专题8.3空间点、直线平面之间的位置关系讲-2016年高考数学文一轮复习讲练测解析版

1、第 03 节空间点、直线、平面间的关系【课前小测摸底细】1.【2014 年哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学高三第一次联合】直线与题，或在大题中间接考查【经典例题精析】考点一：平面的基本性质【1-1】在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P，Q，R 分别是 AB，AD，B1C1 的中点，那么正方体的过 P，Q，R的截面图形是()A三角形 B四边形C五边形 D六边形【】D【1-2】以下四个命题中，正确命题的个数是()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点 A、B、C、D 共面，点 A、B、C、E 共面，则 A、B、C、D、E 共面；若直线 a、b 共面，直线 a、c 共面，则直线

2、b、c 共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0【B1C2D3】B【】中，假设存在三点共线，则这四点必共面，与题设，故正确；中，若 A、B、C 三点共线，则 A、B、C、D、E 有可能不共面，故错误；中，正方体的棱中，a、b 共面，a、c 共面，而 b、c 异面，故错误；中，空间四边形的四条线段不共面，故错误，故选 B.是正方体和正四面体，P、Q、R、S 分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是【1-3】下列【】【1-4】(2013 年江西卷)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且 ABCD，则直线 EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为【】4【1-5】在正方体 ABCDA

3、1B1C1D1 中，对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O，AC，BD 交于点 M，求证：点C1，O，M 共线，A1AC1C，【证明】A1A，C1C 确定平面 A1C.A1C平面 A1C，OA1C，O平面 A1C，而 O平面 BDC1线 A1C，O平面 BDC1，O 在平面 BDC1 与平面 A1C 的交线上ACBDM，M平面 BDC1，且 M平面 A1C，平面 BDC1平面 A1CC1M，OC1M，即 C1，O，M 三点共线【1-6】如图，直角梯形 ABDC 中，ABCD，ABCD，S 是直角梯形 ABDC 所在平面外一点，画出平面 SBD和平面 SAC 的交线【回眸】(1)公理 1：

4、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)(2)公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)(3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面【方律技巧】公理 1 是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理 2 及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理 3是证明三线共点或三点共线的依据要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理画

5、几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理 3，即证点在两个平面要证明点共线或线共点的交线上或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上.【新题变式探究】【变式 1】三条直线两两垂直，给出下列四个结论：这三条直线必共点；其中必有两条是异面直线；三条直线不可能共面；其中必有两条在同一平面内其中正确结论的序号是】

6、【变式 2】如图，空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上，且 BGHHC12.（）求证：E，F，G，H 四点共面；（）设 EG 与 FH 交于点 P，求证：P，A，C 三点共线【变式 3】如图，在四面体 ABCD 中 ，E，G 分别为 BC，AB 的中点，F 在 CD 上，H 在 AD 上，且有 DFFCDHHA23.求证：EF，GH，BD 交于一点【证明】如图，连接 GE，FH.因为 E，G 分别为 BC，AB 的中点，所以 GEAC.又因为 DFFCDHHA23，所以 FHAC.所以 FHGE，GH，EF 不平行所以 E，F，H，G 四

7、点共面所以四边形 EFHG 是一个梯形设 GH 和 EF 交于一点 O.因为 O 在平面 ABD 内，又在平面 BCD 内，所以 O 在这两个平面的交线上因为这两个平面的交线是 BD，且交线只有这一条，所以点 O 在直线 BD 上这就证明了 GH 和 EF 的交点也在 BD 上，所以 EF，GH，BD 交于一点考点二：空间两直线的位置关系【2-1】对于直线 m、n 和平面 ，下列命题中的真命题是( A如果 m，n，m、n 是异面直线，那么 n如果 m，n，m、n 是异面直线，那么n 与 相交如果 m，n，m、n 共面，那么 mn如果 m，n，m、n 共面，那么 m 与 n 相交)【】C【】对于

8、选项 A，n 可以与平面 相交，对于选项 B，n 可以与平面 平行，故选项 A、B 均错；由于 m，n，则 m、n 无公共点，又 m、n 共面，所以 mn，选项C 正确，选项 D 错故选 C.【2-2】已知 a，b，c 是直线， 是平面，给出下列命题：若 ab，bc，则 ac；若 ab，bc，则 ac；a，b，则 ab；若 a，b 异面，且a，则 b 与 相交；若 a，b 异面，则至多有一条直线与 a，b 都垂直其中真命题的个数为()A1【B2C3D4】A【】仅为真命题【2-3】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为 DE，BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中，GH 与 EF

