2022新高考总复习《数学》(人教)第九章　统计与统计案例9.2　用样本估计总体

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI9.2用样本估计总体第九章2022内容索引010203必备知识 预案自诊关键能力 学案突破素养提升微专题12数据分析(多角度展现)必备知识 预案自诊【知识梳理】 1.统计图表(1)频率分布直方图的画法步骤求极差(即一组数据中与的差);决定与;将数据;列 ;画 .最大值最小值组距组数分组频率分布表频率分布直方图(2)频率分布折线图和总体密度曲线频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的,就得到频率分布折线图.总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时 增加,减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线

2、,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比,它能提供更加精细的信息.(3)茎叶图:茎叶图中茎是指的一列数,叶是从茎的生长出来的数.当样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好,它不但可以保留所有信息,而且可以随时记录,给数据的记录和表示都带来方便.中点所分组数组距中间旁边(4)茎叶图的画法步骤第一步:将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分;第二步:将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列;第三步:将各个数据的叶依次写在其茎的两侧.2.样本的数字特征 数字特征定义众数在一组数据中,出现次数的数据叫做这组数据的众数中位数将一组数据按大小依次排列,把处

3、在位置的一个数据(或最中间两个数据的)叫做这组数据的中位数.在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积和平均数样本数据的算术平均数,即方差、标准差最多中间平均数相等3.标准差、方差的实际意义:标准差和方差都反映了样本数据的离散程度.标准差(方差)越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差(方差)越大,表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散.常用结论1.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方

4、形底边中点的横坐标之和.2.若数据x1,x2,xn的平均数为 ,方差为s2,则数据mx1+a,mx2+a,mx3+a,mxn+a的平均数是m +a,方差为m2s2.【考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)平均数、众数与中位数都可以描述数据的集中趋势.()(2)一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大. ()(3)频率分布直方图中小矩形的面积越大,表示样本数据落在该区间内的频率越大.()(4)茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写,相同的数据可以只记一次.()(5)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式,前者准确,后者直观.()(6)在频率分布直方

5、图中,最高的小长方形底边中点的横坐标是众数.()2.(2018全国1,文3)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是()A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案 A解析 设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设后种植收入为20.37

6、=0.74,故A不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建设后其他收入为0.1,养殖收入为0.6,故B,C正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%,故D正确,故选A.3. 如图给出的是2017年11月2018年11月某工厂工业原油产量的月度走势图,则以下说法正确的是()A.2018年11月份原油产量约为51.8万吨B.2018年11月份原油产量相对2017年11月增加1.0%C.2018年11月份原油产量比上月减少54.9万吨D.2018年111月份原油的总产量不足15 000万吨答案 C解析 由题意得,2018年11月份原油的日均产量为51.8万吨,则11月份原

7、油产量为51.830=1 554万吨,故A错误;2018年11月份原油产量的同比增速约为-1.0%,原油产量相对2017年11月份减少1.0%,故B错误;又10月份原油产量为51.931=1 608.9万吨,11月份原油产量比上月减少1 608.9-1 554=54.9万吨,则C正确;111月份共334天,而111月份日均原油产量都超过50万吨,故111月份原油产量的总产量会超过15 000万吨,故D错误. 故选C.4.在某次数学测验后,将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图(如图),则在该次测验中成绩不低于100分的学生数是()A.210B.205C.200D.195答案 C解

8、析 由频率分布直方图可知,低于100分的人数的频率为(0.012+0.018+0.030)10=0.6,所以低于100分的人数为5000.6=300,则不低于100分的人数为500-300=200,故选C.5.某校连续5天对同学们穿校服的情况进行统计,没有穿校服的人数用茎叶图表示,如图,若该组数据的平均数为18,则x=.答案 8 关键能力 学案突破考点1频率分布直方图及其应用【例1】如图是某单位职工的月收入情况画出的样本频率分布直方图,已知图中第一组的频数为4 000,请根据该图提供的信息,解答下列问题.(1)为了分析职工的收入与年龄、学历等方面的关系,必须从样本中按月收入用分层抽样方法抽出1

9、00人作进一步分析,则月收入在1 500,2 000)的这组中应抽取多少人?(2)试估计样本数据的中位数与平均数.解 (1)由题知,月收入在1 000,1 500)的频率为0.000 8500=0.4,又月收入在1 000,1 500)的有4 000人,故样本容量n= =10 000.又月收入在1 500,2 000)的频率为0.000 4500=0.2,月收入在1 500,2 000)的人数为0.210 000=2 000,从10 000人中用分层抽样的方法抽出100人,则月收入在1 500,2 000)的这组中应抽取2 000 =20(人).(2)月收入在1 000,2 000)的频率为0

