产生不同的变形。根据荷载本

11、身的性质及荷载作用的位置不同，变形可以分为轴向拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲四种基本变形。 131基本变形 1 轴向拉伸和压缩 如果在直杆的两端各受到一个外力F的作用，且两者的大小相等、方向相反，作用线与杆件的轴线重合，那么杆的变形主要是沿轴线方向的伸长和缩短。当外力F的方向沿杆件截面的外法线方向时，杆件因受拉而变长，这种变形称为轴向拉伸；当外力F的方向沿杆件截面的内法线方向时，杆件因受压而变短，这种变形称为轴向压缩，分别如图1-1（a）、（b）所示。图1-1 2 剪切 如果直杆上受到一对大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近的外力沿垂直于杆轴线方向作用时，杆件的横截面将沿外力的方向发生相对

12、错动，这种变形称为剪切，如图1-2所示。图1-2 3 扭转 如果在直杆的两端各受到一个外力偶Me的作用，且二者的大小相等、转向相反，作用面与杆件的轴线垂直，那么杆件的横截面将绕轴线发生相对转动，这种变形称为扭转，如图1-3所示。图1-3 4 弯曲 如果直杆在两端各受到一个外力偶Me的作用，且二者的大小相等、转向相反，作用面都与包含杆轴的某一纵向平面重合，或者是受到位于纵向平面内且垂直于杆轴线的外力F作用时，杆件的轴线就要变弯，这种变形称为弯曲，如图1-4（a）、（b）所示。图1-4（a）所示为纯弯曲，图1-4（b）所示为横力弯曲。图1-4 132组合变形 在工程实际中杆件的变形，可能只是某一种

13、基本变形，也可能是两种或两种以上的基本变形的组合，称为组合变形。常见的组合变形形式有：斜弯曲（或称双向弯曲）、拉（压）与弯曲的组合、弯曲与扭转的组合等等，如图1-5（a）、（b）、（c）所示。图1-5 第二章轴向拉伸和压缩 本章介绍杆件在轴向拉（压）时的内力、应力和变形，轴向拉（压）杆的强度计算，拉压超静定问题以及连接件的强度计算。 21工程实例和计算简图 在工程中，经常会遇到承受轴向拉伸或压缩的杆件。例如桁架中的杆件图2-1（a）、斜拉桥中的拉索图2-1（b）以及闸门启闭机中的螺杆图2-1（c）等。图2-1 图2-1承受轴向拉伸或压缩的杆件称为拉（压）杆。实际拉压杆的几何形状和外力作用方式各

14、不相同，若将它们加以简化，则都可抽象成如图2-2所示的计算简图。其受力特点是外力或外力合力的作用线与杆件的轴线重合；变形特征是沿轴线方向的伸长或缩短，同时横向尺寸也发生变化。图2-2 22内力截面法轴力图 221内力的概念 材料力学中所讨论的内力，指的是因外力作用而引起的物体内部各质点间相互作用的内力的改变量，即由外力引起的“附加内力”，简称为内力。内力随外力的增大而增大，当内力达到某一限度时就会引起构件的破坏，因而它与构件的强度问题是密切相关的。 222截面法 截面法是求构件内力的基本方法。下面通过求解图2-3（a）所示拉杆m-m横截面上的内力来具体阐明截面法。为了显示内力，假想地沿横截面m

15、-m将杆截开成两段，任取其中一段，例如取左段，作为研究对象。左段上除受到力F的作用外，还受到右段对它的作用力，此即横截面m-m上的内力如图2-3（b）所示。根据均匀连续性假设，横截面m-m上将有连续分布的内力，以后称其为分布内力，而把内力这一名词用来代表分布内力的合力（力或力偶）。图2-3 现要求的内力就是图2-3（b）中的合力FN。因左段处于平衡状态，故列出平衡方程 X0 FN -F0 得 FN F 这种假想地将构件截开成两部分，从而显示并求解内力的方法称为截面法。 用截面法求构件内力可分为以下三个步骤： 1）截开 沿需要求内力的截面，假想地将构件截开成两部分。 2）代替 取截开后的任一部分

16、作为研究对象，并把弃去部分对留下部分的作用以截面上的内力代替。 3）平衡 列出研究对象的静力平衡方程，解出需求的内力。 223轴力和轴力图 图2-3（a）所示拉杆横截面m-m上的内力FN的作用线与杆轴线重合，故FN称为轴力。 若取右段为研究对象，同样可求得轴力FN F图2-3（c），但其方向与用左段求出的轴力方向相反。轴力的正负号规定如下：当轴力的方向与横截面的外法线方向一致时，杆件受拉伸长，轴力为正；反之，杆件受压缩短，轴力为负。在计算轴力时，通常未知轴力按正向假设。若计算结果为正，则表示轴力的实际指向与所设指向相同，轴力为拉力；若计算结果为负，则表示轴力的实际指向与所设指向相反，轴力为压力

