线性控制第11章_线性系统的运动课件

1、第11章 线性控制系统的动态分析 11.1 线性时变系统状态方程的解11.2 线性时不变系统自由运动的解11.3 线性时不变系统一般运动的解11.4 线性连续系统状态空间描述的离散化11.5 线性离散系统状态方程的解11.1 线性时变系统状态方程的解（1）线性时变系统状态方程解的唯一性 （2）线性时变系统的状态转移矩阵 （3）状态转移矩阵的性质 （4）系统自由运动的解 （4）系统一般运动的解 （5）状态转移矩阵的计算 11.2 线性时不变系统自由运动的解线性系统自由运动分析的数学实质 系统的自由运动反映的是系统内在的固有参数及结构特性，研究分析系统的自由运动是研究分析系统的一般运动的基础。 指

2、在输入向量 及初始状态 的条件下系统的运动 1. 齐次状态方程解的一般表达式2. 状态转移矩阵令t =0 （一）齐次状态方程解的一般表达式 因此,齐次状态方程的解为:根据标量指数函数定义式:定义矩阵向量eAt为状态转移矩阵于是齐次状态方程的解为:另用拉氏变换法求解齐次微分方程:拉氏反变换后得到齐次状态方程的解:对比 将矩阵指数函数 或 称为系统的状态转移矩阵，记为 状态转移矩阵 包含了系统自由运动的全部信息，完全表征了系统的动态特性。 包含了自由运动性质的全部信息，完全表征了系统的动态特性。 当且仅当A的特征值均具有负实部，线性定常系统为渐进稳定 。 如果t为某给定常数T，那么零输入响应 就是

3、状态空间中由初始状态 经线性变换常数阵 所致。几点解释： （二）状态转移矩阵1. 状态转移矩阵的基本性质；2. 状态转移矩阵的计算。 a. 直接求取； b. 拉普拉斯变换； c. 化矩阵A为对角型或约当型； d.化矩阵指数 为A的有限项。 证：（1）线性系统状态转移矩阵的基本性质由性质推出：证： 式(2.1.14)式逐项对t求导 这个性质表明，状态转移矩阵 与系统矩阵A满足交换律。 证： 根据矩阵指数函数的定义，有表明 具有分段组合的性质。 证：根据性质和及逆矩阵定义，有 证明： 可把一个转移分为若干个小的转移来研究。 若 为 的状态转移矩阵，则 引入非奇异变换 后的状态转移矩阵为：证：式中：

4、1.直接求取法例2.1 已知系统矩阵，求系统状态转移矩阵 。解：根据定义有：结论：直接求取法步骤简便、编程简单、易于计算机求解。缺点是难以获得解析形式，不适合手工计算。（2）状态转移矩阵的计算2.普拉斯变换法 结论：拉普拉斯变换法步骤相对复杂，但可以获得解析形式，便于对系统进行分析，在系统维数较少时，可用手工计算，在系统维数较大时，仍要借助计算机来计算。 例2.2 已知系统矩阵 ，试用拉普拉斯变换法求系统状态转移矩阵 。解:3.化矩阵A为对角规范型或约当规范型方法矩阵A的特征值互异 证明:例2.3 已知系统矩阵 ，试用化矩阵A为对角规范型方法求系统状态转移矩阵 。解：矩阵A的特征方程为 矩阵A

5、有重特征值 设矩阵A为“友”矩阵，且有m1重特征值 ，m2重特征值 ，互异特征值 例2.4 已知系统矩阵 ，试用化矩阵A为约当规范型方法求系统状态转移矩阵 。 解： 矩阵A的特征方程为：两种常见的状态转移矩阵形式设 设 例2.5 已知系统矩阵 试求状态转移矩阵解:矩阵A有复数特征值，此时需要将A化为模态标准型模态标准形其中： 模态标准形矩阵 的的状态转移矩阵可由下式计算(证明略)例2.6已知系统的系数矩阵求系统状态转移矩阵解：矩阵A的特征值为解得：例2.7已知系统的系数矩阵A,求系统状态转移矩阵解:在第1章例1.6-5中已得到结论：化矩阵A为对角规范型或约当规范型方法步骤相对复杂，但可以获得解

6、析形式，并建立起了矩阵A的特征值和状态转移矩阵的直观联系，更便于对系统进行分析，但计算相对复杂，特别适合一些简单系统的计算和分析。4.化矩阵A为有限项法(待定系数法) 这种方法是利用凯莱-哈密尔顿定理(Cayley-Hamilton),将 的的无穷级数化为矩阵A的有限项之和进行计算。 凯莱-哈密尔顿定理指出，矩阵A满足自己的特征多项式。则A满足：应用凯莱-哈密尔顿定理a. 矩阵A有n个互异的特征值下面按A的特征值形态分两种情况讨论b. 特征值有重根例2.6 重做例2.3 已知系统矩阵 ，试用凯莱-哈密尔顿定理方法求系统状态转移矩阵 。 解：在例2-3中已求出矩阵A的特征值【例2.8】 验证如下

7、矩阵是否为状态转移矩阵。解：利用性质所以该矩阵不是状态转移矩阵。 例2.9 根据已知状态转移矩阵，求A解：根据状态转移矩阵性质2(一) 线性系统的零状态强迫运动 系统的运动由两部分组成其中第1项 ,是初始状态的转移; 第2项是 ，为控制输入作用的受控项 正是由于受控项的存在，提供了通过选取合适的u使x(t)的运动轨迹满足期望的可能性。 线性系统的零状态响应就是在 求取非齐次状态方程 的解。11.3 线性时不变系统一般运动的解两边左乘 而： 线性系统的零状态响应就是系统对于各个时刻，由输入量在该时刻引起的状态改变的转移对时间的积累 （二） 线性系统的一般运动 设线性系统的非齐次状态方程和输出方程

8、为：初始状态为 的解由拉氏变换的卷积积分定理具体用哪个公式，视求解方便而定。例2.10 已知系统矩阵，且，输入矩阵 单输入u(t)为单位阶跃函数，试求系统的状态响应。解：在例2.2中已求得状态转移矩阵： 11.4 线性连续系统状态空间描述的离散化 保持器采样器D/A数字计算机A/D连续系统u(t)y(t)x(t)u(k)y(k)x(k)离散化模型图2.3.1 计算机控制系统离散化式（2.3.2）减式（2.3.1）乘以 得： 采用零阶保持器，其数学模型为：令： 例2.11给定线性连续定常系统：解： 在例2.2中已求得状态转移矩阵：且采样周期T=0.1秒，试建立时间离散化模型11.5 线性离散系统状态方程的解 离散时间系统状态方程有两种解法：迭代法和Z变换法。迭代法：迭代法对于定常系统和时变系统皆适用。设线性离散系统的状态方程为：当k=0，1，2，k-1时，得到：一般递推表达式：状态转移矩阵：初始时刻 k=h:离散时间系统状态转移矩阵的性质： 2.Z变换法：Z变换法仅适用于定常系统。对式(2.4.1)两边进行Z变换,可得:整理得两边进行Z反变换,可得结论 解的形式与连续系统相似，x(k)也是由两部分构成，第1部分是系统自由运动分量，只与系统结构和初始状态有关；第2部分是系统的受控项，不仅与系统结构和初始状态有关，还与u的大小有关；例2.12