考点18平面向量的数量积解析版

1、考点18平面向量的数量积【考点剖析】1.最新考试说明：(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义【2020年高考全国n卷文数5】已知单位向量a, b的夹角为60,则在下列向量中，与 b垂直的是2a ba 2b2a b【思路导引】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断 即可.【解析】由已知可得：a b a|b cos60本选项不符合题意；B： (2a b) b21C： (a 2b) b a b 2b - 2 1221D- . (2b b) b 2a b b2 2 1 120, TOC o 1-5 h z 12 11 1 - A： (a 2b) b a b

2、 2b2 2 1 HYPERLINK l bookmark7 o Current Document 22 HYPERLINK l bookmark11 o Current Document 12a b b 2 1 2 0本选项不符合题意；2c，、人十一 0,，本选项不符合题意；20,，本选项符合题意.故选 D.【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量 数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查数学运算学科素养.解题关键是熟记向量垂直的充 要条件.了解平面向量的数量积与向量投影的关系【2020年高考全国I卷理数14】设a , b为单位向量

3、，且 a b 1,则a b .【答案】.,3【思路导引】整理已知可得：a b 7 a b 2 ,再利用a,b为单位向量即可求得 2ab 1 ,对a 形可得：a b |a|22a b问题得解.【解析】ab为单位向量，. a b 1 , . a b J a b 22ab |b|2 72 2a b解得：2a b 1, a b Jab2 4a|2 2a b |b|2 73,故答案为： 石.【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了考查了平面向量模长的计算，考查平面向量积的应用,a b； a a b 2 aa 2a b b J25 2 6 36 7，因此- a a b 1919cos a, a b=一

4、： 一 .故选 D.忖 |a b| 5 7 35【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数 量积的计算以及向量模的计算，考查数学运算、数学建模等学科素养.解题关键是熟记夹角公式.【2020年高考全国I卷文数14】设向量a 1, 1 , b ml, 2m 4,若a b,则m .【答案】5【思路导引】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.【解析】由 a b可得 a b 0,又 a (1, 1),b (m 1,2m 4) , . a b 1 (m 1) ( 1) (2m 4) 0,即m 5。【专家解读】本题的特点是

5、注重基础，本题考查了考查了平面向量垂直充要条件的坐标形式，考查平面向量积的应用，考查数学运算、数学建模等学科素养.解题关键是熟记平面向量垂直充要条件的坐标形式.命题方向预测：向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目.平面向量数量积、夹角模的计算、向量垂直条件以及数量积的性质等，常以客观题形式命题；解答题常与三角函数、解析几何等交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查.课本结论总结：(1)两个向量的夹角定义：已知两个非零向量 a和b,作OA = a, ob =b,则/AOB=。叫做向量a与b的夹角.范围：向量夹角。的范围是0小180 a，与b同向时，夹角0= 0; a与b反向

6、时，夹角0= 180.向量垂直：如果向量 a与b的夹角是90,则a与b垂直，记作a b.(2)平面向量数量积已知两个非零向量 a与b,则数量|a|b| cos。叫做a与b的数量积，记作 a b,即a b= |a|b|cos 0,其中0 是a与b的夹角.规定0 a= 0.向量的投影：|b|cos叫向量b在向量a方向上的投影当 a，b 时，6= 90,这时 a b=0.a b的几何意义：数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos。的乘积.(3)向量数量积的性质如果e是单位向量，则ae=ea.a,b a b= 0.a a= |a|2, |a |= yfa?a - a ?bcos

7、 9=-.(。为a与b的夹角) |a|b|a b| 0,解得yiy2= (xi+m) (x2+m) =xix2+m AO AB 3, AO AB22m i2(x2-xi, y2-yi),二.2金 x &，设 A(xi, yi), B (x2, y2),则 xi+x2=- m, x1x2(xi+x2) +m2, AO= (-xi, -yi), AB =22mimi2223xixix2 +yi2-yiy2=i +m2-m2=2-m2 = ,解得 m=【名师点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系、向量的数量积的应用，考查了运算能力，是中档题.22. （2020湖北东西湖华中师大一附中高三）设A,

8、B为双曲线 与50同一条渐近线上的两个a b不同的点，若向量n 0,2 , AB3且华/ i ,则双曲线的离心率为（A. 2 或 2B. 3 或封2C. 25【答案】BD. 3【解析】由题意得 cos AB,nAB nAB；lnii ab n AB In. sin AB, nb一当双曲线的焦点在 x轴上时，其渐近线万程为 y x,即bx ay 0 , 点（0,2）到渐近线的距离 a为d /a 25sin（AB,n）华，整理得L . e 小-迷.,a b3a 8a . a 84当双曲线的焦点在 y轴上时，其渐近线方程为 ax by 0, .点（0,2）到渐近线的距离为d 2 2b 2 1nsin