17、。为了表明轴力随横截面位置的变化规律，以平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于杆轴线的坐标（按适当的比例）表示相应截面上的轴力数值，从而绘出轴力与横截面位置关系的图线，称为轴力图，也称FN图。通常将正的轴力画在上方，负的画在下方。 【例2-1】拉压杆如图2-4（a）所示，求横截面1-1、2-2、3-3上的轴力，并绘制轴力图。【解】1） 求支座反力。由杆AD图2-4（a）的平衡方程 X0 FD-2kN-3kN6kN0 得 FD-1kN图2-4 2） 求横截面1-1、2-2、3-3上的轴力。取左段为研究对象，设截面上的轴力为FN1图2-4（b），由平衡方程 X0 FN1-2kN0 得 FN12

18、kN 算得的结果为正，表明FN1为拉力。当然也可以取右段为研究对象来求轴力FN2，但右段上包含的外力较多，不如取左段简便。 再沿横截面2-2假想地将杆截开，仍取左段为研究对象，设截面上的轴力为FN2图2-4（c），由平衡方程 X0 FN2 -2kN-3kN0 得 FN2 5kN同理，沿横截面3-3将杆截开，取右段为研究对象可得轴力FN3图2-4（d）为 FN3 FD-1kN 算得的结果为负，表明FN3为压力。 3） 根据各段FN值绘出轴力图，如图2-4（e）所示。由图可知，BC段各横截面上的轴力最大，最大轴力FNmax=5kN。以后我们称内力较大的截面为危险截面，例如本题中BC段各横截面。 轴

19、力图一般应与受力图对正。在图上应标注内力的数值及单位，在图框内均匀地画出垂直于横轴的纵坐标线，并标明正负号。当杆竖直放置时，正负值可分别画在杆的任一侧，并标明正负号。 2-3拉压杆的应力 231应力的概念 轴力是拉压杆横截面上分布内力的合力，它只表示截面上总的受力情况，单凭轴力的大小还不能判断杆件在外力作用下是否发生破坏。例如，相等的内力分布在较大的面积上时，比较安全；分布在较小的面积上时，就比较危险。因此，为了解决强度问题，还必须研究截面上各点处内力的分布规律，即用截面上各点处的内力的大小和方向来表明内力作用在该点处的强弱程度。为此，引入应力的概念。在构件的截面上，围绕任意一点取微小面积A图

20、2-5（a），设A上微内力的合力为F。F与A的比值pm=F/A称为A上的平均应力。而将极限值 p=lim pm A0 =limF/A =dF/dA （2-1） A0 称为M点处的应力。图2-5 应力p是一个矢量，一般既不与截面垂直，也不与截面相切。通常把它分解为两个分量，如图2-5（b）所示。垂直于截面的法向分量，称为正应力；相切于截面的切向分量，称为切应力。应力的单位是Pa（帕），1Pa=1N/m2。工程中，常采用Pa的倍数单位：kPa（千帕）、MPa（兆帕）、GPa（吉帕），其关系为 1kPa=1103Pa 1MPa=1106Pa 1GPa=1109Pa 因为拉压杆横截面上的轴力沿截面的法

21、向，所以横截面上只有正应力。由于横截面上正应力的合力等于轴力，因此欲计算正应力，必须知道在截面上的分布规律。232拉压杆横截面上的正应力在图2-6（a）所示拉杆的侧面任意画两条垂直于杆轴的横向线ab和cd。拉伸后可观察到横向线ab、cd分别平行移到了ab、cd位置，但仍为直线，且仍然垂直于杆轴图2-6（b）。根据这一现象，可假设变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面。这就是平面假设。图2-6设想杆是由许多纵向纤维所组成，根据平面假设，可断定杆变形时任意两横截面间各纵向纤维的伸长相等。又根据均匀连续性假设，各条纤维的性质相同，因而它们的受力必定相等。所以横截面上的法向分布内力是均匀分布的，即等

22、于常量图2-6（c）。这个结论对于压杆也是成立的。 因为为常量，所以轴力FN等于正应力与横截面面积A的乘积，即 FNA 或 FN/A （2-2） 这就是拉压杆横截面上正应力的计算公式。正应力的符号和轴力FN的符号规定相同，即拉应力为正，压应力为负。 必须指出，作用于杆件上的轴向外力一般是外力系的静力等效力系，在外力作用点附近的应力比较复杂，并非均匀分布。研究表明，上述静力等效替换对原力系作用区域附近的应力分布有显著影响，但对稍远处的应力分布影响很小，可以忽略，这就是圣维南原理。根据这一原理，除了外力作用点附近以外，都可用式（2-2）计算应力。 【例2-2】图2-7（a）为一悬臂吊车的简图，斜杆