9、平行；BD 与 MN 为异面直线；GH 与 MN 成 60角；DE 与 MN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是】 【把正四面体的平面展开图还原，GH 与 EF 为异面直线，BD 与 MN 为异面直线，GH 与 MN 成 60角，DEMN.【2-4】在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 AA1，CC1 的中点，则在空间中与三条直线 A1D1，EF，CD 都相交的直线( A不存在C有且只有三条)B有且只有两条D有无数条【】D【2-5】如右图所示正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点问：(1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由(

10、2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由【回眸】平行共面直线直线与直线的位置关系的分类相交异面直线：不同在任何一个平面内直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况平行公理：平行一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补【方律技巧】空间中直线位置关系的判定，主要是异面和垂直的判定对于异面直线，可采用定理或反证法， 对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质说明【新题变式探究】【变式 1】【2014 重庆模拟】若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是()A平行B异面C相交D平行、异

11、面或相交【】D【】当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选 D.【变式 2】【2014 年长春一模】一个正方体的展开图，A、B、C、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中(AABCD)BAB 与 CD 相交CABCDDAB 与 CD 所成的角为 60【】D【】如图，把展开图中的各正方形按图 1 所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图 2 所示的直观图，可见选项 A，B，C 不正确正确选项为 D.图 2 中，BECD，ABE 为 AB与 CD 所成的角，ABE 为等边三角形，ABE60.【变式 3】如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1

12、中，M、N 分别为棱 C1D1、C1C 的中点，有以下四个结论：直线 AM 与 CC1 是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB1 是异面直线；直线 AM 与 DD1 是异面直线其中正确的结论为(注：认为正确的结论的序号都填上)【】【变式 4】在图中，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有(填上所有正确的序号)【】考点三：异面直线所成的角【3-1】(2014潍坊一模)已知在三棱锥 ABCD 中，ABCD， 且点 M，N 分别是 BC，AD 的中点若直线 AB 与 CD 所成的角为 60，则直线 AB 和 MN 所

13、成的角为若直线 ABCD，则直线 AB 与 MN 所成的角为】 (1)60或 30 (2)45【】 (1)法一 如图，取 AC 的中点 P，连接 PM，PN，则 PMAB，且 PM12AB，PNCD，且 PN【12CD，所以MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角则MPN60或MPN120，若MPN60，因为 PMAB，所以PMN(或其补角)是 AB 与 MN 所成的角又因为 ABCD，所以 PMPN，则PMN 是等边三角形，所以PMN60，即 AB 与 MN 所成的角为 60.若MPN120，则PMN 是等腰三角形所以PMN30，即 AB 与 MN 所成的角为 30.综上直线 AB 和

14、 MN 所成的角为 60或 30.【3-2】(2014大纲卷)已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为()136133A.B.C.D.63【】B【】：，取 AD 的中点 F，连 EF，CF，则 EFBD，异面直线 CE 与 BD 所成的角即为 CE 与 EF 所成1的角CEF. 由题知，ABC，ADC 为正三角形，设 AB2，则 CECF 3，EF BD1.2在CEF 中，由余弦定理，得 cosCEFCE2EF2CF23 212323，故选 B.2CEEF62 31【3-3】如图，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，DAB6

15、0，对角线 AC 与 BD 交于点 O， PO平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成角为 60.求四棱锥的体积；若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值【】 (1)在四棱锥 PABCD 中，PO面 ABCD，PBO 是 PB 与面 ABCD 所成的角，即PBO60，在 RtABO 中，AB2，OAB30，BOABsin 301，PO面 ABCD，OB面 ABCD，POOB，在 RtPOB 中，POBOtan 60 3， 3222 3.底面菱形的面积 S2 4 12四棱锥 PABCD 的体积 VP ABCD3332.【回眸】异面直线所成的角定义：设 a，b 是两

16、条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的锐角或直角叫作异面直线 a，b 所成的角(或夹角)范围：因为D1B1C 为正三角形，所以B1D1C3.故 A1B 与 EF 所成角的大小为3.【变式 2】已知空间三条直线 l，m，n，若 l 与 m 异面，且 l 与 n 异面，则()Am 与 n 异面Cm 与 n 平行Bm 与 n 相交Dm 与 n 异面、相交、平行均有可能【】D【】在的长方体中，m，n1 与 l 都异面，但是 mn1，所以 A，B 错误；m，n2 与 l 都异面，且m，n2 也异面，所以 C 错误【变式 3】如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别是棱 CD、CC1 的中点，则异面直线 A1M 与 DN所成的角的大小是【】904 2232 41，设正方体棱长为 4，则 A1K1122MK2DN2 4 2 5，4242226，A1M故 A1M2MK2A1K2，即A1MK90.【变式 4】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABCD，E 是 PC 的中点已知 AB2，AD2 2，PA2.求：（）三