经济预测与决策技术及MATLAB实现第7章-时间序列预测法课件

1、经济预测与决策技术及MATLAB实现第7章 时间序列预测法 7.1移动平均值预测法 7.2 指数平滑预测法 7.3 季节指数预测法 7.4 时间序列分解法 练习与提高（七） 7.5 ARMA模型预测法 7.6案例分析 7.1移动平均值预测法7.1.1 一次移动平均法（1）一次移动平均法模型一次移动平均法是收集一组观察值，计算这组观察值的均值，利用这一均值作为下一期的预测值。其模型：其中， 为t期的实际值；N为所选数据个数， 为下一期（t1）的预测值。【例7-1】 （续【例6-15】） 我国2000年至2015年的全社会固定资产投资完成额数据如表6-13，试用一次移动平均法预测2016年的投资完

2、成额（取N=3）。MATLAB程序clearX=32917.7 37213.5 43499.9 55566.6 70477.4 88773.6 109998.2 137323.9 172828.4. 224598.8 251683.77 311485.13 374694.74 446294.09 512020.65 562000; N=3;for t=3:length(X) M1(t)=(X(t)+X(t-1)+X(t-2)/N; %一次移动平均值 X1(t+1)=M1(t); %下一期预测值end M1,X1 t1=1:length(X);t2=4:length(X)+1plot(t1,X,

3、-+,t2,X1(4:end),-O)xlabel(时间/年)ylabel(投资完成额/亿元)legend(原始数据,预测值)预测图7.1.2 二次移动平均法 （1）二次移动平均法的线性模型 其中， 为t期的实际值， 为tT期的预测值，t为当前的时期数， T为由t至预测期的时期数。（【例7-2】 （续【例7-1】） 利用二次移动平均法预测2016年投资额（取N=3）。（1）先计算一次、二次移动平均值X=32917.7 37213.5 43499.9 55566.6 70477.4 88773.6 109998.2 137323.9 172828.4. 224598.8 251683.77 31

4、1485.13 374694.74 446294.09 512020.65 562000; N=3;for t=3:length(X) M1(t)=(X(t)+X(t-1)+X(t-2)/N; %一次移动平均值EndM1for t=5:length(M1) % t从5开始是因为M1的前2项为0 M2(t)=(M1(t)+M1(t-1)+M1(t-2)/N; %二次移动平均值endM2 （2）给出2005年至2016年的预测值，并绘图预测图首页a=2*M1(5:end)-M2(5:end);b=2*(M1(5:end)-M2(5:end)/(N-1);T=1;y=a+b*Tt1=1:length

5、(X);t2=6:length(X)+1;plot(t1,X,-+,t2,y,-O)xlabel(时间/年)ylabel(投资完成额/亿元)legend(原始数据,预测值)预测图 7.2 指数平滑预测法7.2.1 一次指数平滑法（1）一次指数平滑法的基本模型 其中， 为时间序列观测值， 为观测值的指数平滑值， 为平滑系数，。 【例7-3】 （续例7-1） 利用一次指数平滑法预测2016年的预测值（ =0.7、0.8、0.9）。X=32917.7 37213.5 43499.9 55566.6 70477.4 88773.6 109998.2 137323.9 172828.4. 224598.

6、8 251683.77 311485.13 374694.74 446294.09 512020.65 562000;X0=X(1); X1=X(2:end);alpha=0.9;S0=X0; %初始值S1(1)=alpha*X1(1)+(1-alpha)*S0; %指数平滑值第一项for t=1:length(X1)-1S1(t+1)=alpha*X1(t+1)+(1-alpha)*S1(t); endS1 %指数平滑值全部项S=S0 S1;MSE=sum(X1-S(1:length(X1).2)./length(X1) %均方误差t1=1:length(X);t2=2:length(X)+

7、1plot(t1,X,-+,t2,S,-O)xlabel(时间/年)ylabel(投资完成额/亿元)legend(原始数据,预测值)首页 7.2.2 二次指数平滑法（1）二次指数平滑法的线性模型为 【例7-4】 （续例7-1） 用二次指数平滑法预测2016年投资额（0.9）。1）先计算一次、二次指数平滑值clearX=32917.7 37213.5 43499.9 55566.6 70477.4 88773.6 109998.2 137323.9 172828.4. 224598.8 251683.77 311485.13 374694.74 446294.09 512020.65 56200