23、BC的横截面面积A500mm2，荷载F25kN。求当F移至D点时，斜杆横截面上的正应力。图2-7 【解】悬臂吊车的计算简图如图2-7（b）所示。为了求出斜杆BC的轴向外力FBC，取横梁AD为研究对象图2-7（c），列出平衡方程 MA0 FBCsin45AB-FAD0 得 FBC FAD/（sin45AB） （25kN3m）/（） 70.7kN 斜杆的轴力为 FNFBC70.7kN 由式（2-2），斜杆横截面上的正应力为 FN/A70.7103N/50010-6m2 142106Pa142MPa 在对拉压杆进行强度计算时，需要知道杆的各横截面上正应力的最大值，称为杆的最大正应力。由式（2-2）可

24、知，如果杆的各横截面上的轴力都相同，那么杆的最大正应力发生在截面积最小的横截面上。若是等直杆，则发生在轴力最大的横截面上。在一般情况下，应加以比较后确定。 【例2-3】一正方形截面的砖柱（压杆有时也称为柱）如图2-8（a）所示，F50kN。求砖柱的最大正应力。 【解】用截面法求得上、下两段横截面上的轴力分别为 FN1-50kN，FN2-150kN 因为上、下两段横截面的面积也不相同，所以必须算出各段横截面上的应力，加以比较后才能确定柱的最大正应力。图2-8 由式（2-2），得 ABFN1/AAB=-50103N/240210-6m2 -0.87106Pa-0.87MPa BCFN2/ABC-1

25、50103N/370210-6m2 -1.1106Pa-1.1MPa 可见，砖柱的最大正应力发生在柱的下段各横截面上，其值为 max1.1MPa（压） 我们称应力较大的点为危险点。 以图2-9（a）所示拉杆为例，应用截面法，假想沿斜截面k-k将杆截开，取左段为研究对象图2-9（b），列出平衡方程 X0可得斜截面k-k上的内力为 FNF 233拉压杆斜截面上的应力图2-9 仿照横截面上正应力均匀分布的推理过程，也可推断斜截面k-k上的应力p是均匀分布且与杆轴平行，设斜截面的面积为A，则有 FN pA 或 pFN/A （a） 设斜截面k-k的外法线n与杆轴的夹角为，则横截面面积AAcos，代入式（

26、a），得 pFN/A=F/（A/cos）cos （b）式中：F/A横截面上的正应力。p称为斜截面上的全应力，可将它沿截面的法向和切向分解为两个分量：正应力和切应力 图2-9（c）。它们分别为 =pcos=cos2 =psin=cossin=（/2）sin2 （2-3） 这就是拉压杆斜截面上应力的计算公式。 由式（2-3）可知，在通过拉压杆内任一点的各个截面上，一般都存在正应力和切应力，其值随角作周期性变化。当0时，它是中的最大值，即杆内任一点处的最大正应发生在杆的横截面上；当45时，/2，它是中的最大值，即杆内任一点处的最大切应力发生在45斜截面上，其值等于该点处最大正应力的一半。 在利用式（

27、2-3）计算斜截面上的应力时，必须注意式中各量的正负号规定：正应力仍以拉应力为正，压应力为负；切应力以其对研究对象内任一点的矩为顺时针转向时为正，反之为负；角度自杆轴量至斜截面的外法线，以逆时针转向为正，反之为负。图2-10（a）所示各量均为正值，而图2-10（b）所示各量均为负值。 【例2-4】图2-11（a）所示拉杆的横截面面积A100mm2，轴向拉力F10kN。试分别计算30和-30斜截面上的正应力和切应力。 【解】拉杆横截面上的正应力为FN/AF/A10103N/10010-6m2100106Pa 100MPa图2-11 利用式（2-3），30斜截面图2-11（a）中的斜截面1-1上的

28、正应力和切应力分别为 30cos230100MPa3/475MPa 30 （/2）sin（230）100/2MPa31/2/243.2MPa -30斜截面图2-11(a)中的斜截面2-2 上的正应力和切应力分别为 -30cos2（-30）100MPa3/475MPa -30（/2）sin2（-30）100/2MPa（-（31/2）/2）-43.2MPa将上面求得的应力分别表示在它们所作用的截面上，如图2-11（b）、（c）所示。24拉压杆的变形 杆件在轴向拉伸和压缩时，所产生的主要变形是沿轴线方向的伸长或缩短，称为纵向变形；与此同时，垂直于轴线方向的横向尺寸也有所缩小或增大，称为横向变形图2-

29、12（a）、（b）。图2-12 设图2-12所示拉、压杆的原长为l，在轴向外力F的作用下，长度变为l1，杆的变形为 ll1-l （a） l即为杆的纵向变形。对于拉杆，l为正值，表示纵向伸长（图2-12（a）；对于压杆，l为负值，表示纵向缩短（图2-12（b）。 241纵向变形 纵向变形l只反映杆在纵向的总变形量，它与杆的原长有关。根据平面假设，杆的各段都是均匀变形的，单位长度的纵向变形为 l/l（2-4） 式中，称为纵向线应变。显然，拉伸时0，称为拉应变；压缩时0，称为压应变。是一个量纲为1的量。 大量的实验表明，当杆的变形为弹性变形时，杆的纵向变形l与外力F及杆的原长l成正比，而与杆的横截面

