高三数学教案斐波那契数列通项公式推导过程

1、第2页共4页斐波那契数列斐波那契数列，又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而 引入，故又称为兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法立义：F(I)=1, F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n=3, nN*)在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用， 为此，美国数学会从1963年起出版了以斐波纳契数列季刊为名的一份数学杂志，用于 专门刊载这方而的研究成果。定义斐波那契数列指的是这样一个数列1,1,2, 3, 5, 8,13,21,34, 55, 89, 144

2、, 233,377,610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368自然中的斐波那契数列这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。斐波那契数列的定义者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契，生于公元1170年，卒 于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多WO 1202年，他撰写了算盘全书 (Liber AbaCCi) 一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点于阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个 阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希

3、腊、西西里和普罗旺斯等地研究 数学。通项公式递推公式斐波那契数列:1,1,213,518, 13, 21,34, 55, 89, 144, .如果设F(n)为该数列的第n项(nN),那么这句话可以写成如下形 式:F(n)=F(n-1 )+F(n-2)显然这是一个线性递推数列。通项公式= 15（如上，又称为牡匕内公式S是用无理数表示有理数的一个范例。） 注：此时（7 = ira2 二 bc7W 二 M-I +-2（w3,nNr通项公式推导方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：X2=X+1解得则F(H) = ClXJ+ C2X?F(I) = F(2) = 1CiXi+ c2

4、x2 = Cj xf+c2 X i = 解得. JF(M) = L5方法二 待龙系数法构造等比数列1（初等代数解法） 设常数r, s.使得F(H) - r F(n -1) =5 F (n -1) - rF(n-2)则 r+s=11 -rs=1n3时，有F(n) - r(n- l) = s F(ft-1)- rF(n-2)F(H-I)-rF(n-2)=5F(n-2)-rF(H-3)F(n- 2)- r F(n -3) = 5 F(n -3)- r F(h -4)F(3)-厂F(2)二 sF(2)-rF(l)联立以上n-2个式子，得：F 何十F(Hl一 rf(l) s = 1 - rF(I) =

5、F(2) = 1上式可化简得：F(H) = 5rj1 + r F( - 1那么F(Zt) = Sn-1 + r F( - 1)= 5w1 + r SM-2 + r2 5,3 + r3F(-3=5M-I +rs,2 十 r2 sfl3 + +rfi2 s + r,1 F(1)-sfl + r s,2 + r2 s,3 + + rw2 $+ r,1(这是一个以严1为首项、以1为末项、rS为公比的等比数列的各项的和)。SHTWS s“ 严s-rr + s= 1-rs = 1的解为l + 5l-5n方法三：待立系数法构逍等比数列2 （初等代数解法）QH = 0(知-1 一 Ge川-2) 得 + 0 二

6、 L a = -1构造方程X2-X-I = O解得15,2 二 r ,所以l + 5_ l-5. l + 5、/nan 2-為-1 = -2- ”一1 一 -2-2)(L)l-5_ l+5.l-5、.an 一 一2巾”-1 = 2(flw-l 一 2為_2)(2)尙)(3由式得M-= (Ir)T口2 - 2小 l + 5 Zn l-5X-x2化简可得an =方法四：母函数法.对于斐波那契数列aj,有al=a2=1 ,an=an.1+an.2(n2时)令 S(x)=a+a2x+. .+anxn+.那么有 S(x)*(1-x-x2)=aiX+(a2-ai)x2+.+(an-an.i-an.2)xn

7、+.=x因此S(X)=l-x-x2不难证明1 -x-x2=-(x+l + 5)(+ Ll-52)=(1- Ll-52*)(1-l + 52)因此S(X)=1需*(1-l + 52*x)-x(1-l-52)再利用展开式 1(1-X)=1+X2+.+xn+.于是就可以得 S(x)=bX+b2x2+.+bnxn+. 其中bn=1(l + 52)n-(1- 5T-)n.因此可以得到a=bn=1【(l + 52)-(l-52)= 5w1 +r sr,2 + r2 F(n- 2)与堇金分割关系有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n 趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值