9、ABn）（，整理得号 8, e c Ji 2 VT-8 3-a b3a2a 1a综上双曲线的离心率为选B.【2020年高考上海卷12】已知ai,a2,bi,b2, ,bk kN 是平面内两两互不相等的向量，满足1al a21 1且|abj|1,2(其中i 1,2, j 1,2,，k),则k的最大值为 【解析】根据条件不妨设ai 0,0 , a2 0,1 , bj x, y , ； a 可 1,2，当总% 1 x2 y2 1, 表示圆心为原点，半径为1的圆；民bj|2x2 y2 4,表示圆心为原点，半径为 2的圆，如图这两个圆用红色线表示；当a?bj,1x2y 1 2 1,表示圆心为1,0 ,半

10、径为1的圆；一，一八2，2a2 bj 2 x y 14 ,表示圆心为 1,0，半径为2的圆，如图这两个圆用蓝色线表示，由条件可知点 x,y既要在红色曲线上，又要在蓝色曲线上，由图象可知，共有 6个交点，即k是最大值是6.故答案为：6.【专家解读】本题的特点是注重应用，本题考查了平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查平面向量模长的计算，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查数学运算、直观想象、数学建模等数学建模等学科素养.解题关键是建立适当的坐标系.(3)与最值问题交汇31.【2020年高考天津卷15如图，在四边形ABCD中，B 60, AB 3, BC 6,且AD BC

11、, ADAB2则实数 的值为,若m ,n是线段 bc上的动点，且 |MN | 1,则DM DN的最小值为132【思路导引】可得 BAD 120 ,利用平面向量数量积的定义求得的值,然后以点B为坐标原点，BC1,0 （其中 0 x 5）,得出 DM DN所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点 M x,0 ,则点N x关于x的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN的最小值.【解析】-.-ADBC，AD/BC ,BAD 180 B 120,AB AD BC ABBC. I Ab cos1203-1-,解得一，以点B为坐26标原点,BC所在直线为x,0 ，则 N xxBy ,x轴建立如下图所

12、示的平面直角坐标系1,0（其中0DMDN x3.32,DM DN x3,34x212132,2所以，当x2时，DM DN取得最小值13,故答案为:213【专家解读】本题的特点是注重知识的应用，本题考查了平面向量数量积，考查数形结合思想、转化与化 归思想，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养.解题关键是建立适当的坐标系，合理转化，应e21s/2, a e e2, b 3e1用函数求最值.2.【2020年高考浙江卷17】设 , %为单位向量，满足|2e1b的夹角为，则cos2 的最小值为【答案】空29【思路导引】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得IfeiIfe3 ,再根据向量夹角公式求

13、4cos2 函数关系式，根据函数单调性求最值.【解析】2e e2|、/22e12,解得:e e2cosei4 4ei e22qe? J10 6622则C0S216 x 116 x2 2x 10 6x12x2 32x 204 x 123x2 8x 5x 3 时，cos2428 429，3的最小值是一，故答案为:292829【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利 用函数单调性求最值，考查转化与化归思想，考查数学运算、数学建模等学科素养.解题关键是合理转化, 应用函数求最值.(4)与不等式交汇1.对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()a.

14、1a bi 值|旧|b.a bi |值| ibii22-22C. (a b) |a b|D. (a b)(a b) a b【解析】因为a bl ,a|bHcosa,b 闻可，所以选项a正确；当a与b方向相反时，a b,悒,b| 不成立，所以选项b错误；向量的平方等于向量的模的平方， 所以选项c正确；a b a b a2 b2, 所以选项d正确.故选B.2.(2020浙江高三开学考试)已知平面向量a,b满足a a b 2 .对任意的t R,都有2a tb| /3|bi 成立，则b的取值范围是.【答案】，21【解析】设a与b的夹角为0,|b| m(m 0),所以a b 2mcos 2，即cos 1

15、,1,m一2.34,所以m 丁，2,即所以m 1 .因为对任意的t R,都有2a tb1 J3忖成立，所以对任意的t R,不等式22m t 8t+16 3m 0 恒成立，所以 64 4m 16 3mb的取值范围是R3,2 3(5)与三角函数交汇【2016高考浙江】已知平面向量a, b, |a|=1, |b|=2, a b=1.若e为平面单位向量，则|a e|+|b e|的最大值是【答案】(1m3) ，设 e (cos ,sin )，则【解析】由已知得a,b 60，不妨取a (1,0)，bcoscos 3 sincos与sin 同号.所以2 cos行|sin(),(其中sin 2 ,coscos