30、面积A成反比，即 lFl/A 引进比例常数E，则有 lFl/EA由于横截面上的轴力FNF，故上式可改写为 lFNl/EA（2-5） 上式称为胡克定律。式中的比例常数E称为弹性模量，它与材料的性质有关，是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标。 E的数值可由实验测定。E的单位与应力的单位相同。EA称为杆的拉压刚度，它是单位长度的杆产生单位长度的变形所需的力。所以拉压刚度EA代表了杆件抵抗拉伸（压缩）变形的能力。 因FN/A、l/l，故式（2-5）变为 E （2-6） 上式是胡克定律的另一表达式。它表明：在弹性限度内，正应力与线应变成正比。 设图2-12所示拉、压杆在变形前、后的横向尺寸分别为d与d1

31、，则其横向变形d为 dd1-d （b） 横向线应变为 d/d （2-7） 对于拉杆，d与都为负；对于压杆，d与都为正。 242横向变形 大量的实验表明，当杆的变形为弹性变形时，横向线应变与纵向线应变的绝对值之比是一个常数。此比值称为泊松比或横向变形系数，用表示，即 |/| （c） 是一个量纲为1的量，其数值随材料而异。弹性模量E和泊松比是材料固有的两个弹性常数。 考虑到与的正负号恒相反，由式（c）和式（2-6）可得 -/E（2-8） 利用上式，可由纵向线应变或正应力求横向线应变。反之亦然。 【例2-5】一木方柱（图2-13）受轴向荷载作用，横截面边长a200mm，材料的弹性模量E10GPa，杆

32、的自重不计。求各段柱的纵向线应变及柱的总变形。【解】由于上下两段柱的轴力不等，故两段柱的变形要分别计算。各段柱的轴力为 FNBC-100kN FNAB-260kN 各段柱的纵向变形为 lBCFNBC/EA -100103N2m/10109Pa（）2-0.510-3m图2-13 lABFNAB/EA -260103N1.5m/10109Pa（）2-0.97510-3m-0.975mm各段柱的纵向线应变为 BClBC/lBC-2.510-4ABlAB/lAB=-0.975mm/1500mm=-6.510-4 全柱的总变形为两段柱的变形之和，即l=lBC+lAB=-0.5mm-0.975mm=-1.

33、475mm 【例2-6】如图2-14（a）所示等截面直杆，已知 其原长l、横截面积A、材料的容重、弹性模量E、受杆件自重和下端处集中力F作用。求该杆下端面的位移B。 【解】如图2-14（b）所示。距B端为x的横截面上的轴力为 FN（x）FAx微段dx如图2-14（c）所示。略去两端内力的微小差值，则微段的变形为 d（l）FN（x）dx/EA图2-14积分得全杆的变形即B端的位移为Bl10d（l）10（FN（x）dx/EA）10（F+Ax/EA）dx=（Fl/EA）+（W/2）l/EA式中：WAl杆的自重。由此可知，等直杆由自重引起的变形，等于将杆重的一半作用于杆端所引起的变形。【例2-7】一直

34、径d10mm的圆截面杆，在轴向拉力F作用下，直径减小，设材料的弹性模量E210GPa，泊松比，求轴向拉力F。【解】由于已知杆的直径缩小量，故先求出杆的横向线应变为-2.110-4由式（2-8），杆的纵向线应变为 -/710-4根据胡克定律可得横截面上的正应力为 E210109Pa710-4147106Pa147MPa故 FA147106Pa/4 （）211.54103N2-5材料在拉压时的力学性能 材料的力学性能是材料在外力作用下其强度和变形等方面表现出来的性质，它是构件强度计算及材料选用的重要依据。材料的力学性能由试验测定。本节低碳钢（含碳量）和铸铁两类材料为例，介绍材料在常温、静载（指从零

35、缓慢地增加到标定值的荷载）下拉压时的力学性能。1 低碳钢在拉伸时的力学性能 为了便于比较不同材料的试验结果，必须将试验材料按照国家标准制成标准试件。金属材料常用的拉伸试件如图2-15所示，中部工作段的直径为d0，工作段的长度为l0，称为标距，且l0=10d0或l0=5d0。251材料在拉伸时的力学性能图2-15试验时将试件的两端装在试验机的夹头中，缓慢平稳地加载直至拉断。通过试验，可以看到随着拉力F的逐渐增加，试件的伸长量l也在增加。如取一直角坐标系，横坐标表示变形l，纵坐标表示拉力F，则在试验机的自动绘图装置上可以画出l与F之间的关系曲线，这条曲线称为拉伸曲线.图2-16为Q235钢的拉伸曲