8、0;X0=X(1); X1=X(2:end);alpha=0.9;S10=X0; %S1 的初始值S1(1)=alpha*X1(1)+(1-alpha)*S10; %一次指数平滑值第一项for t=1:length(X1)-1 S1(t+1)=alpha*X1(t+1)+(1-alpha)*S1(t); %一次指数平滑值第二项以后项endS1 S1 S20=X0; %S2的初始值S2(1)=alpha*S1(1)+(1-alpha)*S20; %二次指数平滑值第一项for t=1:length(S1)-1 S2(t+1)=alpha*S1(t+1)+(1-alpha)*S2(t); %二次指数

9、平滑值第二项以后项endS2 预测2016年及以前的全部预测值a=2*S1(1:end)-S2(1:end);b=alpha/(1-alpha)*(S1(1:end)-S2(1:end);T=1;y=a+b*TY=X0,y;t1=1:length(X);t2=2:length(X)+1;plot(t1,X,-+,t2,Y,-O)xlabel(时间/年)ylabel(投资完成额/亿元)legend(原始数据,预测值)首页7.3 季节指数预测法首页7.3.1 季节性水平模型 如果时间序列没有明显的趋势变动，而主要受季节变化和不规则变动影响时，可用季节性水平模型进行预测。 预测模型的方法： （1）计

10、算历年同季的平均数（2）计算全季总平均数（3）计算各季的季节指数历年同季的平均数与全时期的季平均数之比，即：若各季的季节指数之和不为4，季节指数需要调整为 （4）利用季节指数法进行预测【例7-7】 我国2001年至2007年居民消费指数（衣着类）28个季度数据,并利用2007年第4季度数据作为已知数据，预测2008年第1、第2季度居民消费物价指数。年（季）2001（1）2001（2）2001（3）2001（4）2002（1）2002（2）2002（3）指数99.399.999.8100.499.299.999.6年（季）2002（4）2003（1）2003（2）2003（3）2003（4）20

11、04（1）2004（2）指数100.399.3100.099.7100.499.599.9年（季）2004（3）2004（4）2005（1）2005（2）2005（3）2005（4）2001（1）指数99.6100.499.2100.199.9100.599.4年（季）2006（2）2006（3）2006（4）2007（1）2007（2）2007（3）2007（4）指数100.199.8100.899.3100.199.6100.5 （1）根据所给数据，画出走势图，观察季节性X=99.3 99.9 99.8 100.4 99.2 99.9 99.6 100.3 99.3 100.0 99.7

12、100.4 99.5 99.9 99.6 100.4 99.2 100.1 99.9 100.5 99.4 100.1 99.8 100.8 99.3 100.1 99.6 100.5;t=1:28;Y=Xplot(t,Y(:),-o)xlabel(时间)ylabel(消费指数)（2）计算季节指数并预测r=mean(X) %同季平均数y=mean(X(:) %全部季度平均数b=r./y %各季季节指数F=4/sum(b)*b %调整各季季节指数%下面以2007年第4季度作为基期X1=X(end)*(F(1)/F(4) %2008年第1季度预测值X2=X(end)*(F(2)/F(4) %200

13、8年第2季度预测值7.3.2 季节性趋势模型 当时间序列既有季节性变动又有趋势性变动时，先建立趋势预测模型，在此基础上求得季节指数，再建立预测模型。其过程如下： （1）计算历年同季平均数r；（2）建立趋势预测模型，求趋势值 （3）计算出趋势值后，再计算出历年同季的平均数R；（4）计算趋势季节指数（k）；用同季平均数与趋势值同季平均数之比来计算。（5）对趋势季节指数进行修正；（6）求预测值。将预测期的趋势值乘以该期的趋势季节指数，即预测模型：【例7-8】我国在2006-2013年各个季度城镇居民人均消费性支出如表7-2所示，试预测2014年各个季度的人均消费性支出。 季度年份1234200622

14、43.81983.82252.8 2216.220072619.62210.42565.12602.420082882.32607.99 2855.712896.820093130.12849.2 3114.43171.3 20103474.713096.09 3370.833529.8220113846.323471.853877.22 3965.520124320.13 3873.644183.434297.12013 4634.74149.6 4534.7 4704 （1）根据所给数据，画出走势图，观察季节性和趋势性X=2243.81983.82252.8 2216.2 2619.622