16、cos2cos3 sin2 cosV3|sin,取等号时Acos-|sin为锐角).显然J7|sin() J7 ,易知当一时，sin( 2取最大值1,此时为锐角,sin ,cos同为正，因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为【考点分类】热点1平面向量数量积及其几何意义1. (2020也东高三其他)在直角梯形 ABCD中，AB4, CD 2, AB/CD, AB AD, E 是 BC 的中点，则AB AC AE812CDC. 16D. 20【解析】 AB AC AE AB AC AB AE ,由数量积的几何意义可得：ABAC的值为AB与AC， 一 一 ， 1在AB方向投影的乘积，又 AC

17、在AB方向的投影为一 AB=2, AB AC 4 228，同理AB AE 4 3 12， AB AC AE 8 12 20,2、在矩形ABCD中，AB 3,AD 4, AC与BD相交于点O ,过点A作AEAE EC72A.B.1442512C.5c 12D.25【解析】如图:由ABAD 4 得:又AEECAE EOOCBDAEEOAO AEcos EAO2 14415，AE EC14425【名师点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够通过线性运算将问题转化为模长和夹角已知的向量之间的数量积问题3.已知菱形ABCD的边长为2, BAD120，点 E , F分别在边BC , DC 上，BC

18、3BE, DC若 AE AF 1的值为(A.B.C.D.由题意可得AEAFABBE AD DFAB1：:1-BC BC - AB32-AB1 、BC22AB BC ,且 AB,2BC 4,AB BC 2 2 cos1202,2.,4 4 故一一 3【名师点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量基本定理及其应用等知识，意在 考查学生的转化能力和计算求解能力4.已知 ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA (PB PC)的最小值是(A. 23 B.24C.一3D. 1【答案】B 【解析】试题分析:以EC为”孤aC的垂直平分甥&为p曲Q为坐标原点建立坐标L则40

19、.击)，阳T9),C(10) ,设所以苏=(f 4小 丽=(-a, PC=d-x.-y) TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark136 o Current Document 所以读 + 同=(一2纵一为卜 .( + PQ=2xi-2y(/5-v=2xJ+2(y-)i-1 一 22当气。,冬 时，所求的最小值为-，故选员 ,4.平面向量数量积的计算方法已知向量a, b的模及夹角0,利用公式a b= |a|b|cos。求解；已知向量a, b的坐标，利用数量积的坐标形式求解；用平面向量数量积的几何意义计算.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化

20、简，再进行运算.【解题技巧】.在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，再利用平面向量的数量积数量积运算法则求解a?b -”.计算向量b在向量a万向上的投影有两种思路：思路1,用|b |cos计算；思路2,利用计算.|a|.在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已知或易计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.【易错点睛】.向量的数量积不满足消去率和结合律.一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数值，不是向量也不是线段长度，是一个实数，可以为正，也 可以为负，还可以为 0.若a b=0,则a=0或b=0或a，b,与实数乘积不同.例已知

21、平面向量a,b,c,下列说法中:若 a b=a c,贝U a=c； a(b c)=(a b)c;若a b=0,则a=0或b=0;a b/1 2，解得：孚3【方法规律】.对平面向量夹角问题（1）当a, b是非坐标形式时，需要先求出a?b及|a|、|b|或它们白关系.（2）若已知向量a , b的坐标，直接利用公式求解.利用向量垂直的充要条件将向量垂直问题转化为向量数量积来解决【解题技巧】.非零向量垂直 a,b 的充要条件：ab? a b = 0? |a + b|=|ab|? xix2 + yiy2=0. ab? a b=0,体现了 形”与 数”的转化，可解决几何问题中的线线垂直问题. 【易错点睛】

22、.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角的关系.若两个向量夹角为锐角，则 COS 0,反之，不一定；若两个向量夹角为钝角，则 COS小于0,反之, 不一定.两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移 动，使其起点相同，再观察夹角.ab? a b= 0是对非零向量而言的，若 a = 0时，a b= 0,但不能说 ab.例 已知向量a （1 2）b （x 1），且向量a与b夹角为锐角，求x的范围；【错解】因为向量 a与b夹角为锐角，所以a ?b = x+2 0,解得x -2.【错因分析】从 ab 0出发解出x的值，忽视剔除a,b同向的情况