36、线。图2-16为了消除试件尺寸的影响，使试验结果能反映材料的性能，将拉力F除以试件的原横截面面积A0，得到应力=F/A0作为纵坐标，将标距的伸长量l除以标距的原有长度l0，得到应变=l/l0作为横坐标，这样就得到一条应力与应变之间的关系曲线（图2-17），称为应力-应变曲线或-曲线。 图2-17（1） 低碳钢拉伸过程的四个阶段根据应力-应变曲线，低碳钢的拉伸过程可分为以下四个阶段：1) 弹性阶段。-曲线上OB段为弹性阶段。在此阶段内，如果卸除荷载，则变形能够完全消失，即发生的是弹性变形，故称为弹性阶段。弹性阶段的应力最高值称为弹性极限，用-e表示，即B点处的应力值。在此阶段内，除AB这一小段外

37、，OA段为直线，应力与应变成线性关系，材料服从胡克定律，因此图中直线OA的斜率即为材料的弹性模量E，即E=tan。在-曲线上对应于点的应力，表示应力与应变成比例关系的最大值，称为比例极限，用-p表示。Q235钢的比例极限-p=200MPa。由于比例极限与弹性极限非常接近，常将两者视为相等。2) 屈服阶段。BC段称为屈服阶段，此阶段-曲线沿着锯齿形上下摆动，应力基本保持不变而应变却急剧增加，材料暂时失去了抵抗变形的能力，这种现象称为屈服或流动。在屈服阶段中，对应于曲线最高点与最低点的应力分别称为上屈服极限和下屈服极限。下屈服极限值较稳定，故一般将其作为材料的屈服极限，用-s表示。如果试件表面经过

38、磨光，屈服时试件表面会出现一些与试件轴线成45的条纹（图2-18）称为滑移线，这是由于材料内部晶格之间产生相对滑移而形成的。材料屈服时产生显著的塑性变形，这是构件正常工作所不允许的，因此屈服极限-s是衡量材料强度的重要指标。图2-183) 强化阶段。屈服阶段以后的CD段，-曲线又开始逐渐上升，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续发生变形必须增加外力，这种现象称为材料的强化。这一阶段称为强化阶段。强化阶段曲线最高点D所对应的应力值称为强度极限或抗拉强度，用-b表示，Q235钢的强度极限-b=400MPa。 4) 颈缩阶段。在应力达到抗拉强度之前，沿试件的长度变形是均匀的。当应力达到强度极限-b

39、后，试件的变形开始集中于某一局部区域内，横截面面积出现局部迅速收缩，这种现象称为颈缩现象（图2-19）。由于局部截面的收缩，试件继续变形所需拉力逐渐减小，直至在曲线的E点，试件被拉断。故DE段称为颈缩阶段。 图2-19试件拉断后，弹性应变（O3O4）恢复，塑性应变（O3O）永远残留（图2-17）。试件工作段的长度由l0伸长到l，断口处的横截面面积由原来的A0缩减到现在的A。通常用它们的相对残余变形来衡量材料的塑性性能。工程中反映材料塑性性能的两个指标分别为延伸率=(l-l0)/l0100%（2-9）断面收缩率=(A0-A)/A0100% （2-10）Q235钢的延伸率=20%30%，断面收缩率

40、=60%70。工程中常把5的材料称为塑性材料，如碳钢、黄铜、铝合金等；而把5%的材料为塑性材料，ns。安全因数的选取关系到构件的安全与经济，安全因数取得过大，使构件粗大笨重，浪费材料；取得过小，构件又不安全。因此安全因数的选取原则是：在保证构件安全可靠的前提下，尽可能减小安全因数来提高许用应力。安全因数的确定是一件复杂的工作，一般情况下，在工业的各个部门都指定有自己的安全因数规范供设计人员查用。如无规范，则对塑性材料一般取ns，对脆性材料一般取nb5。26拉压杆的强度计算 由上一节知，要保证拉压杆不致因强度不足而破坏，应使杆的最大正应力max不超过材料的许用应力，即max （2-15）这就是拉

41、压杆的强度条件。对于等直杆，由于maxFNmax/A，所以强度条件可写为 maxFNmax/A （2-16） 根据强度条件，可以解决工程中三种不同类型的强度计算问题：1） 强度校核。 已知杆的材料、尺寸和承受的荷载（、A和FNmax），要求校核杆的强度是否足够。此时只要检查式（2-16）是否成立。2） 设计截面尺寸。 已知杆的材料、承受的荷载（、 FNmax ），要求确定横截面面积或尺寸。为此，将式（2-16）改写为 AFNmax/ （a）据此可算出必须的横截面面积。根据已知的横截面形状，再确定横截面尺寸。当采用工程中规定的标准截面时，可能会遇到为了满足强度条件而需选用过大截面的情况。为经济起