8、越来越逼近黄金分割0.618 (或者说后一项与前一 项的比值小数部分越来越逼近0.618)o11=1,12=0.5 ,23=0.666. ,35=0.6 ,58 二0.625 ,5589=0.617977144233=0.618025. .4636875025=0.6180339886 越到后而，这些比值越接近黄金比.证明Fir + Fe 二 F+2两边同时除以爲+1得到:若PaF时】的极限存在，设苴极限为X， 则Iim A 二 Iim 驻：所以x+ 1 =由于x O解得5-lX 二所以极限是黄金分割比。特性平方与前后项从第二项开始，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1,每个奇数项的平方都比前

9、 后两项之积多1。如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1,第三项2的平方比 它的前一项1和它的后一项3的积3多1。(注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如从 数列第二项1开始数，第4项5是奇数，但它是偶数项，如果认为5是奇数项，那就误解 题意，怎么都说不通)证明经计算可得:f(n)2-f(n-1 )f(n1 )=(-1 )(n-1)与集合子集斐波那契数列的第n+2项同时也代表了集合1,2,.,n中所有不包含相邻正整数的子集 个数。奇数项求和/1 +力 + + +2m-1=m21偶数项求和fl + A +.+/2M = 2m+i 平方求和! +/

10、+ A2+曾+j2 二 隔项关系f(2n-2m-2)f(2n)f(2n+2)=f(2m+2)+f(4n-2m) n) m-1, K n1两倍项关系f(2n)f(n)=f(n-1 )+f(n+1)其他公式m-1m+1 fn 二(一1)应用生活斐波那契斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前比如松果、凤梨、树叶的 排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻艇翅膀，超越数e （可以推出 更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。合并图册（2张）斐波那契数与植物花瓣3百合和蝴蝶花5蓝花楼斗菜、金凤花、飞燕草、毛食花8翠雀花13金盏和玫瑰21紫宛34、55、89雏菊斐波那契

11、数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片 叶子，记其为数0,然后依序点数叶子（假立没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置， 则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。 叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称 为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。堇金分割随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887杨辉三角将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列仁1、2、3、 5、 8、f(l)=C(0

12、,0)=1of(2)=C(110)=1of(3)=C(2,0)+C(1,1)=11=2of(4)=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3of(5)=C(4,0)+C(3,1 )C(2,2)=1 +3+1 =5of(6)=C(5,0)+C(4,1 )+C(3,2)=1 +4+3=8.f(7)=C(6,0)+C(5,1 )+C(4,2)+C(3,3)T+5+6+1T 3f(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1).+C(n-1 -m,m) (m2）,每段的长度不小于1cm,如果其中 任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三

13、角形的 条件就是存在两边之和不超过另一边。截成的铁丝最小为1,因此可以放2个1,第三条线 段就是2 （为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前而的 相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55,以上各数之和为143, 与144相差1,因此可以取最后一段为56,这时n达到最大为10。我们看到，每段的长度不小于1这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1产 生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。这里， 三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。在这个问题中，144143,这个143是斐波那契数列的前n项

14、和，我们是把144超岀 143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了。 影视作品中的斐波那契数列斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，于是在电影这种通俗艺术中也时常出现，比如 在风靡一时的达芬奇密码里它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在魔法玩具城 里又是在店主招聘会讣时随口问的问题。可见此数列就像黄金分割一样流行。可是虽说叫得 上名，多数人也就背过前几个数，并没有深入理解研究。在电视剧中也出现斐波那契数列, 比如：日剧考试之神第五回，义嗣做全国模拟考试题中的最后一道数学题在FOX热 播美剧Fringe中更是无数次引用，甚至作为全剧宣传海报的设计元素之一。推广

15、斐波那契一卢卡斯数列卢卡斯数列1、3、4、7、11、18.,也具有斐波那契数列同样的性质。(我们可称之 为斐波那契一卢卡斯递推：从第三项开始，每一项都等于前两项之和f(n) = f(n-1)+ f(n-2)卢卡斯数列的通项公式为f(n)=(1 +5)2n+(1 -5)2n这两个数列还有一种特殊的联系(如下表所示)，F(n)*L(n)=F(2n),及L(n)=F(n-1)+F(n+1)n12345678910斐波那契数列F(n)11235813213455卢卡斯数列L(n)13471118294776123F(n)t(n)138215514437798725846765类似的数列还有无限多个，我