10、.4+0.2=0.60.5,故样本数据的中位数为1 500+ =1 500+250=1 750.由频率分布直方图可知,月收入在3 000,3 500)的频率为1-(0.000 8+0.000 4+0.000 3+0.000 25+0.000 1)500=0.075.故样本数据的平均数为1 2500.4+1 7500.2+2 2500.15+2 7500.125+3 2500.075+3 7500.05=1 962.5.解题心得频率分布直方图的性质 对点训练1(1)某校进行了一次创新作文大赛,共有100名同学参赛,经过评判,这100名参赛者的得分都在40,90之间,其得分的频率分布直方图如图所示

11、,则下列结论错误的是()A.得分在40,60)之间的共有40人B.从这100名参赛者中随机选取1人,其得分在60,80)的概率为0.5C.估计得分的众数为55D.这100名参赛者得分的中位数为65(2)(多选)某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2016年和2019年的高考升学情况,得到如下柱状图:则下列结论正确的是()A.与2016年相比,2019年一本达线人数有所增加B.与2016年相比,2019年二本达线人数增加了0.5倍C.与2016年相比,2019年艺体达线人数相同D.与2016年相比,2019年不上线的

12、人数有所增加答案 (1)D(2)C解析 (1)根据频率和为1,计算(a+0.035+0.030+0.020+0.010)10=1,解得a=0.005,得分在40,60)的频率是0.40,估计得分在40,60)的有1000.40=40人,A正确;得分在60,80)的频率为0.5,可得这100名参赛者中随机选取一人,得分在60,80)的概率为0.5,B正确;根据频率分布直方图知,最高的小矩形对应的(2)设2016年高考考生人数为x,则2019年高考考生人数为1.5x,由24%1.5x-28%x=8%x0可知选项A正确;由8%1.5x-8%x=4%x0可知选项C不正确;由28%1.5x-32%x=1

13、0%x0可知选项D正确.故选AD.考点2茎叶图的应用【例2】(1) 军训时,甲、乙两名同学进行射击比赛,共比赛10场,每场比赛各射击四次,且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩.数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图,并给出下列4个结论:(1)甲的平均成绩比乙的平均成绩高;(2)甲的成绩的极差是29;(3)乙的成绩的众数是21;(4)乙的成绩的中位数是18.则这4个结论中,正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.4(2)从A,B两种玉米苗中各抽25株,分别测得它们的株高如图所示(单位:mm).根据数据估计()A.A种玉米比B种玉米不仅长得高而且长得整齐B.B种玉米比A种

14、玉米不仅长得高而且长得整齐C.A种玉米比B种玉米长得高但长势没有B整齐D.B种玉米比A种玉米长得高但长势没有A整齐答案 (1)C(2)C解析 (1)根据茎叶图知甲的平均成绩为21.4,乙的平均成绩为16.9,因此(1)对;甲的成绩的极差是37-8=29,(2)对;乙的成绩的众数是21,(3)对;乙的成绩的中位数是 =18.5,(4)错,故选C.(2)根据茎叶图中的数据分布情况,得A种玉米的株高数据大部分分布在下方,所以平均数大;但B种玉米数据的分布集中在中间位置,说明方差小,所以A种玉米比B种玉米长得高但长势没有B整齐,故选C.解题心得1.一般制作茎叶图的方法是将所有两位数的十位数字作为“茎”

15、,个位数字作为“叶”,茎相同者共用一个茎,茎按从小到大的顺序由上到下列出.2.茎叶图的优缺点如下:(1)优点:一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到;二是茎叶图便于记录和表示,能够展示数据的分布情况.(2)缺点:样本数据较多或数据位数较多时,不方便表示数据.3.对于给定两组数据的茎叶图,可根据“重心”下移者平均数较大,数据集中者方差较小来估计数字特征.对点训练2(1)有24名投资者想到某地投资,他们年龄的茎叶图如图所示,先将他们的年龄从小到大编号为124号,再用系统抽样方法抽出6名投资者,邀请他们到实地进行考察.其中年龄不超过55岁的人数为()A.1B.2C.3D.4(2)某中学数学竞赛培训班

16、共有10人,分为甲,乙两个小组,在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示,已知甲组5名同学成绩的平均数为81,乙组5名同学成绩的中位数为73,则x-y的值为()A.2B.-2C.3D.-3答案 (1)B(2)D解析 (1)样本间隔为246=4,年龄不超过55岁的有8人,则需要抽取84=2人,故选B.(2)根据茎叶图中的数据,得甲班5名同学成绩的平均数为又乙班5名同学的中位数为73,则y=3;x-y=0-3=-3.故选D.考点3样本的数字特征及其应用【例3】 (1)(2020全国3,文3)设一组样本数据x1,x2,xn的方差为0.01,则数据10 x1,10 x2,10 xn的方差为()A.