42、见，此时可以考虑选用小一号的截面，但由此而引起的杆的最大正应力超过许用应力的百分数一般限制在5%以内，即（max-）/100%5（b）3） 确定许用荷载。 已知杆的材料和尺寸（和A），要求确定杆所能承受的最大荷载。为此，将式（2-16）改写为FNmaxA （c）先计算出杆所能承受的最大轴力，再由荷载与轴力的关系，计算出杆所能承受的最大荷载。【例2-8】如图2-29（a）所示三铰屋架的拉杆采用16锰圆钢，直径d=20mm。已知材料的许用应力=200MPa，试校核钢拉杆的强度。【解】三铰屋架的计算简图如图2-29（b）所示。 1） 求支座反力。取整个屋架为研究对象图2-29（b），利用对称性，得

43、FAFB1/220mq 1/220m4kN/m40kN图2-292） 求拉杆的轴力。取半个屋架为研究对象图2-29（c），由平衡方程MC0 3.5mFN10mq10/2m-10mFA0得 FN1/3.5m（10mFA-10mq5m） 1/3.5m（10m40kN-10m4kN/m5m）57.1kN3） 求拉杆的最大正应力。钢拉杆是等直杆，横截面上的轴力相同，故杆的最大正应力为max = FN/A=FN/（/4d2）=57.1103N/（/420210-6）m2= 182106Pa = 182MPa 4） 校核拉杆的强度。因为max = 182MPa = 200MPa所以钢拉杆的强度是足够的。【

44、例2-9】图2-30（a）所示钢桁架的所有各杆都是由两个等边角钢组成。已知角钢的材料为Q235钢，其许用应力170MPa，试为杆EH选择所需角钢的型号。 【解】1） 求支座反力。取整个桁架为研究对象图2-30（a），由对称性，得 FAFBF220kN图2-30 2） 求杆EH的轴力。假想用截面m-m将桁架截开，取左边部分为研究对象图2-30（b）， 由平衡方程MC0 3mFNEH-4mFA0得 FNEH4/3 RA4/3220kN 293kN3） 计算杆EH的横截面积。由式（2-16），有AFNEH/293103N/170106Pa1.7210-3m2 1720mm24） 选择等边角钢的型号。

45、型钢是常用的标准截面。等边角钢是型钢的一种。它的型号用边长的厘米数表示，在设计图上则常用毫米数来表示。由型钢规格表查得，厚度为6mm的号等边角钢的横截面面积为2，用两个这样的等边角钢组成的杆的横截面面积为222，稍大于1720mm2。因此，选756。【例2-10】如图2-31（a）所示三角形托架，AB为钢杆，其横截面面积为A1400mm2，许用应力170MPa；BC为木杆，其横截面面积为A210000mm2，许用压应力为c10MP。求荷载F的最大值Fmax 。【解】1） 求两杆的轴力与荷载的关系。取结点B为研究对象图2-31（b），由平衡方程Y0 FN2sin30-F0得 FN2F/sin30

46、=2F（压）X0 FN2cos30-FN10得FN1FN2cos302F31/2/231/2F（拉）图2-312） 计算许用荷载。由式（2-16），AB杆的许用轴力为 FN131/2F A1所以对于AB杆，许用荷载为 FA1/31/2 =40010-6m2170106Pa/31/239 300N同样，对于BC杆，许用轴力为 FN22FA2c许用荷载为FA2c/2=10 00010-6m210106Pa/2 50 000N50kN为了保证两杆都能安全地工作，荷载F的最大值为 Fmax39.3kN 【例2-11】图2-32（a）表示一等直杆，其顶部受轴向荷载F的作用。已知杆的长度为l，横截面面积为

47、A，材料的容重为，许用应力为，试写出考虑杆自重时的强度条件。 【解】杆的自重可看作沿轴线均匀分布的荷载图2-32（a）。应用截面法图2-32（b），杆的任一横截面m-m上的轴力为FN(x)-（FAx）负号表示轴力为压力。 图2-32由此作出杆的轴力图如图2-32（c）所示。根部横截面上的轴力最大，其值为FNmaxFAl（压）由式(2-16)，杆的强度条件为maxFNmax/AF/Al或F/A-l当考虑杆的自重时，相当于材料的许用应力减小了l。若l/1，则自重对杆的影响可以忽略；若l/有一定数量的值，则自重对强度的影响应加以考虑。例如，有一长l10m的等直钢杆，钢的容重76 .440N/m3，许

48、用应力170MPa，则l/0.45%1；若有同样长度的砖柱，砖的容重3，许用应力1.2MPa，而l/15%。一般地，金属材料制成的拉压杆在强度计算中可以不考虑自重的影响（有些很长的杆件，如起重机的吊缆、钻探机的钻杆等除外）；但对砖、石、混凝土制成的柱（压杆）在强度计算中应该考虑自重的影响。当考虑杆的自重时，如果按杆根部横截面上的正应力max来设计截面，把杆制成等直杆，那么只有根部横截面上的应力达到材料的许用应力，其他横截面上的应力都比小，显然造成了材料的浪费。因此，为了合理地利用材料，应使杆的每一横截面上的应力都等于材料的许用应力，这样设计的杆称为等强度杆，其形状如图2-33（a）所示。不过，