15、10.42565.12602.4 .2882.32607.99 2855.712896.8 3130.12849.2 3114.43171.3 .3474.713096.09 3370.833529.82 3846.323471.853877.22 3965.5 .4320.13 3873.644183.434297.1 4634.74149.6 4534.7 4704;t=1:length(X);plot(t,X,-o)xlabel(时间/季度)ylabel(人均消费性支出/亿元)走势图（2）计算各年同季平均数r1=mean(X(1:4:length(X);r2=mean(X(2:4:len

16、gth(X);r3=mean(X(3:4:length(X);r4=mean(X(4:4:length(X);r=r1 r2 r3 r4 %各年同季平均（3）计算趋势预测值p=polyfit(t,X,1) %拟合得长期趋势参数T=polyval(p,t) %计算长期趋势预测值（4）计算趋势值各年同季平均R1=mean(T(1:4:length(T);R2=mean(T(2:4:length(T);R3=mean(T(3:4:length(T);R4=mean(T(4:4:length(T);R=R1 R2 R3 R4 %趋势值各年同季平均（5）计算并调整趋势季节指数k=r./R %趋势季节指数

17、K=4/sum(k)*k %调整趋势季节指数（6）预测2014年四个季度销售量t1=length(X)+1:length(X)+4 %2014年1至4季度时间Y=K.*polyval(p,t1) %计算2014年预测值7.3.3 季节性环比法模型环比法是指积累历年（至少三年）各月或各季的历史资料，逐期计算环比，加以平均，求出季节指数季节预测的方法。 （1）求逐期环比：将本期实际值和前期实际值相比，即：第一期的环比不能计算 （2）计算同季环比平均数 （3）计算各季连锁指数以第一季度为固定基准期，其连锁指数为 ，后面各季平均环比逐期连乘，得各季连锁指数：（4）根据趋势变动修正连锁指数如果没有趋势变

18、动，基准期的连锁指数 应为1，若求出来的基准期（第一季度）的连锁指数不为1，则存在趋势变动的影响，应加以修正，其修正值为 此时 是第四季度的连锁指数乘以第一季度的平均环比，即 各季扣除d后的修正连锁指数 应为：。第一季度 第二季度 第三季度 第四季度： （5）计算季节指数将各季修正连锁指数，除以全部四个季度修正连锁指数的平均数，得各季季节指数：（6）配合趋势直线模型，计算趋势值结合季节指数进行预测，预测模型为： 【例7-9】 某城市各大商场销售某种商品各季销售量如表7-4所示,，试预测2016年各个季度的销售量。 季度年份1234合计201262508070262201370609585310

19、20147555120833332015786510590338（1）先画出走势图 x=62 50 80 70 70 60 95 85 75 55 120 83 78 65 105 90;t=1:16;plot(t,x,-o)（2）计算季节指数h=x(2:end)./x(1:end-1) %各期环比h1=mean(h(4:4:end) %第1季度同季环比平均数h2=mean(h(1:4:end) %第2季度同季环比平均数h3=mean(h(2:4:end) %第3季度同季环比平均数h4=mean(h(3:4:end) %第4季度同季环比平均数H1=h1 h2 h3 h4 %四个季度同季环比平均

20、数H2=1 h2 h3 h4 %第1 季度基准期为1 四个季度 %同季环比平均数c=cumprod(H2) %四个季度连锁指数c1=c(4)*H1(1) %第1季度连锁指数d=(c1-1)/4 %修正值C1=1 %第1季度修正连锁指数C2=c(2)-d %第2季度修正连锁指数C3=c(3)-2*d %第3季度修正连锁指数C4=c(4)-3*d %第4季度修正连锁指数C=C1 C2 C3 C4 %汇总修正连锁指数F=C./mean(C) %季节指数（3）求趋势值p=polyfit(t,x,1)T=polyval(p,t)（4）求2016年1-4季度预测值t1=17:20;T1=polyval(p