16、们称之为斐波那契一卢卡斯数列。如1, 4, 5, 9, 14, 23.,因为1, 4开头，可记作F1, 4,斐波那契数列就是F1,1,卢卡斯数列就是F1, 3,斐波那契一卢卡斯数列就是Fa, bo斐波那契一卢卡斯数列之间的广泛联系任意两个或两个以上斐波那契一卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契一卢卡斯数列。 如:F1,4n+F1,3n=F2,7n, F1,4n-F1,3n=F011 n=F1,1(n-1),n12345678910Fl,4n14591423376097157F1,313471118294776123.F1t4-F1,3n0112358132134F1t4+F1,3n27916254

17、166107173280 . 任何一个斐波那契一卢卡斯数列都可以由斐波那契数列的有限项之和获得，如n12345678910FlJ(n)11235813213455F,l(n-1)0112358132134F,(n-1)0112358132134F1,3n13471118294776123黄金特征与挛生斐波那契一卢卡斯数列斐波那契一卢卡斯数列的另一个共同性质：中间项的平方数与前后两项之积的差的绝 对值是一个恒值，斐波那契数列:Irl-I 2=2*2-1 3=3*3-2*5=5*5-3*8=8*8-5*13|=. =1卢卡斯数列：33-T4=4N-3*7二二5F1, 4数列:4*4-1 *5=11

18、F2, 5数列:5*5-2*7=11F2 7数列：77-29=31斐波那契数列这个值是1最小，也就是前后项之比接近黄金比例最快，我们称为黄金 特征，黄金特征1的数列只有斐波那契数列，是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是5,也 是独生数列。前两项互质的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。而F1, 4与F2, 5的黄金特征都是11,是挛生数列。F2, 7也有李生数列：F3, 8。其他前两项互质的斐波那契一卢卡斯数列都是挛生数列，称为李生斐波那契一卢卡斯数 列。广义斐波那契数列斐波那契数列的黄金特征1,还让我们联想到佩尔数列：1, 2, 5, 12, 29,.也有 2*2-5=5*5-2*

19、12=. =1 (该类数列的这种特征值称为勾股特征)。佩尔数列 Pn 的递推规则:P1=1, P2=2, Pn=P(n-2)+2P(n-1).拯此类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则：f(n) = f(n-1)S + f(n-2)q,称为 广义斐波那契数列。当p=1, q=1时，我们得到斐波那契一卢卡斯数列。当p=1, q=2时，我们得到佩尔一勾股弦数(跟边长为整数的直角三角形有关的数列 集合)。当p=2, q=-1时,我们得到等差数列。其中f1=1, f2=2时，我们得到自然数列1, 2, 3, 4.o自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为1 (等差数列的这种差值 称为自然特

20、征)。具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义斐波那契数列p=1o当f1=1, f2=2, p=2, q=0时，我们得到等比数列1, 2, 4, 8, 16相关数学排列组合有一段楼梯有10级台阶，规左每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种 不同的走法？这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法； 登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法1, 2, 3, 5, 8, 13所以，登上十级，有89种走法。类似的，一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正而的可能情形有多少种？答案是(15)*(1+5y2(10+2) - (1-5)2A(IO+2)=1

21、44 种。求递推数列a(l)=1, a(n+1)=11a(n)的通项公式由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)F(n),将斐波那契数列的通项式代入，化简就得 结果。兔子繁殖问题斐波那契数列又因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子 数列”。一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生岀一对小兔子 来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对两个月后，生下一对小兔对数共有两对三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对依次类推可以列出下表:经过月数123456789101112幼仔对数1011235813213455 成兔对数01123581321345589总体对数1123581321345589144幼仔对数=前月成兔对数成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显 的特点，那是：前而相邻两项之和，构成了后一项。这个数列是意大利中世纪数学家雯波那契在算盘全书中提出的，这个级数的通项公 式，除了具有a(n2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通项公式为：