49、等强度杆的制作复杂而且昂贵，故在工程中，一般都制成与等强度杆相近的阶梯形杆图2-33（b）或截锥形杆图2-33（c）。图2-33 27应力集中的概念 在工程中，常因实际需要而在杆件上开槽、钻孔、车削螺纹等，这就引起了杆件横截面尺寸的突然改变。实验和理论分析表明，在截面突变处附近，应力的数值急剧增加。这种由于截面尺寸突然改变而引起的局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。 例如开有圆孔和带有切口的板条图2-34（a）、（d），当其受拉时，在横跨圆孔或切口的截面上，靠近圆孔或切口的局部区域内，应力很大，而在离开这一区域稍远处，应力就小得多，且趋于均匀分布图2-34（b）、（e）。在离圆孔或切口稍远的

50、截面上，应力是均匀分布的图2-34（c）。图2-34图2-34试验表明，截面尺寸改变得越急剧，孔越小、角越尖，局部出现的最大应力max就越大。通常用最大局部应力max与按削弱后的净面积An图2-34（b）、（e）中画有阴影线的面积算得的平均应力mFN/An的比值来表示应力集中的程度，即max/m （2-17）式中：应力集中因数。它是一个大于1的因数。对于工程中各种典型的应力集中情况，如开孔、浅槽、螺纹等，其应力集中因数可在有关的设计手册中查到，该值约在3之间。查出后，利用式（2-17）算得最大局部应力max，即可进行强度计算。应该指出，在静荷载作用下，应力集中对塑性材料和脆性材料所产生的影响是

51、不同的。塑性材料因具有屈服阶段，当应力集中处的最大应力max达到屈服极限s时，仅此局部产生塑性变形，只有荷载继续加大，尚未屈服区域的应力才随之增加而相继达到s。因此，像钢等塑性材料在静荷载作用下，可以不考虑应力集中的影响。脆性材料则不同，当应力集中处的最大应力max达到强度极限b时，局部就出现裂纹，从而产生断裂。因而，像混凝土等脆性材料应考虑应力集中的影响。但在随时间作周期性变化的荷载或冲击荷载作用下，则不论是塑性材料还是脆性材料，应力集中的影响都必须加以考虑。应力集中对于杆件的工作是不利的。因此，在设计时应尽可能使杆的截面尺寸不发生突变，并使杆的外型平缓光滑，尽可能避免带尖角的孔、槽和划痕等

52、，以降低应力集中的影响。 28拉压超静定问题 281 超静定的概念图2-35（a）、（b）所示杆件和结构，它们的约束力与内力都可由静力平衡方程求出，这样的杆件或结构称为静定杆件或静定结构。但在工程中，有时为了提高强度和刚度，或构造上的需要，往往还给杆件或结构增加一些约束。例如在图2-35（a）所示杆件下端增加固定端约束图2-35（c），在图2-35（b）所示结构中增加一根杆图2-35（d）。这些增加的约束对保证杆件或结构的平衡及几何形状不变来说并非是必要的，称之为多余约束。多余约束必然带来相应的未知约束力，称之为多余未知力。图2-35显然，此时杆件或结构需求的约束力和内力的个数已超过静力平衡方

53、程的个数，故不能由静力平衡方程全部求出这些约束力和内力。这样的杆件或结构称为超静定杆件或超静定结构，这种问题称为超静定问题。我们把全部未知力的个数与独立静力平衡方程个数的差值，称为超静定次数。超静定次数也等于多余约束的个数。超静定问题仅用静力平衡方程不能求出全部未知量，但若再考虑构件的变形，超静定问题是可以解决的。现以图2-36（a）所示等直杆AB为例，说明超静定问题的基本解法。由于作用于杆上的荷载F是轴向力，所以支座A、B处的反力FA、FB必定沿杆轴线，设它们的指向如图2-36（b）所示。F、FA、FB组成共线力系，对它只能列出一个独立的平衡方程，即 FA FB-F0 （a）而未知力有两个，

54、故为一次超静定问题。282 超静定问题的基本解法图2-36应设法再建立一个补充方程，才能求解 。在所设FA、FB的指向下，杆的AC段受拉，BC段受压。考虑到杆的两端固定，杆的总变形应该等于零。因此，杆件上、下两段的变形就不是“自由”的，而是彼此相容和协调的，即AC段的伸长lAC应等于BC段的缩短（绝对值）lBC图2-36（c） lAClBC （b） 这就是杆上、下两段变形的几何关系，也称为变形协调条件。再利用力与变形的物理关系，即胡克定律，得lACFAa/EA, lBCFBb/EA （c）将式（c）代入式（b），即得补充方程为FAa/EAFBb/EA （d）联立求解式（a）和（d），得FAFb