23、TOC o 1-5 h z 【预防措施】解题时，每步都要求是等价转化，在转化时，要认真分析各种情况，要做到不重不漏.【正解】因为向量 a与b夹角为锐角，所以a ?b = x+2 0,解得x -2.11当x =一时，a与b同向，故x的氾围为（2,）（一,）.22热点3平面向量模.已知向量a,b满足|a| 11bl 2,abJ3, J2 ,则 a 2b =(A. 2 2 B. 2 5 C. 17D. 15【解析】b 疝,、3 , a ba 2b ia 4a b 4 b 17 ,2b. （2020浙江省富阳中学高三三模）已知向量22a 2ab,17 选 C._ 2_同 5 2ab 5 ,则 a ba

24、在b方向上的投影为2,c c a 3,则|b c|的最小值为（C.2.3D.2.3 2【解析】设a ,b向量的夹角为13,因为 0,冗，所以不妨设a OA2,273 , bOB m,0 m 0 ,设 cOCx,y x 2, y2 J33 ,整理得x 1 2J3 2 1,所以点c的轨迹是以为圆心，半径r 1的圆，记圆心为D ,又b c m x, y,-2|b c| m xy2 |bc ,当直线BC过圆心D,且垂直于x轴时，|BC可取得最小值，即|BCmin J3 r J33. （2020河北新华石家庄二中高三）已知平面向量ab满足a （1, 1）, |b| 1, a 2b| 我，则a与b的夹角为

25、【答案】4【解析】因为a (1,1)，则a J2,因为a 2b &,等式两边同时平方可得a2 4ab 4b2 2,代入aJ2,ibi 1可得a b 1,设a,b夹角为，则由平面向量数量积的定义可得率因为0a b 1COS =- -=a b J2 1【方法规律】对平面向量的模问题，若向量a是非坐标形式，用|a|2 a2 a?a求模长；若给出向量 a的坐标，则用1a l=Jx；y2 来求解.【解题技巧】.计算向量模时，要先将所计算模的向量用基底表示出来，再利用模公式|a|2 a2 a?a转化为平面向量的数量积，利用平面向量的运算法则计算.对平面上两点间的距离、线段的长度问题，可转化其对应向量的模问

26、题来解决【易错点睛】在计算向量模问题时，要正确应用模公式，避免出现如下错误：a b= |a|b|和|a b|= |a|b|.例已知|=1,后|=2,向量a与b夹角为120，求13a b|.【错解】13a b|= ,(3a b)2、，9|a|2 6a?b |b|2 = 9 12 6 1 2 22 =5. TOC o 1-5 h z 【错因分析】错用 a b= |a|b|,平面向量的数量积的概念与性质掌握不牢.【预防措施】熟练掌握平面向量的数量积的定义、运算法则和性质，会用公式|a|2 a2 a?a和平面向量的数量积的知识计算向量的模，避免出现如下错误：a b= |a|b|和|a b|= |a|b

27、|.【正解】13a b1=7(3ab)2J9|a|26a?b |b|2=j9126 1 2( 1)22=6.2【热点预测】1. (2020河北桃城衡水中学高三)平面向量a与b的夹角为60 , a 2,0 ,.b 1,则a 2b等于()A. 2 &B. 2 石C. 12D.而【解析】因为|司2,|b| 1 , a与6的夹角为60 ,故|a1161cos60 1,则a 国；4 4 4 2G2.【2019年高考北京卷理数】设点 A, B, C不共线，则AB与云6的夹角为锐角”是而 AC | | BC |的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【

28、解析】AB与AC的夹角为锐角，所以|AB|2| Ac |2 2ab Ac |Ab|2|ac|22abac, ip| Ab Ac|2 |Ac AB|2,因为 MC ab BC，所以 |AB+而 |bc|；当 |初+|山。成立时，|AB+Ac |2| ab-ac|2 ab?ac0,又因为点a, B, c不共线，所以MB与M 的夹角为锐角.故AB与AC的夹角为锐角”是Ab + ac | bc |的充分必要条件，故选c.|3 且 同网 n s 03,已知单位向量器满足则葩界的夹角是()n -6anWB D析 解0A =5 =(1,0).丽=5=5,1工曰二=(-L1)即是第二象限的角平分线，所以由图可

29、见角是彳，故选D.4.向量a,b均为非零向量,a 2b a, b 2a b ,则a,b的夹角为（A. 一 B.2C.一35 D.6【答案】A【解析】a 2b ?a 0 a22a?),b 2a?)0 b2 2a?),所以 a2 b2,即 |a ,设 a,b.2a的夹角为，cca b_2 1，又cos2 一1a |ba 20,，所以a,b的夹角为，故选a.35.半圆的直径AB =4, O为圆心,C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则PA PB PC的最小值是（A. 2B. 0 C. 1 D.,O为AB的中点,PA PB 2PO , 从而则 PA PB PC2POPC又PO网画