17、0.01B.0.1C.1D.10(2)(2020全国3,理3)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且 pi=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是()A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2答案 (1)C(2)B (2)四个选项的数据都具有对称性,平均数均为2.5,其中B选项的数据中,极端值最多,数据波动程度最大,故选B.思考众数、中位数、平均数及方差的意义有什么不同?解题心得1.众数、中位数、平均数及方差的意义:(1)

18、平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明的描述;(2)平均数、中位数、众数描述其集中趋势,方差和标准差描述波动大小.2.平均数、方差的公式推广:(1)若数据x1,x2,xn的平均数为 ,则ax1+b,ax2+b,ax3+b,axn+b的平均数是a +b.(2)若数据x1,x2,xn的方差为s2,则数据x1+b,x2+b,xn+b的方差也为s2;数据ax1,ax2,axn的方差为a2s2.对点训练3(1)若x1,x2,x2 021的平均数为3,方差为4,且yi=-2(xi-2),i=1,2,2 021,则新数据y1,y2,y2 021的平均数和标准差分别为()A.-4-4B.-416C

19、.28D.-24(2)某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示,总体的中位数为12,若要使该总体的标准差最小,则4x+2y的值是()A.12B.14C.16D.18答案 (1)D(2)A 要点归纳小结1.两个易误点(1)易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为 .(2)在绘制茎叶图时,易遗漏重复出现的数据,重复出现的数据要重复记录,同时不要混淆茎叶图中“茎”与“叶”的含义.要点归纳小结2.众数、中位数和平均数的异同 异同众数中位数平均数相同点都是描述一组数据集中趋势的量不同点与这组数据中的部分数据有关,出现在这些数据中不一定在这些数据中出现,奇数个时,在这组数据中出现;偶数个时,为中间两数的平均值不

20、一定在这些数据中出现要点归纳小结3.标准差和方差的异同相同点:标准差和方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.不同点:方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差程度,标准差则不然.要点归纳小结4.频率与频率比 要点归纳小结不要搞混直方图与条形图:(1)条形图是用条形的长度表示各类别频数的多少,其宽度(表示类别)是固定的;直方图是用面积表示各组频率的多少,矩形的高度表示每一组的频率除以组距,宽度则表示各组的组距,因此其高度与宽度均有意义.(2)由于分组数据具有连续性,因此直方图的各矩形通常是连续排列,而条形图则是分开排列.素养提升微专题9数据分析(多角度展现)数据分析是指针对研究对象获得相

21、关数据,运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断,并形成知识的过程.主要包括:收集数据,整理数据,提取信息,构建模型,对信息进行分析、推断,获得结论.在数据分析素养提升微专题12的形成过程中,学生能够提升数据处理的能力,增强基于数据表达现实问题的意识,养成通过数据思考问题的习惯,积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验.角度一对生产、生活中的问题的分析【例1】为保证树苗的质量,林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测,现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度(单位长度:cm),其茎叶图如图所示,则下列描述正确的是( )A.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,甲种

22、树苗比乙种树苗长得整齐B.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,乙种树苗比甲种树苗长得整齐C.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,乙种树苗比甲种树苗长得整齐D.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,甲种树苗比乙种树苗长得整齐答案D解析由茎叶图中的数据,我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为:甲:19,20,21,23,25,29,31,32,33,37;乙:10,10,14,26,27,30,44,46,46,47.由已知易得故乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,甲种树苗比乙种树苗长得整齐.故选D.解题心得 1.茎叶图中两组数据的平均数要进行计算,稳定程度可通过计算方差

23、或通过数据排布形状作出比较.数据的离散程度与茎叶图形状的关系具体如下:茎叶图中各组数据越往中间集中,表示数据离散度越小,其标准差越小;茎叶图中各组数据越往两边离散,表示数据离散度越大,其标准差越大.2.解此类应用题的关键在于读懂题意,并从统计图表中得到解题的条件和信息,然后再根据要求进行求解.思考茎叶图的特征数字与生活、生产中的优劣关系是什么?如何解此类问题?对点训练1某校高三文科500名学生参加了3月份的高考模拟考试,学校为了了解高三文科学生的历史、地理学习情况,从500名学生中抽取100名学生的成绩进行统计分析,抽出的100名学生的地理、历史成绩如下表:历史地理80,10060,80)40

24、,60)80,1008m960,80)9n940,60)8157若历史成绩在80,100区间的占30%,(1)求m,n的值;(2)请根据上面抽出的100名学生地理、历史成绩,填写下面地理、历史成绩的频数分布表:根据频数分布表中的数据估计历史和地理的平均成绩及方差(同一组数据用该组区间的中点值作代表),并估计哪个学科成绩更稳定.科目成绩80,10060,80)40,60)地理历史解 (1)历史成绩在80,100内的占30%, =0.3,得m=13,n=100-8-9-8-15-9-9-7-13=22.(2)可得频数分布表为成绩80,10060,80)40,60)地理255025历史304030角

25、度二对生产、生活做出估计【例2】 (2018全国1,19)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量0,0.1)0.1,0.2)0.2,0.3)0.3,0.4)0.4,0.5)0.5,0.6)0.6,0.7)频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量0,0.1)0.1,0.2)0.2,0.3)0.3,0.4)0.4,0.5)0.5,0.6)频数151310165(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)解(1) (2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.20.1+10.1+2.60.1+20.05=0.48,因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)36