55、/l， FBFa/l结果均为正，说明FA、FB的指向与假设相同。【例2-12】图2-37（a）所示结构中水平横梁AB设为刚性杆，其变形可以不计。1、2两杆拉压刚度分别为E1A1和E2A2，求在荷载F作用下，两杆的轴力。 【解】1） 列静力平衡方程。取横梁AB为研究对象，其受力如图2-37(b)所示。这是一个平面一般力系，可列出三个平衡方程，而未知力是四个，故是一次超静定问题。因我们只需要求两杆的轴力FN1和FN2，故只列出平衡方程 MA0 FN1a2FN2a-3Fa0即 FN12FN2-3F0 （a）图2-372） 列补充方程。横梁AB是刚性杆，它在荷载F作用下仅倾斜了一个角度图2-37（b）

56、中虚线AB。由图可见，两杆的变形l1与l2的几何关系为 l1/l2a/2a （ b）即 l2=2l1 由胡克定律得l1=FN1l/E1A1, l2=FN2l/E2A2 （c）将式（c）代入式（b），得补充方程为FN2/E2A2=2FN1/E1A1 （d）3） 计算两杆的轴力。联立求解式（a）与（d），得FN1=3F/1+4E2A2/E1A1 （拉） FN2=6F/4+E1A1/E2A2（拉） （e） 从式（e）可以看出，超静定结构（杆）各部分的内力不仅与荷载有关，而且还与各部分的刚度之比有关，其本身的刚度越大，内力也越大；任一部分刚度的改变，都将引起所有部分内力的重新分配。在静定结构（杆）中，

57、各部分的内力仅与荷载有关。这是超静定问题区别于静定问题的一个特点。【例2-13】在图2-38（a）所示结构中，三杆都是钢杆，钢的弹性模量E200GPa，三杆的横截面面积均为A，30。由于制造上的误差，杆3比原设计长度l短了，/l=1/1000。求装配后三杆的应力。 【解】为了使三杆连接在一起，装配时需要用力把杆3拉长，把杆1与杆2压短，装配好以后，各杆处于图2-38（a）中虚线所示位置。 1） 列静力平衡方程。取结点A为研究对象，设杆1、2的轴力FN1、FN2为压力，杆3的轴力FN3为拉力图2-38（b）。图2-38 列出平衡方程X=0 FN1sin-FN2sin=0 Y=0 -FN1cos-

58、FN2cos+FN3=0 （a）可见这是一次超静定问题。2） 列补充方程。设杆3伸长了l3，杆1、2分别缩短了l1与l2。由对称性可知，l1l2。由图2-38（a），变形的几何关系为l3FN3l/cos=将 l3FN3l/EA, l1（-FN1l/cos）/EA代入上式，得补充方程为 FN3l/EA+FN1l/EAcos2 （b）3） 计算三杆的轴力。联立求解式（a）与（b），得FN1FN2EAcos2/l（1+2cos3）（压） FN32EAcos3/l（1+2cos3）（拉）4） 计算三杆的应力。三杆的应力分别为12FN1/A=Ecos2/l（1+2cos2） 6.52106Pa6.52

59、MPa（压） 3FN3/A2Ecos3/l（1+2cos3） 11.3106Pa11.3 MPa（拉） 在工程中，杆件制成后，其尺寸有微小的误差是常见的。对于超静定问题，在强行装配后，将在各部分引起应力，这种应力称为装配应力。装配应力是在结构（杆）未受荷载作用之前产生的，故属于初应力。而对于静定问题，例如图2-38（c）所示结构，如果其中的AB杆制作得稍长了些，装配后只不过使三角形ABC稍有偏移，不会在两杆内引起应力。装配应力的存在，有时是不利的，应加以避免，但有时也可用它来达到一定的目的。例如土木工程中的预应力钢筋混凝土构件和机械制造中的紧配合等，都是有意识地利用装配应力的例子。 【例2-1

60、4】图2-39(a)所示两端固定的钢杆AB，长为l,横截面面积为A，材料的弹性模量E200GPa，线膨胀系数l12.510-6 1。求温度升高T20时，杆的应力。【解】1） 列静力平衡方程。当温度升高时，杆将伸长，但由于两端支座的阻挡，使杆不能自由伸长。这说明杆端支座产生了约束反力FA、FB图2-39（a）。由平衡方程得FAFBF （a） 这是一次超静定问题。图2-39 2） 列补充方程。如果没有B端的多余约束，杆因温度升高而引起的伸长变形为lt图2-39（b），杆在支座反力作用下产生的压缩变形为lF图2-39（c），由于杆被支座强制维持其原来的长度，所以变形的几何关系为ltlF利用线膨胀定律