21、,t1)X1=T1.*F7.4 时间序列分解法 （1）时间序列数据的影响因素主要有长期趋势、季节变动、周期变动、不规则变动。（2）乘法分解模型为时间序列的全变动， 为长期趋势， 为季节变动， 为循环变动， 为不规则变动；（3）确定上述各个因素的步骤1）用 分析长期趋势与循环变动；2）用分析季节性与随机性；3）用分析季节性；4）用趋势外推法分析长期趋势T；5）用分析循环变动；6）将时间序列的T、S、C分解出来后，剩余的即为不规则变动，即 在实际运算时可以不考虑随机因素，而直接用前三种因素来处理：即7.5 ARMA模型预测法7.5.1 ARMA模型的基本形式（1）自回归模型AR(p)其中，是独立同

22、分布的随机变量序列 称时间序列服从p阶自回归模型AR(p) （2）移动平均模型MA(q) 服从q阶移动平均模型MA(q )（3）自回归移动平均模型ARMA(p,q)服从（p,q）阶自回归移动平均模型ARMA(p,q) 2模型建立的条件及判定法时间序列的平稳性 自相关分析法 它可以测定时间序列的随机性和平稳性，以及时间序列的季节性。7.5.2 ARMA模型相关性分析及识别根据绘制的自相关分析图和偏自相关分析图，我们可以初步地识别平稳序列的模型类型和模型阶数。1AR(p)模型（1）AR(p)的自相关函数满足 表明 随k的增加按指数形式衰减，呈“拖尾”状。AR(1)模型 AR(2)模型 （2）AR(

23、p)的偏相关函数可知偏相关函数具有“截尾”状 。2MA(q)模型（1）MA(q) 自相关函数（2）MA(q) 偏相关函数由于任何一个可逆的MA过程都可以转化为一个无限阶的系数按几何递减的AR过程，所以MA过程的偏自相关函数同AR模型一样呈缓慢衰减特征。3ARMA(p,q)模型根据AR、MA模型可知ARMA模型的自相关函数和偏自相关函数也是无限延长的，其过程也是呈缓慢衰减，是拖尾的。三个基本模型的相关性特征 根据相关性特征，可利用自相关函数与偏自相关函数的截尾性来识别模型类型。并利用偏相关函数PartialACF，确定AR模型的滞后阶数；利用自相关函数ACF，确定MA模型的滞后阶数。模型自相关函

24、数偏自相关函数AR(p)拖尾p阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾4自相关函数与偏相关函数的命令（2）计算并描绘时间序列的自相关函数 格式： autocorr(series,nLags,M,nSTDs) %绘出自相关函数图 ACF,Lags,Bounds=autocorr(series,nLags,M,nSTDs)说明：series：时间序列 nLags：延迟数，默认为20个ACF。 M：延迟阶数，缺省时假设为高斯白噪声。 nSTDs：表示计算出的相关函数ACF估计误差的标准差；ACF：相关函数；Lags：对应于ACF的延迟；Bounds：置信区间的近似上下限，假设序列是MA

25、（M）模型（1）计算时间序列的相关系数格式：r=corrcoef(x1,x2)说明：计算两时间序列x1,x2的相关系数r，其值在0，1之间。【例7-11】x=randn(1000,1); %生成1000点的Gaussian白噪声y=filter(1 -1 1,1,x); %生成MA（2）过程autocorr(y,2) %如图7-8所示ACF,Lags,Bounds= autocorr(y,2) %计算95置信度下的相关系数（3）计算并描绘时间序列的偏相关函数 格式：parcorrr(series) PACF,Lags,Bounds=parcorr(series,nLags,R, nSTDs )

26、 说明：series：时间序列； nLags：延迟数，缺省时计算在延迟点 0，1，T （T=min(20,length(series)-1)的PACF； R：表示Lags延迟阶数，缺省时假设为AR(R)过程； nSTDs：表示计算出的相关函数PACF估计误差的标准差PACF：相关函数；Lags：对应于ACF的延迟； Bounds：置信区间的近似上下限，假设序列是AR(R)过程。【例7-12】x=randn(1000,1); Gaussian白噪声 y=filter(1,1 -0.6 0.08,x); %生成AR(2）过程 parcorr(y,2) %绘出偏相关函数图， PACF,Lags,Bo

27、unds=parcorr(y,2) %偏相关系数5评价时间序列模型的准则FPE准则：是指最终预报误差（Final Prediction Error）的定阶准则。主要用于AR模型、ARMA模型的阶，其方法是以选用模型的一步误差达到最小的相应的阶作为模型的阶，用其预报效果的优劣来确定该模型的阶数。 7.5.3 ARMA模型参数估计1、AR(p)模型参数矩估计Yule-Walker方程 利用实际时间序列数据，首先求得自相关函数 的估计值 ，代入Yule-Walker方程组，求得模型参数的估计值， 2、MA(q)模型参数估计 利用实际时间序列数据，求得自协方差函数 的估计值 求得模型参数的估计值 。