30、,1Poi的1, 22,当且仅当PO. |pc, 1,即p为oc的中点时,PA PB PC取得最小值是 2,故选D.6.在 AABC 中，/A 60 , AB 3, AC2 .若 BD 2DC，AEAC AB(R),且AD AE 4，则的值为（）A.131111 B.3C.11D.311【解析】X54C = 3x2xcot60D =3.XD = -AS+-C 贝”33一 1. 2.57.若同二同= Id = 2,且 15二0,则 5+的取值范围是（A.I。,八若2|b.【答案】D【解析】如图所示：0A=, |0B=j）, OC = c,恒_包+同，.G-，不一。与0, .点C在劣弧AB上运动，

31、+ 表示C、D两点间的距离|CD|, |CD|的最大值是|*D|、2，|口最小值为皿）|-2 = 2慑*.8.已知直线PA.PB分别于半径为1的圆。相切于点A,B,P0 = 2TM=2XPA + （1 -4）和,若点M在圆0的内部（不包括边界），则实数人的取值范围是（A. C.B.D.【解析】因为rn = z,由切线长定理知PA = PE = 3 又0M = oF+PM=O户+ 23PA，(1-QPB，因此H *2 0M =9A2-G + l 解得9.在ABC 中,D为BC边上一点，且ADBC ,向量AB MC与向量AD共线，若GB GC 0,则曾CgA. 3B. ,5C. 2【解析】取BC的

32、中点E,则 AB AC2A巨与向量而 共线，所以A、D、E三点共线，即 ABC中BC边上的中线与高线重合，则ABACJ10.因为GA GB GC 0，所以G为 ABC的重心，则GA 2iGEIM2BC2.所以2 i2.2,、,5.10.已知平面向量 PA, PB满足iPB 1,PA PB 3 ,若BC1 ,则AC的最大值为（a. .2 1 B. .3 1 C. ,2【答案】D因为【解析】 1PA IpB, 1,PA PB 万，所以 cos APB2，由余弦定理可得 3AB J1+1 1 J3,如图，建立平面直角坐标系，则m0 ,B,0 ,由题设点2x, y在以B ,0为圆心，半径为21的圆上运

33、动，结合图形可知:占八、x, y运动到点D时,| AC |maxADAB 111 .记 min a,ba,a b,a满足a1,2,且a M *1.右c0,则当 min a c, b c取最大值时,B.D. 2【解析】由题意ac,b c ，则 m从而2m当且仅当21取等号.因此0 .故当 min a c,bc取最大彳t时，c a,即。1,12.如图,半径为1的扇形AOB中,一 2一AOB ，P是弧AB上的一点，且满足 OP 3OB, M,N分别是线段OA,OB上的动点，则PM?PN的最大值为（）A. 2 B. 3 C. 1 D. 2【答案】C . - 2【解析】pm ?PN PO OM PO O

34、N PO OM PO OM ON1 OM .cos1500 .OM H.ON.COS1200 1 0 g 011,选 C.13. （2020湖北黄州黄冈中学高三） 在ABC中，AB AC .AB AC. , AB 4, AC 3,则BC在BA方向上的投影是.【答案】4【解析】. AB AC .AB AC ,AB AC： .AB AC：,即（AB AC）2 （AB AC ）2 , z.AB AC 0， AB AC , BC 在 bA方向上的投影就是 BC| cos CBA BA 4 .14.【2019年高考江苏卷】如图，在 ZXABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA, AD与CE交

35、于点O .若AB ACAB . . 一6AO EC，则二T的值是AC【解析】如图，过点D作DF/CE,交AB于点F,由BE=2EA, D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD .6AO *EC 3AD*AC AEAB AC - AC一AB 八C - AB-2 2ACO3 AB AC2AB-ACABAC AC1 一2-AB31 一2-AB 22AC3一2-AC 21-AB-AC 3AB- AC ,1 2得一AB22,即网闽网,故想出AC15.如图，在圆内接四边形 ABCD中，已知对角线BD为圆的直径,AB ACADAC BD的值为一 40【答案】409【解析】在 Rt ABD 中，AB 272, AD 1,所以 BD=3, cos ADB1 ,cos3ABD2万在ABC中，由余弦定理可知，AB2 AC2 BC2 2AC BC cos/ ACB ,即BC2之得BC4