28、3、ARMA(p,q)模型的参数估计先求得自相关函数 的估计值 ，代入Yule-Walker方程组，求得模型参数的估计值， 再改写ARMA模型求解估计值 4、模型参数的MATLAB命令（1）AR模型参数估计格式： m=ar(y,n) m,refl=ar(y,n,approach, window) 说明： y是数据结构，由iddata函数得到：y= iddata(y)， 后面y是给定的时间序列； n是AR阶次； approach ：估计时采用的方法：Approachfb：前向后； ls：最小二乘法； yw：Yule-Walker方法； Burg：基于Burg谱估计方法； Window： 处理Y中

29、缺失值的方法，Window now：表示观察值中没有缺失值；Window yw：表示Yule-Walker方法处理缺失值； m： AR模型的文字形式； refl： AR 模型的系数。（2）ARMAX模型参数估计自回归移动平均各态历经ARMAX（AutoRegressive Moving Average eXogenous）模型，是考虑外部解释变量X 的模型。na,nb,nc是滞后多项式的阶数， nk为延迟格式：Z =iddata (y) m = armax(Z,na nb nc nk) m = armax(Z,na,na,nb,nb,nc,nc,nk,nk)说明：y原始序列，Z是y的数据结构；

30、 na,nb,nc是滞后多项式的阶数，nk为延迟（3）MA模型参数估计。用ARMAX模型可对MA模型进行估计，只需在模型 A(q) 1， B(q) 0 格式：z=iddata(y) m=armax(z,nc,5)（4）ARMA模型参数估计用ARMAX模型可对ARMA模型进行估计，只需在模型：B(q) 0 格式： z=iddata(y); m=armax(z, na nc);（5）ARX模型参数估计 A(q) y(t) = B(q) u(t-nk) + e(t)格式：m = arx(data, na nb nk) m = arx(data,na,na,nb,nb,nk,nk)7.5.4 ARMA

31、模型的预测1AR（p）模型的预测公式预测方差 GREEN函数 2MA(q)模型预测公式预测方差 若已知 和新获得的数据 ，则得的递推公式： , ,， T ，初始值可取某个时刻 3ARMA(p,q)模型预测公式预测方差 的递推公式： , ,， T ，当时 ，上式最后一项为0 4模型预测及误差的MATLAB命令格式：yp=predict(m,y,k)说明：m表预测模型，y为实际输出，k为预测区间； yp为预测输出。当kinf,yp(t)为模型m与y（1,2，t-k）的预测值；当k=inf,yp(t)为模型m的纯仿真值，默认k=1；在计算AR模型预测时，k应取1。格式：yh,fit,x0=compa

32、re(m,y,k)说明：Compare的预测原理与predict相同，但对预测进行比较，并可绘出比较图 格式：e=pe(m,data) %pe误差计算，说明：采用yh=predict(m,data,1)进行预测，然后计算误差 e=data-yh 在无输出情况下，绘出误差图，误差曲线应足够小，黄色区域为99%的置信区间，误差曲线在该区域内表明通过检验。格式：e,r=resid(m,data,mode,lags) resid(r)计算并检验误差。7.6案例分析7.6.1 利用移动平均法预测股票走势【例7-13】我国2002年至2015年的国内生产总值（GDP）数据如表7-6，试用指数平滑法预测20

33、16年的国内生产总值。年份2002200320042005200620072008GDP121002136564.6160714.4185895.8217656.6268019.4316751.7年份2009201020112012201320142015GDP345629.2408903484123.5534123588018.8635910.2676707.8第一步，先编程查找二次指数平滑系数alpha.clearX=121002136564.6160714.4185895.8217656.6268019.4316751.7 . 345629.2408903484123.5534123588018.8635910.2676707.8;X0=X(1);X1=X(2:end);U=;for alpha=0.1:0.1:0.9 %在0.1至0.9之间查找alpha S0=X0; S1(1)=alpha*X1(1)+(1-alpha)*S0; for t=1:le